当,1rad/s,er(j1)=罟,zlr(j1^18.4;当.=2rad/s,,2)
Zlr(j2)=184。
因此,在输入信号下的稳态误差为:
■1010
essr(t)sin(t30184)2sin(2t4518.4)
54
=-10sin(t48.4)冷0sin(2t63.4)
15分)给定系统如图所示,其中N(s)表干扰信号,R(s)表示输入信旦
输出信号。
(1)画闭环根轨迹的大致图形,标出渐进线、出射角、入射角;(上的交点,确定使闭环系统稳定的参数K的取值范围,并用劳氏判进行检验。
入3
四、
号。
恥)、
—-*oc
V_jpi
■号,
2)
_10
=~4,
C(s)表示
根据虚轴
C⑸
解:
(1)由题意,开环传递函数为:
K(s2+2s+2)
G(s)3
s
闭环特征方程为:
D(s^s3Ks22Ks•2K=0
1)传递函数的开环极点和开环零点个数分别为n=3,m=2,n-m=1,有1条渐近线。
2
2)令s2s2=0,可得Z1,2=-1_j,pi,2,3=0,则根轨迹在实轴上分布于(-:
:
,0]。
Vp一Wz
3)渐近线与实轴交点:
G-^2,渐近线为实轴。
n-m
4)分离点和汇合点d[G(s)H(s)]=0。
令'丄——〔J。
,可得恥=0,
dsJG(S)丿lf+2s+2丿
龟4--1-2j。
6)出射角和入射角:
p二180(211)—C吊八耳),z二180:
(211)—('石-7和)
代入可得出射角为45°,入射角为135。
由此画出根轨迹如图所示,
2
RootLn-tus
(2)根轨迹与虚轴的交点,用代入法求,将s二j•代入特征方程,可得:
22
D(j•)=(2K—K•)(2K—•)j=0
可得:
-.2,
K=1
由根轨迹可知系统当
K>1时稳定。
根据劳斯稳定判据,
列劳斯阵列如下:
3s
1
2K
2s
K
2K
1
s2K-2
0
s0
2K
0
为使系统稳定,劳斯阵列的第一行的元素要全部大于零,即系统当K>1时稳定。
联校正装置,使得系统满足下列指标:
(1)跟踪单位斜坡输入信号时的稳态误差为0.01;
(2)开环剪切频率为0.6rad/sw•W1rad/s;(3)开环相角裕度>40;。
要求写出校正装置
的传递函数,并检验设计结果是否满足上述指标。
2
解:
由Kv=100可得G(s)的伯德图,如图所示。
s(s+1)(0.02s+1)
G
GainMarginip日):
-5.B5
Atfr*qlyad•skJ:
7.07
ClaudLoopSablt?
No
由图可以看出闭环系统是不稳定的。
要想在■.c=0.8rad/s处穿越,将Wj代入G(S),得:
G(j0.8)=_0.3264j0.39488
需要补充的幅值为39.78dB,同时在该处相角裕度满足条件。
迟后校正,-
1
下移的幅值为m二39・78dB二20lg—,解得:
〉二0・0103a
又专咗,得:
J213*5,GW碟詁
校正后伯德图如图所示。
T2>0。
回答下列问题:
(1)画出开环频率特性Nyquist曲线的概略图形;
(2)根据Nyquist判据确定使闭环系统临界稳定的参数TpT2应该满足的条件。
解:
(1)根据系统的开环传递函数可以得到:
©
0
1
T1T2
+30
AC)
-He
T1T2
T1T2
0
(■)
90:
-180:
:
-270
由此画出Nyquist曲线的概略图形如图所示。
令=「180;求得--
,则:
__+Im
五兀[g]
MTZ
"丄、I,zz丄z丨0.368z+0.264
=(1-z)2…1~2
|L(z-1)2z-1z-ez2-1.368z0.368
0.368z0.264
2
z-z0.632
C(z)吕(z)R(z)
0.368z」0.264z^
运用长除法,得:
则可得:
1-2z」-1.632z,-0.632z;
12345
C(z)=0.368z1.00z1.40z1.40z1.147z
C(0)=0,C(T)=0.368,C(2T)=1.00
C(3T)=1.40,C(4T)=1.40,C(5T)=1.147
kTW5T时的响应曲线为如图所示。
八、(15分)设当图所示系统的初始条件分别为:
(1)e(0)=_0.5,e(0)--0.1;
(2)
e(0)=5,e(0)=0时,在e-e平面上绘制相轨迹图,并根据所得的相轨迹图对系统的性能进行讨论。
解:
根据题图,可得:
u(t)」,[e(t)1;或丫)「且心。
曰,当e(t)v—1;或e(t)<1且e(t)>0e(t)--c(t),u(t)"(t)C(t)
e'e1,当e>「1且e<0;或e>1(i区)
e•e=1,当e<1且e>0;或e<-1(n区)
183!
g血1
a
a
■■
由此可得:
i区:
e•e=-1,无奇点,渐近线为e=-1,等倾线
e
n区:
同I区。
由此绘制相轨迹图如图所示。
如图所示,无论初态在何处,相轨迹最终都要收敛,因此,系统是稳定的。
九、(15分)已知系统的传递函数矩阵为G(s:
土
s3,试求系统的能
观规范形的实现。
解:
根据已知条件,有:
G(s^C(s|-1)1B^_s11
1'+D
s
则可得:
D=0
将C(sl-1)丄B写成按s的降幕排列格式:
「丄]
s+1
1
s+2
1
C(sI-1)1口
(s1)(s2)(s3)
Rs+2)(s+3)]
(s+1)(s+3)
](s+1)(s+2)一
22+5s+61
2s+4s+3
2
s+3s+2
讣1■
1i,a=41,a=3
jJId
系统为3输入1输出,因此得到系统的能观规范形的实现为:
0m0m-a01mI
A0=1m0m—a11m
卫m1m"^21m_
B。
=b0b1b2T=1115
C0=0m0m1m
十、(15分)已知XJ01*0
|lp-5|[100
X2不可测量,试设计一个降维的状态观测器,使降维观测器的极点为
测器动态方程,并写出状态
1
"s36s211s6
1
s36s211s6
则有:
a0=6,at=11,a2=6,b0
解:
对于不可观测部分,
,其中,
Im
_1
0
【°
Ol0
1
2T
,y-10lx,其中
k=X1。
若系统状态为
/2
-10,要求写出降维观
X2的估计方程。
X2二-5x2100u
.y0=X1=X2
-10,则(A22-LA12)的特征根为-10,
其状态方程为:
为使降维观测器极点为
将其代入X2=(A22-LA!
2)XL(V-A』-Be)(A21y珈),可得:
切--10x25y°100u--10x25y100u
令w-5y,则?
2=w5y,2=W5*,即:
W二…10w-50y100u(降维观测器的动态方程)=w5y(降维观测器的估计方程)
降维状态观测器的系统结构图如图所示。
解得:
L=-5