八年级下册数学《数据统计》方差 知识点整理Word格式文档下载.docx

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②角--四个角都是直角；

③对角线--对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

④对称性--是轴对称图形，有四条对称轴。

⑤特殊性质--正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线及边的夹角是45°

；

　　正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形　　（3）、正方形的判定：

　　判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：

①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；

②先证它是菱形，再证它有一个角是直角。

　2、梯形　　

（1）、梯形的定义：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

（2）、梯形的分类：

一般梯形，直角梯形，等腰梯形①直角梯形：

有一个角是直角的梯形。

②等腰梯形：

两腰相等的梯形。

　　（3）、等腰梯形的性质：

①等腰梯形两腰相等，两底平行；

②等腰梯形同一底边上的两个角相等；

③等腰梯形的两条对角线相等。

④等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。

　　（4）、等腰梯形的判定：

①两腰相等的梯形是等腰梯形；

②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

③对角线相等的梯形是等腰梯形。

提示：

等腰梯形的判定思路：

先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行），再证两腰相等或同一底上的两个角相等。

①“平移腰”：

过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形；

②“作高”：

使两腰在两个直角三角形中；

③“平移对角线”:

使两条对角线在同一个三角形中；

④“延长两腰”:

构造具有公共角的两个三角形；

⑤“等积变形”:

连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长及底的延长线交于一点，构成三角形。

综上所述：

解决梯形问题的基本思想和方法：

梯形问题“转换，拼接”为三角形或平行四边形问题，　　这种思路常常通过平移或旋转来实现。

　3、重心　　

（1）、重心的定义：

平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。

（2）、几种几何图形的重心：

①线段的重心就是线段的中点；

②平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；

③三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；

④任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。

①无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；

②从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。

　（3）、常见图形重心的性质：

①线段的重心把线段分为两等份；

②平行四边形的重心把对角线分为两等份；

③三角形的重心把中线分为1:

2两部分（重心到顶点距离占2份，重心到对边中点距离占1份）。

　三、经验之谈：

　　正方形和梯形都是特殊的平行四边形中的重点，希望同学们一定要记住它们的特点，特别是在考梯形的时候，变幻莫测。

但是万变不离其中，只要牢牢的掌握的基础知识，其他都不是问题。

矩形、菱形

　　一、本节学习指导　　矩形、菱形是特殊的平行四边形中非常重要的两种，因此平行四边形拥有的性质它们均有。

那么它们也有只属于它们的特征，这一节就来学习这些。

同样，同学们需要多做练习题。

　二、知识要点1、矩形【重点】　　

（1）、矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

（2）、矩形的性质：

①矩形具有平行四边形的一切性质；

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线平分且相等；

（AC=BD）④矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

⑴“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；

⑵矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

　　（3）、矩形判定方法：

⑴定义：

⑵方法1：

对角线相等的平行四边形是矩形。

⑶方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形。

　2、菱形【重点】

（1）、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）、菱形的性质：

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

④菱形是轴对称图形。

　提示:

利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可及勾股定理联系，　　可得对角线及边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

　　（3）、菱形的判定方法：

一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵判断方法1：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶判断方法2：

四条边相等的四边形是菱形。

　　（4）、菱形面积的计算：

　　菱形面积=底×

高=对角线长乘积的一半　　S菱形=1/2×

ab（a、b为两条对角线）归纳：

对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

　　菱形和矩形考试经常出现，并且频率相当高。

同学们要记住它们的特性和判定方法，证明此类题型的时候要“根据已有条件来凑条件”来证明会容易些。

平行四边形及其判断

一、本节学习指导　　这一节学习的知识纯粹是几何知识，在学习过程中我们要多思考，多做练习题。

至于平行四边形的判定要掌握好常见的一两种证明方法，其他的基本上都是推导而来。

　二、知识要点一、平行四边形　　1、平行四边形定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

　　2、平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对角线互相平分。

　　3、平行四边形的面积：

（1）、平行四边形的面积=底×

高=ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a的边及其对边的距离）　　

（2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

　4、平行四边形的判定【重要】　　

（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

　　（3）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

　　（4）.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

　　（5）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；

（2）判定方法可作为“画平行四边形”的依据；

　　（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

　　我们一起来看一个关于证明平行四边形的题目：

　5、三角形中的中位线【重要】　　

（1）、三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

每一条中位线及第三边都有相应的位置关系和数量关系。

（2）三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系。

　　（3）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。

　　（3）、三角形中位线定理的作用：

　　位置关系：

可以证明两条直线平行。

　　数量关系：

可以证明线段的倍分关系。

（4）、常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

　　结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

　　结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

　　结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

　　结论4：

三角形一条中线和及它相交的中位线互相平分。

　　结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角及这夹角所对的三角形的顶角相等。

　6、两条平行线间的距离　　

（1）、定义：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

（2）、性质：

⑴两条平行线间的距离处处相等；

⑵两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。

　　这一节中要求我们理解的非常多，要求死记硬背的也很多。

这里给点建议，数学中涉及记忆型的理论，希望同学们能先理解，后记忆。

像三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

如果我们理解了这一条的话，记忆起来就容易很多，并且在遇到相关题目的时候绝对能运用自如。

命题

（）加速度学习网整理　一、本节学习指导　　这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确及错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确及否才叫做命题。

