专升本地方考试密押题库与答案解析河南省专升本考试高等数学模拟9Word下载.docx

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A.低阶无穷小

B.高阶无穷小

C.等价无穷小

D.同阶但非等价无穷小

D[解析]

所以e2x-1与sin3x是同阶非等价无穷小．故应选D．

5.______

A．

B．

C．0

D．

A[解析]故应选A．

6.若则f（x）=______

A．x+1B．x+5

C．

C[解析]由题可知，故f（3）=4，因此排除B、D选项，再将A、C代入原极限等式，可知C正确．

7.设要使f（x）在（-∞，+∞）上连续，则a=______

A．0

B．1

D．3

C[解析]根据连续的定义可知

8.函数则x=0是f（x）______

A.连续的点

B.可去间断点

C.跳跃间断点

D.第二类间断点

C[解析]因此函数在x=0处左右极限存在但不相等，故x=0为跳跃间断点，故选C．

9.若f（x）为可导的奇函数，则f'

（x）一定是______

A.奇函数

B.偶函数

D.既奇又偶函数

B[解析]因为f（-x）=-f（x）两边同时对x求导得f'

（-x）=f'

（x），所以f'

（x）为偶函数，故应选B．

10.由参数方程确定函数y（x）的二阶导数______

B[解析]因为故应选B．

11.设f（2013）（x）=x2+lnx，则f（2016）（x）=______

12.曲线______

A.只有垂直渐近线

B.既有垂直又有水平渐近线

C.只有水平渐近线

D.既无垂直又无水平渐近线

C[解析]因为所以y=1为水平渐近线，无垂直渐近线，故应选C．

13.方程x4-x-1=0至少有一个根的区间是______

C．（2，3）

D．（1，2）

D[解析]令f（x）=x4-x-1，则f

（1）=1-1-1=-1＜0，f

（2）=24-2-1=13＞0，由零点定理可知至少存在一个ξ∈（1，2），使f（ξ）=0，故应选D．

14.函数的凹区间为______

A.（1，e2）

B.（0，1）

C.（0，e2）

D.（e2，+∞）

A[解析]令y"

=0，得x=e2，当y"

＞0时，1＜x＜e2，故凹区间为（1，e2），故应选A．

15.导数______

A．arcsinx

B．0

C．arcsinb-arcsina

B[解析]因为定积分的值为常数，常数的导数等于0，所以故应选B．

16.设f'

（x）是连续函数，则d∫f'

（x）dx=______

A.f（x）dx

B.f'

（x）dx

C.f（x）

D.f'

（x）

B[解析]根据不定积分的性质知d∫f'

（x）dx=f'

（x）dx，故应选B．

17.sin2x的一个原函数是______

A．2cos2x

C．-cos2x

C[解析]验证四个答案中哪个函数的导数是sin2x，（-cos2x）'

=-2cosx·

（cosx）'

=2cosxsinx-sin2x．故应选C．

18.设区域D由直线x=a，x=b（b＞a），曲线y=f（x），y=g（x）围成，则区域D的面积为______

D[解析]由定积分的几何意义可知，区域D的面积故应选D．

19.______

B[解析]

故应选B．

20.设则F（x）______

A.为正常数

B.为负常数

C.恒为零

D.不为常数

C[解析]因为ecostsint是以2π为周期的奇函数，

所以故应选C．

21.微分方程xy"

=y'

的通解是______

A．y=C1x+C2

B．y=x2+C

C．y=C1x2+C2

C[解析]根据通解的概念首先排除B与D，现在对A、C进行验证后A不正确，故应选C．

22.用待定函数法求微分方程y"

-y'

-6y=xe3x的特解时，应设y*=______

A.ae3x

B.axe3x

C.x2（ax+b）e3x

D.x（ax+b）e3x

D[解析]因为λ=3是特征方程的一重特征根，p（x）为一次多项式，所以特解应设为y*=x（ax+b）e3x，故应选D．

23.设向量a⊥b，则（a+b）·

（a+2b）=______

A.a2+2b2

B.3a·

b

C.a2+2a·

b+2b2

D.a2+3a·

b+b2

A[解析]由于a⊥6，故a·

b=b·

a=0，（a+b）·

（a+2b）=a2+2b2，故应选A．

24.设则dz=______

A[解析]因为

所以故应选A．

25.函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处有两个偏导数存在，则它在点（x0，y0）处______

