完整word版圆锥曲线解题模型.docx
《完整word版圆锥曲线解题模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整word版圆锥曲线解题模型.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
完整word版圆锥曲线解题模型
直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识,
I、中点坐杯公式：
X=Ali.,y=21±A,中X,y杲点川斗,”）・〃（七,儿）的中点坐标・
2、弦K公式：
若点A（几儿），*（勺.儿）4啟线y^kx+b（k*0）±t
则y严U+几“=g+b・这是同点纵横坐标变抓是两大坐标变换技巧
|A5|=J（斗一壬尸+（牙一儿尸=J（片一壬）2+（匕］一爾尸=/屮2心_£）2={（1+疋）［（旺+^）2—4兀血］
或者I人b|=J（石一七）2+（”_儿）2=JG儿-|^）2+（>-,-y2）2=J（l+^-）（>'|-y2）2=J（l+*■）［（X+>2）2一4）1儿］・
3、两条直线4：
yW+Q，4：
y=垂直：
则^=-1
苗条亢线垂则用线所在的向试片・1，2=0
h厂
4、韦达定理：
若一元二次方程ax2+£>x+c=0（o*0）W两个不同的根心七.M'JXj+x,=—,x}x2=—.
aa
常见的一蝴S型：
M-：
数形结合确定直後和Bl锥曲找的位置关系
题型二：
弦的垂亶平分域问题
題型三'动弦过定点的问题
题割过已知曲枚上定点的孩的问题
题塑五：
共枚向■何题
题塑六：
面积问题
題塑七：
弦或弦长为定值问JR
®SA：
角度问题
问■九：
四点共线问题
问■十：
范BS问题（本质杲函数问题〉
何■十r存在性问题：
（存在点，存在直线尸匕畑存在实軌存在图形，三角形（等比、等Sh直角人四边形（矩
形.菱形、正方形儿圆）题S-：
效形结合UK定直枚和8B儀曲枚的位賈关系
例題I、已知血线/:
y=kx+l—+^=1始终有交点，求皿的取值范出
4m
解：
根据WX/:
v=tv+1的方程可知，肖线恒过定点（0.I）,me：
—+^-=1过动点（0・±5/万）,!
!
/»工4.如4m
果11线/:
y=/Lt+imifi|51|C:
—+^-=1始终冇交点•则V^>hUm^4.HPl
规律捉號：
通过戌线的代数形式，町以看出肖线的特点：
/:
y=U+l=>过定点（0.1）
l:
y=k（x+\）=^过定点（一1,0）
/:
厂2=吃+1）=>过定点（-L2）
题塑二，弦的垂宜平分钱问题
例題2、过点TCI.0）作直线/与曲线N:
尸二兀交于A、B两点，庄k轴上是否存在一点&心0）,使得AABE是等
边三角形.若存在，求出斗；若不存在，请说明理由.
解:
依题克知，直线的斜率存在,且不等于0・
设直线/:
.y二攵（x+l）,k*0.AWJ.Bg,yj•
由卩;（X+1）i8y整理•得"4（頂_1）jt+疋=0①
y=x
由£i线和抛物线交于两点，得A=（2i—1）2—4T=-4T+i>0
2k2-I
由韦达定肥得:
斗+七=_殳一山土=1・则线段AB的中点为（
线段的时理分线方外为:
守）令冃叫尸右讣则畤岭°）
v^ABE为正三用形••••E（丄T-丄.0）到力线AB的距离d为2k22
•••|人四=〕（石_丹）2+（才一儿尸=斗¥—J1+Fd=J]]：
曲：
火TiTF=盘了解得&=土亜満足②式此时X（l=-.2L21^|133
■型三：
动弦过定点的问題
例題3、己知椭阴IC：
务+右=1（。
>»>0）的离心率为晅，且在只轴
上的顶点分别为Ai（20）.A2（2,0）・
（I）求椭圆的方程二
（II）若直线/:
X=r（r>2）与X轴交于点T,点P为H线/上异于点T的任
点,負线PAl.PA?
