第一次大作业Word格式.docx
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任课教师
苏为洲教授
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目录
1引言4
2系统建模与分析5
3系统仿真11
4结论13
5参考文献13
摘要：
本文通过阅读《DesignofastabilityaugmentationsystemforahelicopterusingLQRcontrolandADS-33handlingqualitiesspecifications》一文，对常规直升机模型进行分析，然后以此文所提取的线性化模型为对象，建立其输入输出和状态空间模型，并运用不变子空间的概念分析系统响应的特征。
关键词：
状态方程零输入响应不变子空间
1.引言
直升机是一类很难控制的飞机。
通常来说，他们表现出复杂且非线性的动态特性，且具有高强度的轴间耦合。
另外，直升机是开环的，而且大部分是包含适度高等级不确定性的数学模型，这种不确定性常常和被忽略的动态性及认识尚浅的航空机械耦合性等联系在一起。
在实际的演习执行过程中，以及在降级的虚拟或实际条件（比如烟雾，强风或者风切变）出现的情况下，飞行员常常需要紧张地专注于使飞行任务获取平稳的令人满意的表现。
这是由于如前述所说的直升机复杂的表现，特别是其多轴的自然特性。
为了减轻飞行员的工作负担，使飞行任务完成得更高水平，我们需要加入一些类型的自动控制系统。
对于军事直升机的严格要求已经在航空设计标准ADS-33F-PRF里面以文件形式陈述清楚了，这同时阐明了为获得足够的解耦性，稳定性以及移动性而设计的一个控制系统需有的标准。
自动控制常被用于提高直升机的操作性能。
本次设计我们采用了一个具有全状态反馈（SF）和输出反馈（OF）为基础的线性二次型调节器（LQR）。
对直升机在不同的飞行状态下进行分析，使控制器的设计可以满足这些条件下在纵轴和横轴上的稳定性。
也就是说，反馈控制器是在不同的悬停、低速和高速前进的平衡状态下设计出来的。
而对于仿真研究，我们考虑一个具有软面内的四桨叶无铰链主旋翼和一个常规机械控制的四桨叶尾翼的直升机。
直升机的数学模型来源于一个简单的通用非线性模型。
所以必须对其进行线性化处理。
线性化之后，我们建立了对应的输入输出模型和状态空间方程。
并运用不变子空间的概念分析了系统响应的特征。
2系统建模与分析
2.1不变子空间的概念
设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的一个子空间，如果W中的向量在A下的像仍在W中，换句换说，对于W中任一向量
，有
就称W是A的不变子空间。
2.2系统建模
本次仿真的模型是一个具有软面内的四桨叶无铰链主旋翼和一个常规机械控制的四桨叶尾翼的直升机。
该直升机的数学模型来源于一个简单的通用非线性模型。
主旋翼近似为一个中心弹簧的模型。
尾翼的模型是一个圆锥形的盘状物。
机身的航空动力学表示为发生率和质心侧偏角的查询表和多项式方程的组合。
机翼表面用一个常量的航空动力学举力系数表示（假设是一个二维的流）。
主旋翼和尾翼剖面具有简单的阻力模型，且由零升力和举力依赖系数构成。
通常来说，直升机的动力学可以用如下方程表示：
线性化后的直升机动力学可以用如下状态空间形式表示：
其中状态矩阵X：
（3）
控制矩阵U：
（4）
系统矩阵F和G如式
（1）所示，且在不同的速度条件下计算。
线性模型是分别在悬停，50,100,200和290公里每小时的条件下得到的。
传动装置的动力学近似为一阶模型添加到线性系统。
三个主旋翼传动装置的时间常数是0.1秒，而尾翼传动装置的时间常数则为0.05秒。
传动装置驱动输入信号至控制面。
模型详细讲解请参考文献[1]。
现只建立其中的纵轴动力学模型。
其状态空间表达式为：
其中，在直行和水平前进速度达到100公里每小时的情况下的A，B，C和D矩阵如下：
2.3该系统的输入输出关系
由上述状态方程用MATLAB仿真以求出系统的输入输出关系式。
求输入输出所用到的MATLAB指令如下：
A=[-0.380.96-0.24-0.17;
0.1-1.20.49-0.012;
1.21.3-2.20;
000.990];
B=[1.9-1.1;
-2.8-6.2;
1225;
00];
C=eye（4）;
D=[00;
00;
G=ss（A,B,C,D）;
G1=tf（G）
