高中数学知识点总结精华版.docx
《高中数学知识点总结精华版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学知识点总结精华版.docx（50页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学知识点总结精华版
高中数学必修+选修知识点归纳
新课标人教A版
一、集合
1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：
确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、常见集合：
正整数集合：
N*或N，整数集合：
Z，有理数集合：
Q，实数集合：
R.
4、集合的表示方法：
列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
记作AB.
2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集.记作：
AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，2n1个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：
AB.
2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称为A与B的交集.记作：
AB.
3、全集、补集？
CUA{x|xU,且xU}
§1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:
AB为集合A到集合B的一个函数，记作：
yfx,xA.
2、一个函数的构成要素为：
定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、函数的三种表示方法：
解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
（1）定义法：
设x1、x2[a,b],x1x2那么
f（x1）f（x2）0f（x）在[a,b]上是增函数；
f（x1）f（x2）0f（x）在[a,b]上是减函数.
步骤：
取值—作差—变形—定号—判断
格式：
解：
设x1,x2a,b且x1x2，则：
fx1fx2=⋯
（2）导数法：
设函数yf（x）在某个区间内可导，若f（x）0，则f（x）为增函数；若f（x）0，则f（x）为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个
x，都有fxfx，那么就称函数fx为
偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个
x，都有fxfx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：
函数与导数
1、函数yf（x）在点x0处的导数的几何意义：
函数yf（x）在点x0处的导数是曲线yf（x）在P（x0,f（x0））处的切线的斜率f（x0），相应的切线方程是yy0f（x0）（xx0）.
2、几种常见函数的导数
1C'0；②（xn）'nxn；
③（sinx）'cosx；④（cosx）'sinx；
⑤（a）alna；⑥（e）e；
'1'1
⑦（logax）'；⑧（lnx）'
xlnax
其中n1,nN.
2、当n为奇数时，aa；当n为偶数时，nana.
3、我们规定：
n
⑴amman
*
a0,m,nN,m1；
1
⑵an1nn0；a
y
y=ax
0a>1
1
o
⑴arasarsa0,r,sQ；
4、运算性质：
3、导数的运算法则
1）（uv）'u'v'.
2）（uv）'u'vuv'.
3）
（u）
v
uvuv
2
v
（v0）.
⑵ararsa0,r,sQ；
⑶abrarbra0,b0,rQ.
§2.1.2、指数函数及其性质
4、复合函数求导法则
复合函数yf（g（x））的导数和函数
yf（u）,ug（x）的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
解题步骤:
分层—层层求导—作积还原.
x
1、记住图象：
yaxa0,a1
2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
x
1、指数与对数互化式：
axNxlogaN；
2、对数恒等式：
alogaNN.
3、基本性质：
loga10，logaa1.
那么f（x0）是极大值；
②如果在x0附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，那么f（x0）是极小值.
6、求函数的最值
（1）求yf（x）在（a,b）内的极值（极大或者极小值）
（2）将yf（x）的各极值点与f（a）,f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。
4、运算性质：
当a0,a1,M0,N0时：
⑴logaMNlogaMlogaN；
⑵loga
MNlogaMlogaN；
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程fx0有实根
⑶logaMnnlogaM
函数yfx的图象与x轴有交点
5、换底公式：
logablogcb
logca
a0,a1,c0,c1,b0.
6、重要公式：
loganbmmlogaban
7、倒数关系：
logaba0,a1,b0,b1.
logba
§2..2.2、对数函数及其性质
函数yfx有零点.
2、零点存在性定理：
如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数
yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，
使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.
1、记住图象：
ylogaxa0,a1y
y=logax
0o
1
a>1
2、性质：
§2.3、幂函数
第一章：
空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：
棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
1、几种幂函数的图象：
⑵圆锥侧面积：
S侧面rl
rl
⑶圆台侧面积：
S侧面rlRl
直线与方程
⑷体积公式：
V柱体Sh；
1
V锥体Sh；
3
y2y1
1、倾斜角与斜率：
ktan21x2x1
2、直线方程：
1
V台体S上S上S下S下h
台体3上上下下
⑸球的表面积和体积：
243
S球4R，V球R.
3
第二章：
点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
（简称面面垂直，则线面垂直）
⑴点斜式：
yy0kxx0
⑵斜截式：
ykxb
⑶两点式：
yy1y2y1
xx1x2x1
⑷截距式：
xy1
ab
⑸一般式：
AxByC0
3、对于直线：
l1:
yk1xb1,
有
l2:
yk2xb2
⑴l1//l2k1k2
12b1b2
⑵l1和l2相交k1k2；
⑶l1和l2重合k1k2
b1b2
⑷l1l2k1k21.
4、对于直线：
l1:
A1xB1yC10,
有
l2:
A2xB2yC20
⑴l1//l2
A1B2A2B1
B1C2B2C1
⑵l1和l2相交A1B2A2B1；
A1B2A2B1
⑶l1和l2重合1221
B1C2B2C1
⑷l1l2A1A2B1B20.
5、两点间距离公式：
P1P2x2
x1
y2y1
6、点到直线距离公式：
Ax0By0C
d00A2B2
7、两平行线间的距离公式：
l1：
AxByC10与l2：
AxByC20平行，
第四章：
圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
xa2yb2r2
其中圆心为（a,b），半径为r.
⑵一般方程：
x2y2DxEyF0.其中圆心为（D,E），半径为r1D2E24F.
222
2、直线与圆的位置关系
直线AxByC0与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系有三种:
dr相离0;
dr相切0;
dr相交0.
