洛伦兹变换的推导.docx

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洛伦兹变换的推导

洛伦兹变换的推导：

不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，

所有的物理规律都是一样的

现在我们设（x，y，z，t）所在坐标系（A系）静止，（X，Y，Z，T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。

在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。

可令

（1）.

又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。

）同理，B系中的原点处有

，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K。

故有

（2）.

对于y，z，Y，Z皆与速度无关，可得

（3）.

（4）.

将

（2）代入

（1）可得：

，即

（5）.

（1）

（2）（3）（4）（5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。

当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有

，

。

代入

（1）

（2）式得：

，

。

两式相乘消去t和T得：

.

将γ反代入

（2）（5）式得坐标变换：

3．速度变换：

同理可得V（y），V（z）的表达式。

4．尺缩效应：

B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由

得：

，又△t=0（要同时测量两端的坐标），则

，即：

，

。

5．钟慢效应：

由坐标变换的逆变换可知，

，故

，又

，（要在同地测量），故

。

（注：

与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。

）

6．光的多普勒效应：

（注：

声音的多普勒效应是：

）

B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。

B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t（b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为

（1）.

探测器开始接收时刻为

，最终时刻为

，则

（2）.

相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即

（3）.

由以上三式可得：

.

7．动量表达式：

（注：

，此时，

因为对于动力学质点可选自身为参考系，

）

牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中，

，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x，y，z）新坐标系中为（X，Y，Z））只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时

莫属）就可以修正速度的概念了。

即令

为相对论速度。

牛顿动量为

，将v替换为V，可修正动量，即

。

定义

（相对论质量）则

.这就是相对论力学的基本量：

相对论动量。

（注：

人们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

8．相对论力学基本方程：

：

由相对论动量表达式可知：

，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。

（相对论中质量是变量）

9．质能方程：

即

10．能量动量关系：

，

，

，

四维证明

1．公理，无法证明。

2．坐标变换：

由光速不变原理：

dl=cdt，即dx2+dy2+dz2+（icdt）2=0在任意惯性系内都成立。

定义dS为四维间隔，

dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2 

（1）.

则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。

dS2>0称类空间隔，dS2<0称类时间隔，dS2=0称类光间隔。

相对论原理要求

（1）式在坐标变换下形式不变，因此

（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。

因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：

dS是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：

（保持y，z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+（ict）sinφ

得：

tanφ=iu/c，则cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ（x-ut）

Y=y

Z=z

T=γ（t-ux/c2）

3．4．5．6．略。

7．动量表达式及四维矢量：

（注：

γ=1/sqr（1-v2/c2），下式中dt=γdτ）

令r=（x，y，z，ict）则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=（γv，icγ）γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。

（以下同理）

四维动量：

P=mV=（γmv，icγm）=（Mv，icM）

四维力：

f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F为三维力）

四维加速度：

ω=/dτ=（γ4a，γ4iva/c）

则f=mdV/dτ=mω

8．略。

9．质能方程：

fV=mωV=m（γ5va+i2γ5va）=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：

γ2mFv+γic（dM/dt）（icγm）=0（F，v为三维矢量，且Fv=dEk/dt（功率表达式））

故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c2∫dM，即：

Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

（注：

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