A.连续

B.可微

C.不一定连续

D.一定不连续

C[解析]偏导存在不一定连续，故应选C．

26.若则区域D可表示为______

A.x2+y2≤a2

B.x2+y2≤a2，x≥0

C.x2+y2≤ax，a＜0

D.x2+y2≤ax，a＞0

D[解析]极坐标积分区域为其积分区域的边界方程为r=acosθ，即x2+y2=ax，a＞0，故应选D．

27.（其中D：

|x|≤1，|y|≤1）=______

A.0

B.1

C.2

D.4

A[解析]根据二重积分的对称性知积分值为0，故应选A．

28.设L为以点O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形正向边界，则______

A.1

B.2

C.3

D.0

D[解析]因为所以此曲线积分与路径无关，闭曲线积分为0，故应选D．

29.正项级数收敛的充分必要条件是______

D．部分和数列有界

D[解析]由正项级数收敛的基本准则知，正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，故应选D．

30.若在x=-1处收敛，则此级数在x=2处______

A.条件收敛

B.绝对收敛

C.发散

D.收敛性不确定

B[解析]令x-1=t，问题化为级数在t=-2处收敛，判断t=1处是否收敛的问题．根据阿贝尔定理可知，级数在t=1处绝对收敛，故应选B．

二、填空题

1.设则f（0）=______．

2[解析]由f（x）的表达式可知，当x=0时，f（0）=2.

2.

[解析]

3.则

0[解析]

4.设则f（x）=______．

[解析]对两边求导得

2f（2x-1）=e-x-xe-x=（1-x）e-x，即

设t=2x-1则代入得

所以

5.

x2ex-2xex+2ex+C[解析]

6.如果函数f（x）在区间[-2，2]上连续，且平均值为3，则

-12[解析]设f（x）的平均值为f（ξ），则因此

7.设f（x+y，xy）=x2+3xy+y2+5，则f（x，y）=______．

x2+y+5[解析]f（x+y，xy）=x2+3xy+y2+5=（x+y）2+xy+5，

所以f（x，y）=x2+y+5.

8.方程在空间直角坐标下表示的二次曲面是______．

椭球面[解析]空间直角坐标系下表示的曲面是椭球面．

9.方程（y"

）3-xy'

+cosy=x2+1是______阶微分方程．

二[解析]由微分方程的基本概念可知（y"

+cosy=x2+1是二阶微分方程．

10.已知数项级数收敛，则其和

e-1[解析]因为

取x=1得所以

三、计算题

（每小题5分，共50分）

1.求极限

两边同取自然对数，得

两边分别对x求导，得

3.

4.求定积分

5.求过点（2，0，-3）且与直线垂直的平面方程．

根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即

故所求平面的方程为

-16（x-2）+14（y-0）+11（z+3）=0，

即16x-14y-11z-65=0.

6.求函数f（x，y）=e2x（x+y2+2y）的极值．

解方程组

求得驻点为

fxx=e2x（4x+4y2+8y+4），fxy=e2x（4y+4），fyy=2e2x，

由于B2-AC=-4e2＜0，且A＞0，

所以为极小值点，函数的极小值为

7.在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出法线方程．

设所求点为M（x0，y0，z0），曲面在该点处的法向量为n={y0，x0，-1}，平面的法向量为{1，3，1}，

按题意，有求得x0=-3，y0=-1，

z0=x0y0=3，所以所求点为（-3，-1，3），

法线方程为

8.设函数f（x）可微，且求f（x）．

两边分别对x求导，得

2f（x）-x=f'

（x）且有f（0）=1，

即y'

-2y=-x，y（0）=1，

将y（0）=1代入得

所以所求函数为

即

9.求幂级数的收敛半径与收敛域．

则收敛半径

因此|x-1|＜3，即-2＜x＜4，当x=-2时，幂级数化为收敛，当x=4时，级数化为发散，所以幂级数的收敛域为[-2，4）．

10.求幂级数的和函数．

四、应用题

（每小题7分，共14分）

1.设平面图形D由曲线和直线y=x，x=2及x轴围成．求：

（1）平面图形D的面积；

（2）这图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

平面图形D如图所示．

取x为积分变量，且x∈[0，1]∪[1，2]．

（1）平面图形D的面积为

（2）平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

2.求平面和柱面x2+y2=1的交线上与xOy平面距离最短的点．

设交线上的点为M（x，y，z），它到xOy面上距离的平方为z2，问题化为求函数z2在约束条件和x2+y2=1下的最小值问题：

作拉格朗日函数

令又由约束条件，有

解此方程组，得和要使z2最小，显然应取因此就是所求的点．

五、证明题

（6分）

1.设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b）=0.

证明：

至少一点ξ∈（a，b）使f'

（ξ）+2ξf（ξ）=0.

[证明]设F（x）=f（x）ex2，则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

F（a）=f（a）ea2=0，F（b）=f（b）eb2=0，即F（a）=F（b），

所以至少存在一点ξ∈（a，b），使F'

（ξ）=0，

即F'

（ξ）=f'

（ξ）eξ2+f（ξ）eξ2·

2ξ=0，

又eξ2≠0，故f'

（ξ）+2ξf（ξ）=0.