分别与椭圖交于M、N点.试何直线MN是杏通过側岡的焦点？
并证明你的结论
fh（I）由己如橢冏c的离心率g=
—.“=2•则得r=J5.b=i•从而梢观的方稈为—+/=i
"W+2）
八叶J>
9r
24
5）设时佔』）•直线人册的猝率为J则立綾人“的方程为y二£（x+2）,由
能理得（1+4*12）X2+I6M+I6jt；-4=O•••-2和片是方程的两个根.••一2百="*打:
1+4R；
4k2■脑4k
廿Ey，1•点“的軸'为（77#・rn尹
砂，设瞰A収的桝沁.則待点N的杠为（踪•盏
••・令尸°得—H、'■将点M.N的*标代入，化购后得：
x=-y厂八f
又-t>2..-.0<-<2v*fira的烬点为（V3.0）.*.-=>/5.即;=—
II3
故当/=^y时.MN过桶恻的热点.
■型四：
过已知曲枚上定点的孩的冋逼
例聽4□知点A.B.C是桶関E：
4+4=1上的三点.具中点A（2>/3.0）的右顶点.山找BCo-b1
过椭圖的川心0,SC=0,|^c|=2|Xc|.tel号⑴求点C的坐标及楠團E的力涩；（II》若HHSlE上心纟两点
P・Q.便鮒直线PC与直线QC关于fi^.r=V3对空•求直线PQ的斜率.
解：
⑴•••区|=2网,目BC过楠B1的中心O
.-.|oc|=|ac|-.mc5c=o.•-ZAC0二壬又•••A（2J5,0）.•.点C的坐杯为b血.
vA（2^0）feffiPU的右顶点,;心=2吳・则柿阴方程为：
£.+21=|
12b
将点CC/5.JJ）代入方程.得於=4.••・桶関E的方理为丄+工-|
124
（II）V直线PC与直线QC关于a^x=V3对称.
・••及£1綾PC的斜率为I対虫伐QC的斜牢为-I从而玖找PC的方程为:
y-V3=^（x-V3）>WJy=U+d（l-R）•宙!
尸&+血If消y•塑理徐x2+3v:
-12=O
（1+32）”+迅（1一&）兀+9“一18；:
-3=0・・・兀=巧是方程的一个根,
_二9£-1弘-39£+1弘一3=-36女1
»九-75（1+3”）J5（i+%‘）V5（i+3i）方则逍线PQ的料率为定值丄。
題塑五：
共找向量问題
例題5.设过点1X0,3）的直线交曲线W—+^-=1于P.Q两点.且OP=/d2,?
R实数/的収值范恥
94
判别式払.韦达定珅浓.配凑法
（449f+54kx+45=（）•••P•Q是曲线M上的两点
•・.A=（54火）2-4x45（4+9A:
2）=\44k2-80>0
设卫线1与肠関C交于A、B两点，坐标原点O到XI线1的距离为返，求AAOB面枳的址大值.2
解：
（I）设椭圖的半焦距为c,依题总〕£・申・."=1,.•.所求椭關方枳为—+y2=l.
a*y/x
（II）设AC中y,）.B（xry2）.（I）当AB丄x轴时.<2）当AB与x轴不垂直时.
设頁线AB的方程为y=k.x+m・由已luJH,f把y“+/«代入#6圆方程•整理得（3k2+l）x2+6曲+3m2-3=0.
综上所述|48」=2・
当\AB\址大时.△AO"面枳取呆大值S='|A〃|zx£=£・
222
题型七：
弦或荻长为定值问题
例趣7.在平面宜角坐标系xOy中.过定点C（0.p）作线与拋物线宀2py（p>0）相交于A.B两点.
（I）若点N是点C关于坐杯原点O的对称点，求厶ANB面枳的披小位：
<11）是古存在垂肖丁y轴的宜线I,便得1被以AC为直径的例截斜张K恒为定值？
若存在.求出1的方程；若不存在.说明理由.
:
.当&=OW，（SA1AV）min=2运円.