　二、知识要点1、命题、定理、证明⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：

命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵命题的分类（按正确、错误及否分）　　命题：

真命题（正确的命题）；

假命题（错误的命题）　　所谓正确的命题就是：

如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

　　所谓错误的命题就是：

如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶公理：

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷定理：

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸证明：

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。

②根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

2、常用数学口诀.

口诀：

完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；

　　首±

尾括号带平方，尾项符号随中央。

　　命题部分理解了命题的概念，基本上题目中都不会错，不过还是要细心些，越是容易的题目越不要放过。

后面还总结本节的几个常用公式，这些公式一直到大学毕业都在用，同学们一定要记住，如果记不住的下面还总结了口诀方便记忆。

世上无难事，只怕有心人。

　　如图：

RT△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB，则有：

　　5、常用关系式　　由三角形面积公式可得：

AB·

CD=AC·

BC　　6、直角三角形的判定　　1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

　　2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

　　3、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有关系a²

＋b²

=c²

，那么这个三角形是直角三角形。

　　三、经验之谈：

　　上面总结了很多公式，有些是书上给出的，有些是平时做题的积累，希望给同学们平时的学习带来帮助，可能你会对有些公式不太理解，没关系，因为有些知识我们只需要死记就OK，不管是白猫黑猫，待到分数就是好猫。

分式方程

一、本节学习指导　　解分式方程和我们前面学习的解方程有很多相似之处，期间会运用到很多分式的计算方式，就这一节来说并不难。

做适当练习即能掌握。

二、知识要点1、分式方程：

含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

（1）、分式方程的解法：

　　解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：

即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程；

③检验：

把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：

①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

（2）、解分式方程的步骤：

①能化简的先化简；

②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．　　（3）、分式方程检验方法：

将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，　　则整式方程的解是原分式方程的解；

否则，这个解不是原分式方程的解。

　　（4）、含有字母的分式方程的解法：

　　在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。

计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

　　2、列分式方程解应用题　　

（1）列分式方程解应用题的步骤：

①审：

审清题意；

②找:

找出相等关系；

③设：

设未知数；

④列：

列出分式方程；

⑤解：

解这个分式方程；

⑥验：

既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；

⑦答：

写出答案。

（2）应用题有几种类型；

基本公式是什么？

　　常见的有以下五种：

①行程问题基本公式：

路程=速度×

时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．②数字问题：

在数字问题中要掌握十进制数的表示法．③工程问题基本公式：

工作量=工时×

工效．

三、经验之谈　　这一节考点比较多的应该是分式方程的应用题和科学计数法，但应用题基本不会单独命题，步骤虽繁琐，但是难度并不大。

科学计数法有两种情况，不要混淆了，填空题中还是比较容易被考到的，并且这一点在物理中用得也比较多，希望同学们掌握好。

反比率函数的图像及性质

　　一、本节学习指导

　　这一节我们来学习反比率函数的图像，同样我们用表格来对比两种不同情况下的反比率函数，通过对比我们会得出很多结论。

同学们要对这些结论加以理解并记忆，而且在课余的时候多做练习题。

这一节的知识基本上都会和一次函数结合起来考，同学们对一次函数的相关性质还记得吗？

　　反比例函数y＝k/x的图象是由两支曲线组成的。

当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

【重点】

注：

⑴这两支曲线通常称为双曲线。

⑵这两支曲线关于原点对称。

⑶反比例函数的图象及x轴、y轴没有公共点。

提示:

（1）反比例函数y＝k/x（k≠0），因为x≠0，y≠0,故图像不经过原点，双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说图像的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、第四象限）

（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般是在各自的象限内的增减情况；

　　（3）反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永远不能和坐标轴相交，也不能“翘尾巴”；

　　（4）反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；

反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。

如：

已知双曲线y＝k/x在第二、第四象限，则可知k＜0.

