最新高考文科数学湖南卷试题与答案WORD解析版优秀名师资料Word文档格式.docx
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本大题共6小题，每小题5分，共30分（
10（（2013湖南，文10）已知集合U,{2,3,6,8}，A,{2,3}，B,{2,6,8}，则（A）?
B,__________.U
xs,，21,11（（2013湖南，文11）在平面直角坐标系xOy中，若直线l:
（s为参数）和直线l:
12,ys,,
xat,,,（t为参数）平行，则常数a的值为__________（,yt,,21,
12（（2013湖南，文12）执行如图所示的程序框图，如果输入a,1，b
2，则输出的的值为__________（a
xy，,28,,
13（（2013湖南，文13）若变量x，y满足约束条件则x，y04,,,x,
03,,,y,
的最大值为__________（
22xy14（（2013湖南，文14）设F，F是双曲线C:
,1（a,0，b,0）的两个焦点（若在C上存在1222ab
一点P，使PF?
PF，且?
PFF,30?
，则C的离心率为__________（1212
15（（2013湖南，文15）对于E,{a，a，„，a}的子集X,{，，„，}，定义X的“特征aaa12100iii12k数列”为x，x，„，x，其中xi,xi,„,xi,1，其余项均为0.例如:
子集{a，a}的“特征数列”1210012k23为0,1,1,0,0，„，0.
（1）子集{a，a，a}的“特征数列”的前3项和等于__________;
135
（2）若E的子集P的“特征数列”p，p，„，p满足p,1，p，p,1,1?
i?
99;
E的子集Q的“特征121001，1ii
数列”，，„，满足,1，，，,1,1?
?
98，则?
的元素个数为__________（qqqqqqqjPQ121001jj，1j，2
三、解答题:
本大题共6小题，共75分（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（
π,,cosx,16（（2013湖南，文16）（本小题满分12分）已知函数（）,cos?
.fxx,,3,,
2π,,f
（1）求的值;
,3,,
1
（2）求使f（x）,成立的x的取值集合（4
中，?
17（（2013湖南，文17）（本小题满分12分）如图，在直棱柱ABC,ABCBAC,90?
，AB,AC,，2111AA,3，D是BC的中点，点E在棱BB上运动（11
（1）证明:
AD?
CE;
1
（2）当异面直线AC，CE所成的角为60?
时，求三棱锥CABE的体积（1111
18（（2013湖南，文18）（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物（根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位:
kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示
X1234
Y51484542
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（
（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量;
频数4
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率（
19?
0,2,?
（（2013湖南，文19）（本小题满分13分）设S为数列{a}的前n项和，已知aa,aSS，n?
nn1n11n*N.
（1）求a，a，并求数列{a}的通项公式;
12n
（2）求数列{na}的前n项和（n
2x220（（2013湖南，文20）（本小题满分13分）已知F，F分别是椭圆E:
，y,1的左、右焦点，F，F12125关于直线x，y,2,0的对称点是圆C的一条直径的两个端点（
（1）求圆C的方程;
（2）设过点F的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程（2
1,xx21（（2013湖南，文21）（本小题满分13分）已知函数f（x）,e.21，x
（1）求f（x）的单调区间;
（2）证明:
当f（x）,f（x）（x?
x）时，x，x,0.121212
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（湖南卷）
数学（文史卷）一、选择题:
本大题共9小题，每小题5分，共45分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的（
1（
答案:
B
解析:
z,i?
（1，i）,i,1,,1，i，故选B（（2
A
“1,x,2”能推出“x,2”成立，但“x,2”不能推出“1,x,2”成立，故选A（
3（
D
31解析:
抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，?
n,13，故选D（,6020
4（
（）是奇函数，（）是偶函数，解析:
fxgx
f（,1），g
（1）,2，即,f
（1），g
（1）,2.?
f
（1），g（,1）,4，即f
（1），g
（1）,4.?
由?
，?
得g
（1）,3，故选B（
5（
2asinB,b，?