（11）假设满足条件的直线1存在,其方祝为y=a・AC的中点为O"与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H,则07/丄PQO点、的坐标为（半・^4^）•••少円=勻人「I=£Jx：
+（儿-用=；Jy；+b•少〃|斗一屮=；|2_儿-p[.・.『〃『=|O艸-少〃卜;（y；+小_[（加_y,_沙
在.其方程为y=£,
.・.|PQf=（2|PW|）2=4（a-£）比^a（p-a）
令a-#=0,衍“=£此时\PQ\=P为定伯，故满足条件的貞线I存
即抛物线的通径所在的自线.
餌法2：
（I）前同解法I,再由眩长公式得
\ab\=Vi+^'|a-|-x2|=Ji++x2）3-^x,=Ji+"•JWF+8“，
=2pJl+F・jF+2.
乂由点到贞线的韭离公式得d=-r^—•
Jl+F
从而＞S©rn=—d・卜科=—2pjI+L+2・=2/rJ*・+2、
22Jl+F
当R=0时，（SUffV）max=142p2.
（II）假设満足条件的直线l存在,其方程为y=a・则以AC为直轻的圆的方程为
（大一0）（文一J*』一（y—pXy—”）=0•将线方秤y=a代入得
X2一x^x一（a—p）（a一儿）=0.
则A=x；-4（a-“）（4-卄）=4（a
设直线I与以AC为直径的侧的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4），則有
令么-#二0・得&二务此时|PQ|二"为定伯.故满足条件的貞线丨存在.其方种为丿二£・
即抛物线的通径所在的fi线.
題塑八：
角度问题
例遗8、（如图⑵）图，"（・2,0）fil3（2,0）是平面上的两点.动点P满足：
|PM|+|/W|=6.（I）求点P的
轨迹方程；（II）若|PM|・|PN|==，求点"的坐标.
I1111-cosZMPN
解：
（I）由椭圆的定义,点P的轨逝是以MV为焦点.长轴长2沪6的楠圖
•（21）ffl
■■
因此半焦距尸2,长半轴沪3,从而短半轴
H岳二7二石所以椭岡的方程为—+^-=1.
5
（11）由|PM11PN卜=——7.得|PM||P/V|cosMPN=|PM11PN|-2.（D
1-cosMPN
因为cosMPN工1.P不为摘阕K轴顶点•故U构成三角形•在△PX中.|AW|=4jll余弦定理彳j
=|PMf+1PNf_211P/V|cosMPN.将①代入②，紂4—|PM|+|PN『一2（|PM||PN|-2）.
故点P在以"■"为焦点，实轴K为2力的双曲线—-/=!
上由（I珈点P的坐标又满足和斗"所以
由方程组何+9宀％無斜"土爱
X2+3y2=3.広
>，=±—
即p点坐标为（塑湮）、（迺逅）、（・巫更）或a僅）.
22222222
问題九：
四点共銭问题
例题9、设梅闘C:
匚+与=l（a>b>0）过点M（JIl）・睛焦点为^（->/2.0）
ab
（II）十过心P（4,l）的.前BidM不imig竹线汶ABI-1UA0.满斗丽|国卜卩©岡，
讦明：
点Q总*某定血线上解⑴由題意:
C'2=2
少122
—+—=1,侪得上‘=2・所求椭例方程为—+^-=1
（Tb°42
e—7
b
（2）方法一
设点Q、A.B的坐标分别为（心刃,（心）\）,（工2，）\）・
从而
又点A.B/t-tffiiaC上，即
X）2+2y?
=4.⑶
（I）+
（2）X2并结合（3人（4）得4$+2y=4
即点QS）总在定立钱2"〉-2=0上
方法二
设白Q（.Y,y）,AO）,〃（£,”），由題设，|顾两H范面|均不为&
（1）
（2）
又P.A.0”艸点共线•可设M尤迈■两=2应（&工0.±1）.于是
4-2x1-Ayf3To，*=TT
4+XxI+Zy
由于4（.vp）J^（x2>y2）AttHC±,将
（1）,
（2）分别代入C的方程.?
+2/=4/«?
