小学奥数系统讲义完整版Word文件下载.docx
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c=a×
（b＋c）
除法：
（a＋b）÷
c=a÷
c＋b÷
c
a÷
c=（a＋b）÷
4．两个必须掌握的性质
两个数的和一定，则两数越相近，积越大
3.
4.
结果末尾有多少个零
100＋99＋98－97－96－95＋……＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1
两个数的积一定，则两数越分散，和越大
巩固练习
5．几个计算公式
5.
376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378
求和公式一:
1+2+3+……+n=
6.
1÷
50+2÷
50+3÷
50+……50÷
50
第二部分
基础知识
基础知识点列表
7.
8.
9999999×
2009
7777×
3333÷
1111
9.
归一问题
【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标
准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷
份数＝1份数量
10.1996＋1994－1992－1990＋1988＋1986－1984－1982＋1980＋1978
－1976－1974＋1972＋1970……＋4＋2
1份数量×
所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷
（总量÷
份数）＝所求份数
【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例题】买5支铅笔要元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱
解：
（1）买1支铅笔多少钱÷
5＝（元）
（2）买16支铅笔需要多少钱×
16＝（元）
列成综合算式：
5×
16＝×
答：
需要元。
11.3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷
12.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105
吨钢材，需要运几次
归总问题
【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求
的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）
的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】1份数量×
份数＝总量
总量÷
1份数量＝份数
另一份数＝另一每份数量
【解题思路】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
17.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲
车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐
【例题】服装厂原来做一套衣服用布米，改进裁剪方法后，每套衣服
和倍问题
用布米。
原来做791套衣服的布，现在可以做多少套
（1）这批布总共有多少米×
791＝（米）
（2）现在可以做多少套÷
＝904（套）
列成综合算式×
791÷
现在可以做904套。
13.小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。
小明每天读36页书，
几天可以读完《红岩》
14.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬
菜。
后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可
以吃多少天
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和÷
（几倍＋1）＝较小的数
总和－较小的数＝较大的数
较小的数×
几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏
树、桃树各多少棵
（1）杏树有多少棵248÷
（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵62×
3＝186（棵）
杏树有62棵，桃树有186棵。
18.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的倍，求
两库各存粮多少吨
和差问题
【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和
差问题。
【数量关系】大数＝（和＋差）÷
2
小数＝（和－差）÷
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；
复杂的题目变通后再用公式。
【例题】甲乙两班共学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人
甲班人数＝（98＋6）÷
2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷
2＝46（人）
甲班有52人，乙班有46人。
19.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，
从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍
20.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三
数各是多少
15.长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积
差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
16.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，
甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
【数量关系】两个数的差÷
（几倍－1）＝较小的数
较小的数×
几倍＝较大的数
【例题】果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。
求
杏树、桃树各多少棵
25.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取米，2米，米长的
钢条，要求都按米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24
（1）杏树有多少棵
（2）桃树有多少棵
124÷
（3－1）＝62（棵）
62×
段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快
果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
21.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子
二人今年各是多少岁
26.某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树
中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株可栽夹枝桃多少株两株夹枝
桃之间相距多少米
22.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，
又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两个月盈利各是多少万元
27.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一
个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯
23.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是10吨，
多少天后，玉米是小麦的12倍
年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄
差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
植树问题
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其
基本类型及公式：
①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：
棵树=段数＋1；
棵距（段长）×
段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
棵树=段数－1；
③在封闭曲线上植树：
棵树=段数；
关键问题：
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
【例题】一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵
垂柳
136÷
2＋1＝68＋1＝69（棵）
一共要栽69棵垂柳。
24.一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能
栽多少棵白杨树
与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍
明年呢
解35÷
5＝7（倍）（35+1）÷
（5+1）＝6（倍）
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
28.母亲今年37岁，女儿7岁，几年后母亲年龄是女儿的4倍
29.3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父
子今年各多少岁
30.甲对乙说：
“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。
乙对
甲说：
“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。
求甲乙
现在的岁数各是多少
识来解决。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出
现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周
期里的最后一个；
如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，
最后根据余数的大小得出正确的结果。
盈亏问题
周期现象：
事物在变化过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），
一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类
应用题叫做盈亏问题。
闰年：
四年一闰，百年不闰，四百年再闰；
月份：
1、3、5、7、8、10、12月大。
解答周期问题的关键：
【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷
分配差
找出周期T,
考察余数，注意周期的首尾两数。
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；
若每人分4
个就少1个。
问有多少小朋友有多少个苹果
按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷
分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人（11＋1）÷
（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果3×
12＋11＝47（个）
有小朋友12人，有47个苹果。
31.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；
如果每天
修300米，修完全长仍得延长4天。
这条路全长多少米
32.学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；
如果每辆车坐45
人，就刚好坐完。
问有多少车多少人
【例1】元旦是星期日，那么同年的国庆节是星期几
【解】平年元旦到国庆节共有的天数：
31+28+31+30+31+30+31+31+30+1=274；
循环的周期和余数：
274÷
7=39…1；
平年的国庆节是星期日；
[整周期的第一个数]
闰年元旦到国庆节共有的天数：
274+1=275；
275÷
7=39…2；
闰年的国庆节是星期一；
[整周期的第二个数]
【例2】甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次
取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期______。