2sinAsinB,sinB（33
3?
sinB?
0，?
sinA,.2
π,,0,?
A?
，,,2,,
π?
A,.故选A（3
6（
C
利用图象知，有两个交点（故选C（
7（
如图所示，正方体ABCD,ABCD的俯视图为ABCD，侧视图为BBDD，此时满足其面积为，故该2111111
正方体的正视图应为AACC（又因AC,，故其面积为.2211
8（
可利用特殊值法求解（可令a,（1,0），b,（0,1），c,（x，y）（
由|c,a,b|,1，
22，,，，，,，,xy111得，
22?
（x,1），（y,1）,1.
22xy，|c|即为，可看成M上的点到原点的距离，?
|c|,|OM|，1,max
.21，
故选C（
9（
如图，设AB,2x，AD,2y.
11由于AB为最大边的概率是，则P在EF上运动满足条件，且DE,CF,x，即AB,EB或AB,FA（22
239,,2222?
，即4x,4y，x，22xyx,，，，,,24,,
2y7722即x,4y，?
.,2x164
y7,?
.x4
ADyy27,,,又?
，故选D（ABxx24
本大题共6小题，每小题5分，共30分（10（答案:
{6,8}
11（答案:
4
aay，1xy,，解析:
l的普通方程为:
x,2y，1，l的普通方程为:
x,a?
，即，?
a,4.1222212（
9
输入a,1，b,2，不满足a,8，故a,3;
a,3不满足a,8，故a,5;
a,5不满足a,8，故a,7;
a,7不满足a,8，故a,9，满足a,8，终止循环（输出a,9.
13（答案:
6
画出可行域，令z,x，y，易知z在A（4,2）处取得最大值6.
14（答案:
31，
如图所示，
PF?
PF，?
，1212
可得|PF|,c.2
由双曲线定义知，
|PF|,2a，c，1222由|FF|,|PF|，|PF|得1212222224c,（2a，c），c，即2c,4ac,4a,0，2即e,2e,2,0，
223,e,?
.e,，132
15（
（1）2
（2）17
（1）{a，a，a}的特征数列为1,0,1,0,1,0，„，0，?
前3项和为2.135
（2）根据题意知，的特征数列为1,0,1,0,1，0，„，P
则P,{a，a，a，„，a}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，„，13599
则Q,{a，a，a，a，„，a}有34个元素，14710100
P?
Q,{a，a，a，„，a}，171397
971,共有1，,17个（6
16（
2π2ππ,,f,,coscos解:
（1）,,333,,
ππ,,,coscos33
211,,.,,,,,,24,,
π,,cosx,
（2）f（x）,cosx?
,13,cosx?
cossinxx，,,,,22,,
312,cosx，sinxcosx22
31,（1，cos2x），sin2x44
1π1,,cos2x,，,.,,234,,
1π111,,cos2x,，,f（x）,等价于，,,23444,,
π,,cos2<
0x,.即,,3,,
ππ3π于是2kπ，,2x,,2kπ，，k?
Z.232
5π11π解得kπ，,x,kπ，，k?
Z.1212
5π11π1,,xkxkk|ππ，,,，,,Z故使f（x）,成立的x的取值集合为.,,12124,,17（
因为AB,AC，D是BC的中点，所以AD?
BC（?
又在直三棱柱ABC,ABC中，BB?
平面ABC，而AD平面ABC，所以AD?
BB.?
11111
得AD?
平面BBCC（11
由点E在棱BB上运动，得CE平面BBCC，所以AD?
CE.,11111
（2）解:
因为AC?
AC，所以?
ACE是异面直线AC，CE所成的角，由题设，?
ACE,60?
，1111111
因为?
BAC,?
BAC,90?
，所以AC?
AB，又AA?
AC，从而1111111111
平面，于是?
.ACAABBACAE1111111
AC11故CE,，,221cos60:
22又BC,,2，ACAB，111111
22所以BE,,2，CEBC,1111
1112V从而,?
