六年级奥数牛吃草问题教师讲义汇总.docx

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六年级奥数牛吃草问题教师讲义汇总

第八讲牛吃草问题

牛吃草问题概念及公式

　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿1642—1727）提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

五大基本公式:

1）设定一头牛一天吃草量为“1”

2）草的生长速度＝草量差÷时间差；

3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这五个公式是解决牛吃草问题的基础。

首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点

求天数

例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：

这片牧草可供25头牛吃多少天？

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份

草每天的生长量：

（200-150）÷（20-10）=5份

10×20=200份=原草量+20天的生长量原草量：

200-20×5=100份或

15×10=150份=原草量+10天的生长量原草量：

150-10×5=100份

100÷（25-5）=5天

答：

这片牧草可供25头牛吃5天？

练习1（求时间）

1．1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。

这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。

可供25头牛吃＿＿天。

（）

A.10B.5C.20

答案：

A假设1头牛1天吃草的量为1份。

每天新生的草量为：

（10×40-15×20）÷（40-20）=5（份）。

那么愿草量为：

10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：

200÷（25-5）=10（天）。

2．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。

如果有牛21头，几天能把草吃尽？

3．有一片草地，草每天生长的速度相同。

这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。

如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？

4．牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

5．由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

6．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

7．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？

8．有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃多少天？

9．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

可供25头牛吃几天？

10.有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？

　　A.3B.4C.5D.6

　　【牛老师答案】C

　　【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天

　　根据核心公式代入

　　（200-150）/（20-10）=510*20-5*20=100100/（25-5）=5（天）

【牛老师例5】

　　A.16B.20C.24D.28

　　【牛老师答案】C

　　林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？

（假定野果生长的速度不变）

　　A.2周B.3周C.4周D.5周

　　【牛老师答案】C

一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少天？

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。

如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

8天

（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。

（2）设1头牛1天的吃草量为1份。

（3）先求出这片草地每天新生长的草量：

（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）

（4）再求出草地上原有的草量：

16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：

120÷（10+60÷4-10）=8（天）

　1、牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。

如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

求牛的数量

例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份

草每天的减少量：

（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份……原草量-5天的减少量原草量：

100+5×10=150或

15×6=90份……原草量-6天的减少量原草量：

90+6×10=150份

（150-10×10）÷10=5头

答：

可供5头牛吃10天？

总结：

想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。

练习2（求牛数）

1）有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？

2）有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。

12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？

3）有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。

这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。

现有牛若干头在吃草，6天后，杀了4头牛，余下的牛吃了2天将草吃完。

问原来有牛多少头？

4）有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供牛22头吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？

（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长）

5）有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

6）有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？

7）一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。

请问：

这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？

8）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。

现在用水　吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。

现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

9）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

10）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。

这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

11）一水库存水量一定，河水均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

12）有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天？

22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽；17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽；多少头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？

有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？

　　A.20B.25C.30D.35

　　【牛老师答案】C

　　【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，

　　根据核心公式代入

　　（20×10-15×10）=510×20-5×20=100100÷4+5=30（头）

如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？

　　A.50B.46C.38D.35

　　【牛老师答案】D

　　【牛老师解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y，

　　24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛

　　根据核心公式：

　　，代入

　　，因此，选择D

　　【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。

　　下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。

、

一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。

那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。

（）

A.22B.23C.24

假设1只羊1天吃草的量为1份。

每天新生草量是：

（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：

20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：

60÷4+8＝23（只）

练习：

因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?

13.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？

有一片匀速生长的牧草，可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。

原来有若干头牛在草地上吃草，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？

3、有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

牛的数量变化

例3：

一个牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。

这群牛原来有多少头？

解：

设每头牛每天的吃草量为1份。

每天新生的草量为：

（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，

原有的草量为（27-15）×6=72份。

如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量

72+15×8+2×4=200份。

所以这群牛原来有200÷8=25头

草地大小变化

例4：

有三块草地，面积分别是5，15，24亩。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

　　把每头牛每天吃的草看作1份。

　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

　　所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

　　所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

　　所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

　　第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

　　新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛

　　所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

解法一：

　　设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：

10*30/5=60；

每亩45天的总草量为：

28*45/15=84

那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=1.6

每亩原有草量为60-1.6*30=12，

那么24亩原有草量为12*24=288，

24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，

24亩80天共有草量3072+288=3360，

所以3360/80=42（头）

　　解法二：

根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，

根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量（28×45-30×30）/（45-30）=24；

15亩原有草量：

28×45-24×45=180；

15亩80天所需牛180/80+24（头）

24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头

练习：

有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。

每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

第三块草地可供19头牛吃多少天？

 有三片草地，面积分别为4公顷，8公顷和10公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周，第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：