理得
（x2+2y2-4）a2-4（2x+y-2）A+14=0（3）
（x2+2y‘一4）2,+4（2.r+y-2）2+l4=0（4）
（4）—（3）得&2x+y-2）Z=0
72*0./.2x+y-2=0
閒点Q（仏y）总在定直线2x+y-2=O上
问息十：
苑国问息（本就是褚数问JK）
设片、人分別—+y2=I的左、右焦民
4
（I）若P足该桅列上的-个动点，求PR•P&的址大值和赧小債：
（II）设过定点M（0.2）的fl线f与椭阀交于不同的阿点A、B,HZAOB沟锐角（其中O为坐杯原点），求tl级/的斜率R的取值范用・
解：
（I）解法一：
易知"=2,b=l«=J5所以斤（r/10）•斥（J5.0）,设P（.to）.则
PF\-PF,=（—75-.t,-yj,（V5-x,-y}-x'+y'-3=a?
+1・}・3=扌（3十-8）因为卜2,2],故^x=0,即点P为椭阴如轴站点时，PF「巫右城小值-2当^=±2,即点P为楠闘长轴缁点时，祈巫冇址大值1
*2-3（以下同解法一）
解法一：
易知4=2上=1・C=J5,所以斥（J,O）,&（JIu）,设P（d则
+）"+（“-J5）+〉'-12
（II）鼻然自线x=0不満足題设条件，可设II线=（几＞・2）"（%儿），
由A=（4il）：
-4^+^x3=4jt2-3>0^：
k>■-
X0°cosZA0a>0<=>CMd5>0/.CM•面二片占+为兀
q—it2+I
—+-~>0.即R?
<4•••-2<点<2
+-F+丄
44
执由①、②W#或纠
问■十一、存在性问乩（存在点.存在宜践y=kx^mF存在实航存在附形：
三角形（务比、宜角儿四垃形（矩形、菱形、正方形人■）
T叶I3过M（2,V2）.N（@艸点5地标原点,
（I）求椭BSE的方程$
（ID足否存介恻心作原点的使得该闖的任懸一条切线与椭闘E恒有対个交点AbllO/i丄0用？
若存介，写出该
（2）假设存A肉心仆原点的虬使冯该刿的任慰一条切线与椭恻E恒和旳个交点AbII鬲丄丽股该阅的切线
则厶=l6^27n2-4（I+2jt2）（2wr-8）=8（弘，一〃/+4）>U•即8疋-龙+4>0
4bn
斗7=—：
〜八八wf、门fy.>k^（2nr-8）42/rT2"i—S”时
I+2A*»v（r,=（tr（+wXfcv2+m）=kxtx:
+km^+x,）+nr=—r+m=娶
1+2A1+2k\+2k
1+2A
使OA丄OB,需使x（x2+y,y2=0.8卩———+———竺一=U,所以3m*-8A2-8=0以R‘=,“2U又
l+2*・1+2L8
肿*+4>U•所以<
2/7
関的条切线•所以関的才径为厂
T7k
釜八半所求的関为宀宀・此
8
时Ml的7J线）•=虹+加都涡足加2也或加S-还
匚+21=丨的两个交点为
84
3,而当切线鯛率不存砂切线为“±学与肿
满足04丄OB,综上.存“関心*总点的Ml
4—8―.—.
L+/=-.使紂该関的仟意一条切线与橢閲E恒冇期个交点A.B.ROA丄OB・
4hnX+.T,=
因为
'l+2k
2w2-8"产GF
\+2k
所以也F—y+e—d★捋）一严J-呼jl）
1+2*
IAB匕｛（^!
_七）'+（为_儿）'=>/（1"）（斗十尸打+；：
年心
_（324F+5F7T/32k1
-vT4F+4F+1"vT+4^4+4/l2+r
①当*二0时IABMI—[1+——
\4"+丄+4
7272
因为4〃寺厶+428所以0<:
—M二所以二<二|1+:
—1^12,
*4/+丄+48334疋+丄+4
k1k2
所W-^/6/3'*iIIiZ'*U=土返时取”
32
③当AB的斜净不存4时•购个交山为（还、土还）或（一还，土已3）・所以此时lABk也
33333
综上.AB的取值范憎为’&PA3IS2、厅即：
IA8lw|’、/&・2jS]
1〕
升级会员 