AC,.S，，，，,22211,ABE三棱锥CABE,11111332318（
解:
（1）所种作物的总株数为1，2，3，4，5,15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作
物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株（列
表如下:
频数2463所种作物的平均年收获量为
512484456423，，，，，，，
15
102192270126，，，,
690,,46.15
（2）由
（1）知，
24P（Y,51）,，P（Y,48）,.1515
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为
242P（Y?
48）,P（Y,51），P（Y,48）,.，,15155
19（22,,，即,.解:
（1）令n,1，得2aaaaa11111
因为a?
0，所以a,1.11
令n,2，得2a,1,S,1，a.222
解得,2.a2
当n?
2时，由2a,1,S2a,1,S两式相减得2a,2a,a.nn,n,1n,1nn,1n即a,2a.nn,1
于是数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列（nn,1因此，.a,2nn,1所以数列{a}的通项公式为a,2.nnn,1
（2）由
（1）知，na,n?
2.nn,1记数列{n?
2}的前n项和为B，于是n2n,1B,1，2?
2，3?
2，„，n?
2，?
n23n2B,1?
2，2?
2.?
n
?
得2n,1n,B,1，2，2，„，2,n?
2nnn,2,1,n?
2.n从而B,1，（n,1）?
2.n
20（
（1）由题设知，F，F的坐标分别为（,2,0），（2,0），圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x，y12
2,0的对称点（
y,0,1,,x,2,,x,00设圆心的坐标为（x，y），由解得00,,y,2.xy0,,00，,,20,,2222所以圆C的方程为（x,2），（y,2）,4.
|2|md,
（2）由题意，可设直线l的方程为x,my，2，则圆心到直线l的距离.21，m
422bd,,,22所以.21，m
xmy,，2,,,222由得（，5），4,1,0.mymy,x2，,y1,5,
设l与E的两个交点坐标分别为（x，y），（x，y），则1122
4m1y，y,，yy,.,,121222m，5m，5
22于是axxyy,，,，，，,，1212
22,，，，，,，1myy12
22,，，，，，，,1[4]myyyy1212
2，，164m2，，，，1m,,,222，，，，mm55，，
2251，，，m,.2m，5
22851851,，,，mm从而ab,,22mm，，，，，514
85,42m，，12m，1
85?
.,25
4221m，,2m，1
42当且仅当m，,1，即时等号成立（m,,32m，1
故当m,?
3时，ab最大，此时，直线l的方程为x,y，2或x,y，2，3,3
即x,y,2,0，或x，y,2,0.33
x）时，x，x,0.121212
（1）解:
函数f（x）的定义域为（,?
，，?
）（
1,x1,x,,xx,f′（x）,e，e,,221，x1，x,,
2，，xxx,,,211x,，e,,222，，，，11xx，，
2,，,，，xx[12]xe,.22，，，1x
当x,0时，f′（x）,0;
当x,0时，f′（x）,0.所以f（x）的单调递增区间为（,?
，0），单调递减区间为（0，，?
1,xx
（2）证明:
当x,1时，由于,0，e,0，21，x
故f（x）,0;
同理，当x,1时，f（x）,0.
x）时，不妨设x,x，121212由
（1）知x?
（,?
，0），x?
（0,1）（12
下面证明:
x?
（0,1），f（x）,f（,x），即证11,，xxxx,.ee,2211，，xx
此不等式等价于
1，xx（1,x）e,,0.xe
1，xx令g（x）,（1,x）e,，则xe,x2x′（）,,e（e,1）（gxx
当?
（0,1）时，′（）,0，（）单调递减，从而（）,（0）,0.即xgxgxgxg
所以x?
（0,1），f（x）,f（,x）（
而?
（0,1），所以（）,（,），xfxfx222
从而f（x）,f（,x）（12
由于x，,x?
，0），f（x）在（,?
，0）上单调递增，所以x,,x，即1212
x，x,0.12
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