有限元.docx

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有限元

1．泛函

导出：

2．与线性问题等价的变分问题

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就是dV改成dS

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3.3基于变分原理的差分方程

泊松方程：

变分问题等价：

离散化：

（1）内点：

（2）边点：

变分问题求解：

解得：

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3.6分片插值与形状函数

（1）插值

插值通式：

对于第e个三节点三角形单元：

带入单元上个节点坐标：

（x，y，phi已知）

解得：

其中

aj，am同理得

所以：

其中：

（2）形状函数

形状函数性质

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3.7二维拉普拉斯方程的有限元方程

（1）问题的描述

整个场域的能泛函

每个单元的能泛函

形状函数表示场量近似解：

其中

也可以写成

（2）单元分析

对于

所以

关于k，k是对称矩阵

其中i,j=1,2,3…N为单位节点总体编号

变分问题求解

节点全局编号的顺序