3年高考新课标版高考数学一轮复习 105二项分布与正态分布Word文档格式.docx
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假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
（1）求这批产品通过检验的概率;
（2）已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位:
元）,求X的分布列及数学期望.
8.（2012湖南,17,12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
（注:
将频率视为概率）
B组 2012—2014年高考·
提升题组
1.（2014课标Ⅱ,5,5分）某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
2.（2014辽宁,18,12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E（X）及方差D（X）.
3.（2014湖北,20,12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X（年入流量:
一年内上游来水与库区降水之和,单位:
亿立方米）都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<
X<
80
80≤X≤120
X>
120
发电机最多可运行台数
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;
若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
4.（2013山东,19,12分）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
（1）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;
若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
5.（2013陕西,19,12分）在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手（1至5号）登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.
6.（2012天津,16,13分）现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
（3）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
1.
解析 用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,
则P（Ak）=,P（Bk）=,k=1,2,3,4,5.
（1）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=P（A1）P（A2）+P（B1）P（A2）·
P（A3）+P（A1）P（B2）P（A3）P（A4）
=+×
+×
×
=.
（2）X的可能取值为2,3,4,5.
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）
=P（A1）P（A2）+P（B1）P（B2）=,
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）
=P（B1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（B2）P（B3）=,
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）
=P（A1）P（B2）P（A3）P（A4）+P（B1）P（A2）·
P（B3）P（B4）=,
P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=.
故X的分布列为
X
4
5
P
EX=2×
+3×
+4×
+5×
2.
解析 记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
B表示事件:
甲需使用设备,
C表示事件:
丁需使用设备,
D表示事件:
同一工作日至少3人需使用设备.
（1）D=A1·
B·
C+A2·
B+A2·
·
C,
P（B）=0.6,P（C）=0.4,P（Ai）=×
0.52,i=0,1,2,（3分）
所以P（D）=P（A1·
C）
=P（A1·
C）+P（A2·
B）+P（A2·
=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）·
P（）P（C）
=0.31.（6分）
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P（X=0）=P（·
A0·
）
=P（）P（A0）P（）
=（1-0.6）×
0.52×
（1-0.4）
=0.06,
P（X=1）=P（B·
+·
C+·
A1·
=P（B）P（A0）P（）+P（）P（A0）P（C）+P（）P（A1）P（）
=0.6×
（1-0.4）+（1-0.6）×
0.4+（1-0.6）×
2×
（1-0.4）=0.25,
P（X=4）=P（A2·
C）=P（A2）P（B）·
P（C）=0.52×
0.6×
0.4=0.06,
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25,
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,（10分）
数学期望EX=0×
P（X=0）+1×
P（X=1）+2×
P（X=2）+3×
P（X=3）+4×
P（X=4）=0.25+2×
0.38+3×
0.25+4×
0.06=2.（12分）
3.
解析
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P（A）=0.5,P（B）=0.4,
∵利润=产量×
市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×
10-1000=4000,500×
6-1000=2000,
300×
10-1000=2000,300×
6-1000=800.
P（X=4000）=P（）P（）=（1-0.5）×
（1-0.4）=0.3,
P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1-0.5）×
0.4+0.5×
（1-0.4）=0.5,
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×
0.4=0.2,
所以X的分布列为
4000
2000
800
0.3
0.2
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1,2,3）,
由题意知C1,C2,C3相互独立,由
（1）知,
P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1,2,3）,
3季的利润均不少于2000元的概率为
P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512;
3季中有2季利润不少于2000元的概率为
P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×
0.82×
0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为
0.512+0.384=0.896.
4.
解析
（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,
那么1-P（）=1-·
p=.
解得p=.（4分）
（2）由题意得,P（ξ=0）==,
P（ξ=1）=·
=,
P（ξ=2）=·
P（ξ=3）==.
所以,随机变量ξ的概率分布列为
ξ
故随机变量ξ的数学期望:
Eξ=0×
+1×
+2×
=.（12分）
5.
解析
（1）记:
“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D,由题意知P（B）=,P（C）=P（D）=,
由于A=B +C+ D,
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B +C+ D）
=P（B ）+P（C）+P（ D）
=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）
=×
+
1-
（2）根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,
P（X=0）=P（ ）
=[1-P（B）][1-P（C）][1-P（D）]
P（X=1）=P（B ）=P（B）P（）P（）=×
P（X=2）=P（C+ D）=P（C）+P（ D）=×
P（X=3）=P（BC+BD）=P（BC）+P（BD）
P（X=4）=P（CD）=×
P（X=5）=P（BCD）=×
所以EX=0×
6.