Transferfunctionfrominput1tooutputis：
1.9s^3+0.892s^2-1.065s-1.918
#1:
----------------------------------------------------------
s^4+3.78s^3+3.487s^2+0.5797s+0.2838
-2.8s^3-1.154s^2+0.1918s-0.8487
#2:
-----------------------------------------------------------
12s^3+17.6s^2+2.694s-1.256e-016
#3:
------------------------------------------------------------
11.88s^2+17.42s+2.667
#4:
Transferfunctionfrominput2tooutputis
-1.1s^3-15.69s^2-13.01s-3.995
-6.2s^3-3.856s^2-4.1s-1.77
25s^3+30.12s^2-2.932s-1.382e-016
24.75s^2+29.82s-2.903
2.4求该系统的约旦标准型
将A、B、C、D化为约旦标准型，状态方程如下：
其中，T为A的特征向量组成的矩阵
在MATLAB输入命令，找出T和新的A、B、C、D
>
A=[-0.380.96-0.24-0.17;
B=[1.9-1.1;
C=eye（4）;
[T,V]=eig（A）;
%求A的特征向量和特征根
T1=inv（T）;
%求逆
A1=T1*A*T;
%根据T和T1算出新的A、B、C
B1=T1*B;
C1=C*T;
求出A1、B1、C1如下：
由于A1有共轭复根，所以必须将其对角化，化成实数阵；
便于分析
再进行一次等价变换，选取Q、
分别如下：
按照以下公式进行等价变化
MATLAB主窗口输入以下代码，可求出A2、B2、C2
Q1=[1000;
0100;
0011;
00i-i];
Q=inv（Q1）;
A2=Q1*A1*Q;
B2=Q1*B1;
C2=C1*Q;
得到新的A、B、C、D为
3系统的MATLAB仿真
3.1该系统的零输入响应分析
由于等价变换不改变其系统，对新系统进行仿真
系统框图如下图所示：
图3.1
该系统为二输入四输出，输入设置为0，即零输入响应，A、B、C、D及初始状态如下图所示：
图3.2
点击运行，并在MATLAB主窗口输入以下命令
plot3（yout（:
1）,yout（:
2）,yout（:
3））;
gridon;
%
画出yout的三维空间图形
3.2MATLAB仿真结果
如下：
图3.3
由于系统为四阶系统，且经过等价变化之后变为实数对角阵，故令其中两阶为0，故另外两阶不为零组成的平面是该系统的不变子空间（不变子空间概念：
若S是矩阵A的不变子空间，则对于任意的
，都有
）。
系统初始状态为
，即落在系统的不变子空间上，而由系统响应的输出仿真结果可以说明，系统输出响应落在其不变子空间上。
4结论
由上面的分析可知：
所有不为零的特征向量
（
）为基底组成系统的不变子空间，如果系统的初始状态落在该子空间里，那么该系统零输入响应的轨迹就一定也落在该空间里面。
参考文献
[1]DesignofastabilityaugmentationsystemforahelicopterusingLQRcontrolandADS-33handlingqualitiesspecificationsTM-4562,1994.
[2]HaraldBuschekandAnthonyJ.Calise.,“Robustcontrolofhypersonicvehicleconsideringpropulsiveandaeroelasticeffects,”AIAAPaper93-3762-CP,1993.
[3]SHIZhong-ke,WUFang-xiang,WangBei,RuanHong-ning,“RobustControlTheory,”NationalDefenseIndustryPress,Beijing,2003:
pp187
231[inchinese].
[4]《基于MATLAB的控制系统计算机仿真》瞿亮凌民蔡立军编著清华大学出版社
[5]LINEARSUSTEMTHEORYANDDESIGNByChi-TsongChen.
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