第三片草地上的草可供50头牛吃几天？

求最大量

例5：

经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一样的。

那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）亿人。

70

解：

设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：

（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。

所以地球最多只能养活：

70÷1=70（亿人）

　　练习3（求最多）

1）有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：

要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？

假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？

有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。

要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？

新型牛吃草

检票口吃人

　例1：

旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数

　　解：

设一个检票口一分钟一个人

　　1个检票口30分钟30个人

　　2个检票口10分钟20个人

　　（30-20）÷（30-10）=0.5个人

　　原有1×30-30×0.5=15人

　　或2×10-10×0.5=15人

练习：

一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？

物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。

某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了？

D

　　A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时

画展9时开门，但早有人来排队等候入场。

从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。

（）

A.10B.12C.15

C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。

每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）

到9时止，已来的观众人数为：

3×9-0.5×9＝22.5（份）

第一个观众来到时比9时提前了：

22.5÷0.5＝45（分）

所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。

禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。

从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。

第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？

画展9点开门，但早就有人排队入场。

以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。

如果开3个入场口，则9分钟后就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队。

那么第一个观众到达的时间是几点几分？

电梯吃人

例1、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：

该扶梯共有多少级？

解析：

男孩：

20×5=100（级）自动扶梯的级数-5分钟减少的级数

女孩;15×6=90（级）自动扶梯的级数-6分钟减少的级数

每分钟减少的级数=（20×5-15×6）÷（6-5）=10（级）

自动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）

例两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。

问该扶梯共有多少级？

3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数

2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：

（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）

自动扶梯级数=3×100-100×1.5=150（级）

自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1 级台阶，女孩每3秒向上走2级台阶，结果男孩用50秒到达搂上，女孩用了60秒到达搂上。

问商场的自动滚梯共有多少级？

水管抽水

例1、水库原有存水量一定，河水每天入库。

5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

　分析：

　　5台20天原有水+20天入库量

　　6台15天原有水+15天入库量

　　？

台6天-原有水+6天入库量

　解答：

设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90

　　每天入库量（100-90）÷（20-15）=2

　　20天入库2×20=40，

原有水100-40=60

　　6天的总水量60+2×6=72

72÷6=12（台）

练习：

一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？

设每台水泵每小时抽水量为一份．

（1）水流每小时的流入量：

　　（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）

（2）水池原有水量：

　　5×7-3×7=14（份）

　　或10×2-3×2=14（份）

　　（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：

（14+3×0.5）÷0.5=31（台）

练习：

有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。

如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。

现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？

有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。

问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？

【牛老师答案】B

　　A.5台B.6台C.7台D.8台

一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。

如果用12人舀水，3小时舀完。

如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。

现在要想在2小时舀完，需要多少人？

例：

有一水池，池底有泉水不断涌出。

要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水机需抽12小时。

那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？

解答：

设一台抽水机一小时抽水一份。

则每小时涌出的水量是：

（20×10-15×10）÷（20-10）=5份，

池内原有的水是：

（10-5）×20=100份.

所以,用25部抽水机需要:

100÷（25-5）=5小时

练习：

一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。

那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

蜗牛爬山

例：

两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。

白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。

黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。

那么，井深多少米？

蜗牛每夜下降：

（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米

所以井深：

（20+10）×5=150分米=15米

　　点评：

此题按牛吃草问题来处理，考察了学生的思维和推理能力．

5.快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。

三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。

快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（）小时。

自行车的速度是：

（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）

三车出发时自行车距A地：

（24-14）×6==60（千米）

慢车追上自行车所用的时间为：

60÷（19-14）=12（小时）

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去．已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度.

10.现有速度不变的甲、乙两车，