解析
（1）设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.
因为P（）==,所以P（A）=1-P（）=.（6分）
（2）X所有的可能取值为0,1,2,3.
P（X=0）=·
=;
P（X=1）=·
P（X=2）=·
P（X=3）=·
（10分）
所以E（X）=0×
=2.（12分）
7.
解析
（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=（A1B1）∪（A2B2）,且A1B1与A2B2互斥,所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）=×
（2）X可能的取值为400,500,800,并且
P（X=400）=1--=,
P（X=500）=,P（X=800）=.
400
EX=400×
+500×
+800×
=506.25.
8.
解析
（1）由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得
P（X=1）==,P（X=1.5）==,P（X=2）==,P（X=2.5）==,P（X=3）==.
X的分布列为
X的数学期望为E（X）=1×
+1.5×
+2.5×
=1.9.
（2）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,Xi（i=1,2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则
P（A）=P（X1=1且X2=1）+P（X1=1且X2=1.5）+P（X1=1.5且X2=1）,
由于各顾客的结算相互独立,且X1,X2的分布列都与X的分布列相同,所以P（A）=P（X1=1）×
P（X2=1）+P（X1=1）×
P（X2=1.5）+P（X1=1.5）×
P（X2=1）=×
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
1.A 由条件概率可得所求概率为=0.8,故选A.
解析
（1）设A1表示事件“日销售量不低于100个”,
A2表示事件“日销售量低于50个”,
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此
P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×
50=0.6,
P（A2）=0.003×
50=0.15,
P（B）=0.6×
0.15×
2=0.108.
（2）X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为
（1-0.6）3=0.064,
0.6（1-0.6）2=0.288,
0.62（1-0.6）=0.432,
0.63=0.216.
分布列为
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B（3,0.6）,所以期望E（X）=3×
0.6=1.8,方差D（X）=3×
（1-0.6）=0.72.
解析
（1）依题意,p1=P（40<
80）==0.2,p2=P（80≤X≤120）==0.7,p3=P（X>
120）==0.1.
由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=（1-p3）4+（1-p3）3p3=+4×
=0.9477.
（2）记水电站年总利润为Y（单位:
万元）.
（i）安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E（Y）=5000×
1=5000.
（ii）安装2台发电机的情形.
依题意,当40<
80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P（Y=4200）=P（40<
80）=p1=0.2;
当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×
2=10000,因此P（Y=10000）=P（X≥80）=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:
Y
4200
10000
0.8
所以,E（Y）=4200×
0.2+10000×
0.8=8840.
（iii）安装3台发电机的情形.
80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P（Y=3400）=P（40<
当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×
2-800=9200,因此P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7;
当X>
120时,三台发电机运行,此时Y=5000×
3=15000,因此P（Y=15000）=P（X>
120）=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:
3400
9200
15000
0.7
0.1
所以,E（Y）=3400×
0.2+9200×
0.7+15000×
0.1=8620.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
解析
（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,
由题意,各局比赛结果相互独立,
故P（A1）==,
P（A2）=×
P（A3）=×
所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为,以3∶2胜利的概率为.
（2）设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,
由题意,各局比赛结果相互独立,所以
P（A4）=×
由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3.
根据事件的互斥性得
P（X=0）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=.
又P（X=1）=P（A3）=,
P（X=2）=P（A4）=,
P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=,
解析
（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,
则P（A）==,P（B）==.
∵事件A与B相互独立,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P（A）=P（A）·
P（）=P（A）·
[1-P（B）]
（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,
则P（C）==,
∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
P（X=0）=P（ ）=×
P（X=1）=P（A）+P（B）+P（C）
P（X=2）=P（AB）+P（AC）+P（BC）
P（X=3）=P（ABC）=×
∴X的分布列为
∴X的数学期望EX=0×
==.
解析 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0,1,2,3,4）,则P（Ai）=.
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P（A2）=·
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故
P（B）=P（A3）+P（A4）=·
+=.
所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故
P（ξ=0）=P（A2）=,
P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=,
P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=.
所以ξ的分布列是
随机变量ξ的数学期望Eξ=0×
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