【解】21天内，每人取奶7次，甲第8次取奶又是星期一，即每取7次奶
为一个周期100÷
7＝14……2，所以甲第100次取奶是星期二。
基础务实
33.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几
周期问题
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。
如：
人调
查十二生肖：
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；
一年
有春夏秋冬四个季节；
一个星期有七天等。
像这样日常生活中常碰到的有
一定周期的问题，我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知
34.《小学生数学报》每周星期五出版一期，1994年10月份第1期是10
月7日出版的，1995年1月份第1期应在1月几日出版
35.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。
第一棵种苹果树，第二、
鸡兔同笼
三棵种梨树，后面三棵，即第四、第五、第六棵种桃树。
那么，最后
一棵应种什么树在这100棵树中，有苹果树、梨树、桃树各多少棵
36.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、
黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面紧接
着有3盏彩灯。
那么第73盏灯是什么颜色的灯
37.小明把节省下来的硬币先按四个1分，再按三个2分，最后按两个5
分这样的顺序往下排。
那么，他排的第111个是几分硬币，这111个
硬币共多少元
38.如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是几
点钟
39.某年的10月里有5个星期六，4个星期日。
问：
这年的10月1日是
星期几
【含义】这是古典的算术问题。
已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，
求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。
已知鸡兔的总数和
鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】第一鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×
鸡兔总数）÷
（4－2）
假设全都是兔，则有鸡数＝（4×
鸡兔总数－实际脚数）÷
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有兔数＝（2×
鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷
（4＋2）
鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷
【解题思路】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以
假设都是兔。
如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；
如果先假设都是兔，然
后以鸡换兔。
这类问题也叫置换问题。
通过先假设，再置换，使问题得到
解决。
【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。
数数头有三十五，脚数共有
九十四．请你仔细算一算，多少兔子多少鸡
假设35只全为兔，则鸡数＝（4×
35－94）÷
（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×
35）÷
（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
有鸡23只，有兔12只。
43.2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施
肥9千克，求白菜有多少亩
40.学校一学期共安排86节数学课，单周一、三、五每天两节，双周二、
四每天两节。
开学第一周星期一开学典礼没上课，从星期三开始上，
则最后一节数学课是星期几上的
41.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期几
44.李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本
元，日记本每本元。
问作业本和日记本各买了多少本
45.（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，
问鸡与兔各多少只
42.有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个
数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第1991个数
被3除，所得的余数是多少
46.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个
馍，问大小和尚各多少人
方阵问题
个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条
件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×
4
每边人数＝四周人数÷
4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：
总人数＝每边人数×
每边人数
内边人数＝外边人数－层数×
2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×
层数×
【解题思路】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数
自乘；
空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【例题】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22
人，参加体操表演的同学一共有多少人
22×
22＝484（人）
抽屉原则可以推广为：
如果有m个抽屉，有k×
m＋r（0＜r≤m）个元素那
么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽
屉要放（k＋1）个或更多的元素。
【解题思路】
（1）改造抽屉，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屉；
（3）说明理由，得出结论。
【例题】育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学
生的生日是同一天的
由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，
把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。
367个“元素”放进
366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元
素”。
这说明至少有2个学生的生日是同一天的。
50.有一四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排，表示各种信号，在200
个信号中至少有多少个信号相同
参加体操表演的同学一共有484人。
47.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
51.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种
奖品。
问至少应有多少名获奖的同学，才能保证其中必有4名同学得
48.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数
到的奖品完全相同
是28人，这队学生共多少人
52.一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。
其中红球10个，白
49.一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增
加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个
球9个，黄球8个，蓝球2个。
某人闭着眼睛从中取出若干个，试问
他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同
抽屉原理
容斥原理
【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢要么把2只苹
果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；
要么把3只苹果都放进同
一个抽屉中。
这两种情况可用一句话表示：
一定有一个抽屉中放了2只或
2只以上的苹果。
这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】基本的抽屉原则是：
如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n
公式法：
直接应用包含与排除的概念和公式进行求解
容斥原理一：
C=A+B-AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。
容斥原理二：
D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC利用这一公式可计算三个集
合圈的有关问题。
图像法：
不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，
逐块地计算出各个部分，从而解答问题。
【例1】某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数
学得优的有24，其中语文、数学都得优的有12人。
全班得优共有多少人
【解】全班得优分3种:
语数均得优;
语文得优数学不得优;
数学得优语文
不得优。
语数均得优=12人
语文得优数学不得优=15-12=3人
数学得优语文不得优=24-12=12人
全班得优共有12+3+12=27人
53.某班共50人,参加课外兴趣小组学书法的32人,学绘画的28人，其
中两种都学的15人,这个班级还有多少人没参加兴趣小组
54.从1到100的自然数中，
（1）不能被6和10整除的数有多少个
（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几
56.甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、
英语。
根据下面的已知条件：
（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；
（2）浙江的教师不教英语；
（3）江苏的教师教数学；
（4）乙不教语文。
则丙不教什么学科
57.执行一项任务，要派A、B、C、D、E五人中的一些人去，受下述条件
约束：
（1）若A去，B必须去；
（2）D、E两人至少去1人；
（3）B、C
两人只能去1人；
（4）C、D两人都去或都不去；
（5）若E去，A、D
两人也必须去。
问应派哪些人去
数字谜
逻辑推理
数字谜语是一种有趣的数学问题。
它的特点是给出运算式子，但式中
逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是
根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终
找到问题的答案。
逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷
惑性，并且没有一定的解题模式。
因此，要正确解决这类问题，不仅需要
始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律
和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既
不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，
在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。
55.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：
“甲是2号，乙是3号.”钱说：
“丙是4号，乙是2号.”
孙说：
“丁是2号，丙是3号.”李说：
“丁是4号，甲是1号.”
某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从
而确定这些字母或汉字所代表的数字。
步骤：
1、先确定明显部分的数字
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