弦长公式：
l2r2d2
1k2（x1x2）24x1x2
3、两圆位置关系：
dO1O2
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：
在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为n。
N
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
2频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：
总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：
xx1x2x3xn；
n
取值为x1,x2,,xn的频率分别为p1,p2,,pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn；
注意：
频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：
一组样本数据x1,x2,,xn
21n2方差：
s2（xix）；
ni1
注：
方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：
函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系
3线性回归方程：
ybxa（最小二乘法）
⑴外离
⑵外切
⑶相交
⑷内切
⑸内含
dRr；dRr；
RrdRr；dRr；dRr.
n
xiyinxybi1
nxi2nx2注意：
线性回归直线经过定（x,y）。
i1
3、空间中两点间距离公式：
统计
aybx第三章：
概率1、随机事件及其概率：
随机事件A的概率：
P（A）m,0P（A）1.
n
2、古典概型：
⑴特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：
一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P（A）m.
n
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P（A）d的测度；
D的测度；其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,,An彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P（AB）P（A）P（B）⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，则有：
P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An）
⑸对立事件：
两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件A的对立事件记作A
P（A）P（A）1,P（A）1P（A）
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
必修4数学知识点
第一章：
三角函数§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：
2k,kZ.
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
4、扇形面积公式：
SnR1lR.
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
y
Px,y，那么：
siny,cosx,tan
x
2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：
（设
rx2y2
siny，cosx，tany，cotx
rrxy
函数线的画法
3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角§1.2.2、同角三角函数的
基本关系式
1、平方关系
22
sincos1.
2、商数关系：
tan
cos
3、倒数关系：
tancot1
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）
1、诱导公式一：
sin2ksin,cos2kcos,（其中：
kZ）
tan2ktan.
§1.1.2、弧度制
2、诱导公式二
sinsin,
coscos,
tantan.
3、诱导公式三：
sinsin,
coscos,
tantan.
4、诱导公式四：
sinsin,
coscos,
tantan.
5、诱导公式五：
sincos,
2
cossin.
2
6、诱导公式六：
sincos,
sincos,
2
cossin.
cossin.
2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：
y=sinx
-5
2
y
-
-21
3
2
7
2
-4-7-3-2-3-
o253
4x
22
22
y=cosx
y
-5
-
3
7
-32-
-21
23
2
-4-7-2-3
o25
4x
22
-1
22
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：
定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
ysinx在x[0,2]上的五个关键点为：
3
（0，0）（，2，1）（，，0）（，32，-1）（，2，0）.
§1.4.3、正切函数的图象与性质
y=tanx
y
1、记住正切函数的图象：
-3
2
--2
o
2
3
2
3、正切函数的相关性质：
定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性
周期函数定义：
对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：
正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
ysinx
ycosx
ytanx
图象
定义域
R
R
{x|xk,kZ}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
最值
x2k,kZ时，ymax1
2
x2k,kZ时，ymin1
2
x2k,kZ时，ymax1
x2k,kZ时，ymin1
无
周期性
T2
T2
T
奇偶性
奇
偶
奇
单调性kZ
在[2k,2k]上单调递增22
在[2k,2k3]上单调递减
22
在[2k,2k]上单调递增
在[2k,2k]上单调递减
在（k,k）上单调递增
22
对称性kZ
对称轴方程：
xk
2
对称中心（k,0）
对称轴方程：
xk对称中心（k,0）
2
无对称轴
k
对称中心（,0）
2
1
横坐标变为原来的|1|倍
§1.5、函数yAsinx的图象
1、对于函数：
yAsinxBA0,0的周期
2
T
2、能够讲出函数ysinx的图象与
yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩：
ysinx平移||个单位ysinx
横坐标不变
yAsinx
纵坐标变为原来的
A倍
纵坐标不变
y
Asinx
（左加右减）
平移|B|个单位yAsinxB
②先伸缩后平移：
ysinx横坐标不变
y
Asinx
纵坐标变为原来的
A倍
纵坐标不变
y
Asinx
（上加下减）
1
横坐标变为原来的|1|倍
平移个单位yAsinx
（左加右减）
平移|B|个单位yAsinxB
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数ysin（x），x∈R及函数ycos（x），2
x∈R（A,,为常数，且A≠0）的周期T2；函
||
降幂公式：
cos2
2sin
21（1cos2）
12（1cos2）
数ytan（x），xk,kZ（A,ω,为
2
常数，且A≠0）的周期T.
||
对于yAsin（x）和yAcos（x）来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin（x）图像的对称轴与对称中心，
只需令xk（kZ）与xk（kZ）2
解出x即可.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
Aymaxymin，Bymaxymin
22要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
第三章、三角恒等变换
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、sinsincoscossin
3、tan22tan.
2
1tan
sin21cos2
4、tan
1cos2sin2
§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次2、辅助角公式
22
yasinxbcosxabsin（x）（其中辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tanb）.
a
第二章：
平面向量
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、sinsincoscossin
3、coscoscossinsin
4、coscoscossinsin
5、tan1tatnanttaann.
6、tan1tatnanttaann.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、sin22sincos，
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则
升幂公式：
22
2、cos2cos2sin2
2
2cos2112sin2.
变形如下：
2
1cos22cos2
2
1cos22sin2
向量数乘运算及其几何意义
1、规定：
实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
a，它的长度和方向规定如下：
⑴aa,
⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当
0时,a的方向与a的方向相反
2、平面向量共线定理：
向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.
平面向量基本定理：
如果e1,e2是同一平面内的两个不共
升级会员 