　　不管是何种函数都存在增减性，一次函数y=kx+b，当k＜0时，y随x的增大而减小；

k＞0时，y随x的增大而增大。

反比率函数也有同样的性质，当k＜0时，y随x的增大而增大；

k＞0时，y随x的增大而减小。

我们发现发比率函数的y值和x值的变化恰恰相反，这就是诠释了y=k/x叫反比率函数的原因。

　　函数的增减性如果同学们记不住的话，可以采用取值来验证，比如判断y=5/x是哪种变化趋势，我们可以取x=5时得y=1；

当x=10时y=1/2，结论就有了，后面的x取值比前面的x取值大（x增大），后面对应的y值比前面对应的y值小（y值增大），所以结论就是y随x的增大而增大；

当然遇到比较复杂的函数这种取值存在漏洞，还需用画图来观察才是最直观的。

这种取值的笨方法就是在初三的二次函数也非常有用。

反比例函数

一、本节学习指导　　前面我们已经学习过一次函数，也知道函数中包括自变量x和因变量y。

怎样理解函数的定义呢，我们可以形象把函数这样理解：

我从上海去北京可以通过坐火车，乘飞机，也可以骑自行车，这不同的交通方式就是一种函数关系，当自变量选择坐火车的时候，因变量y就等于节约钱；

当自变量x选择乘飞机的时候，因变量y就等于节约时间；

我们看到因变量y总是随自变量x的变化及之对应变化，这就是函数关系式。

　　这一节学习反比率函数，反比率函数也是一种关系式，和一次函数不同的是，反比率函数的因变量y的变化恰恰及自变量x的变化相反。

2、图像：

反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

【重点】　　有两条对称轴：

直线y=x和y=-x。

对称中心是：

原点。

3、性质:

当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；

【重点】　　当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增

4、|k|的几何意义：

　　表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段及两坐标轴围成的矩形的面积。

5、推导：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成y＝k/x（K为常数，K≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的自变量x不能为零。

　6、反比例函数的图象及其画法【重点】　　反比例函数图象的画法--描点法：

⑴列表--自变量取值应以0（但（x≠0）为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y的值；

⑵描点--先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；

⑶连线--按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不及坐标轴相交。

　三、经验之谈　　学函数，画图是基本功，同学们平时要多练习。

函数的画图标准的3步，第一步取点列表，第二步描点，第三用平滑的曲线把个点连接起来。

平时在做练习的时候遇到函数题，就把图像画出来，因为图像能形象的帮助我们分析。

在学习反比率函数的时候不妨把一次函数回忆一遍，你会有很多意外的发现。

上面总结的知识点中，第4点希望同学们能记住，这是做了大量题而得出的结论。

分式的混合运算

一、本节学习指导　　本节会有大量的计算题目，希望同学们能细心一些，这一节的题目并不难，只要意识到了，相信你很轻松就能做到。

二、知识要点1、分式的乘除法法则　　

（1）、分式乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

（2）、分式除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，及被除式相乘。

（1）分式及分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；

若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式再看能否约分，然后再相乘；

（2）当分式及整式相乘时，要把整式及分式的分子相乘作为积的分子，分母不变　　（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

　　（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序及分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，先确定积的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。

2、分式乘方法则：

分式乘方要把分子、分母各自乘方。

①乘方时，一定要把分式加上括号；

②分式乘方时确定乘方结果的符号及有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；

负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；

③分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

④在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。

3、分式的加减法则：

（1）、同分母加减法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）、异分母加减法则：

异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

①“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；

②异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；

③运算时顺序合理、步骤清晰；

④运算结果必须化成最简分式或整式。

　4、分式的混合运算:

（1）、分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，及分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

　5、整数指数幂：

　　这一章容易忽视的是任何一个不等于零的数的零次幂等于1，前提是不等于零的零次方等于1，这在考试的选填空题经常出现，还有就是很多基础的计算公式希望同学们能熟练掌握，适当的做一些练习题来巩固这些公式分式的认识

　　（）51加速度学习网整理一、本节学习指导　　这一节是学习本章节的基础，分式是比较繁琐的知识点，它和我们小学学的分数有很大的差别，难度也更大。

分式的有误意义是选择题和填空题的最爱，分式的化简却贯穿了整个初中数学的计算，希望同学们多做练习题，一定要牢牢的掌握这一节的知识。

二、知识要点1、分式的定义：

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

2、分式有意义、无意义的条件：

①分式有意义的条件：

分式的分母不等于0；

②分式无意义的条件：

分式的分母等于0。

　3、分式值为零的条件：

　　当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

　　注：

分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式A/B为0的条件是A＝0，且B≠0。

　　注意：

分式的值为0的条件是：

分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。

首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

　4、分式的基本性质：

分式的分子及分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

①“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；

④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5、分式的通分：

　　和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式