三概率的进一步认识复习带答案Word文件下载.docx
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2、列表法的应用场合：
当一次试验要设计两个因素，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
考点七、树状图法求概率（10分）
1、树状图法：
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件：
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点八、利用频率估计概率（8分）
1、利用频率估计概率：
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数：
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数
专题二：
频率与概率
17、（2013•铁岭）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．
16个
B．
15个
C．
13个
D．
12个
专题三：
求普通事件发生的概率
1.（2014•安徽省,第21题12分）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
分析：
（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．
解答：
解：
（1）三种等可能的情况数，
则恰好选中绳子AA1的概率是
；
（2）列表如下：
左端右端
A1B1
B1C1
A1C1
AB
（AB，A1B1）
（AB，B1C1）
（AB，A1C1）
BC
（BC，A1B1）
（BC，B1C1）
（BC，A1C1）
AC
（AC，A1B1）
（AC，B1C1）
（AC，A1C1）
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P=
=
．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
2.（2014•福建泉州，第21题9分）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？
（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．
考点：
列表法与树状图法；
概率公式．
（1）由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：
（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，
∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，
∴两次取出相同颜色球的概率为：
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
3、（2013•荆门）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
（1）求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为
，向左转和直行的频率均为
．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿
灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
列表法与树状图法．3718684
（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而
行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由
（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为
，即可求得答案．
（1）分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转；
根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（三车全部同向而行）=
（2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况，
∴P（至少两辆车向左转）=
（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为
，
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×
=27（秒），直行绿灯亮时间为90×
=27（秒），右转绿灯亮的时间为90×
=36（秒）．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：
专题四求几何知识相关的概率
1.（杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为
的线段的概率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【考点】概率；
正六边形的性质.
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部等可能情况的总数；
②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率.因此，
如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长度为
：
AC、AE、BD、BF、CE、DF，∴所求概率为
.
故选B.
2.（福建龙岩）小明“六·
一”去公园玩投掷飞镖的游戏，投中图中阴影部分有奖品（飞镖盘被平均分成8份），小明能获得奖品的概率是．
3.（呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是__________.
4．（2014•浙江宁波，第7题4分）如图，在2×
2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）
概率公式
专题：
网格型．
找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．
如图，C1，C2，C3，均可与点A和B组成直角三角形．
P=
，故选D．
本题考查了概率公式：
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
28、（2013•遵义）如图，在4×
4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
概率公式；
利用轴对称设计图案．3718684
由白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
∵白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，
∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：
故选A．
此题考查了概率公式的应用与轴对称．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
专题五概率的应用
1．20．（2014•湖南张家界，第20题，8分）某校八年级一班进行为期5天的图案设计比赛，作品上交时限为周一至周五，班委会将参赛逐天进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图．已知从左到右各矩形的高度比为2：
3：
4：
6：
5．且已知周三组的频数是8．
（1）本次比赛共收到 40 件作品．
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第五组对应的扇形的圆心角是 90 度．
（3）本次活动共评出1个一等奖和2个二等奖，若将这三件作品进行编号并制作成背面完全相同的卡片，并随机抽出两张，请你求出抽到的作品恰好一个一等奖，一个二等奖的概率．
频数（率）分布直方图；
扇形统计图；
列表法与树状图法．菁优网版权所有
（1）根据第三组的频数是8，除以所占的比例即可求得收到的作品数；
（2）利用360°
乘以对应的比例即可求解；
（3）用A表示一等奖的作品，B表示二等奖的作品，利用列举法即可求解．
（1）收到的作品总数是：
8÷
=40；
（2）第五组对应的扇形的圆心角是：
360°
×
=90°
（3）用A表示一等奖的作品，B表示二等奖的作品．
共有6中情况，则P（恰好一个一等奖，一个二等奖）==．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；
利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
2.（2014•十堰20．（9分））据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90°
；
请补全条形统计图；
（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（3）“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：
剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．
条形统计图；
用样本估计总体；
列表法与树状图法
计算题．
（1）由“了解很少”的人数除以占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生占的百分比，乘以360得到结果，补全条形统计图即可；
（2）求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以900即可得到结果；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率．
（1）根据题意得：
30÷
50%=60（名），“了解”人数为60﹣（15+30+10）=5（名），
“基本了解”占的百分比为
100%=25%，占的角度为25%×
补全条形统计图如图所示：
（2）根据题意得：
900×
=300（人），
则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人；
（3）列表如下：
剪
石
布
（剪，剪）
（石，剪）
（布，剪）
（剪，石）
（石，石）
（布，石）
（剪，布）
（石，布）
（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种，
则P==．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
3.（2014•江苏盐城,第22题8分）如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为 ；
（2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？
请用列表或画树状图的方法说明理由．
游戏公平性；
列表法与树状图法．
（1）三个等可能的情况中出现1的情况有一种，求出概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果．
随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为；
故答案为：
（2）列表得：
1
2
3
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，之积为奇数的情况有4种，
∴P（小明获胜）=，P（小华获胜）=，
∵＞，
∴该游戏不公平．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
专题六方法技巧总结
数形结合思想
1.（孝感）2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．
评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数是☆；
扇形统计图中的圆心角
等于☆；
补全统计直方图；
（4分＝1分＋1分＋2分）
（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．
（1）30；
补全统计图如下：
（2）根据题意列表如下：
记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，∴
．
2．（2014•四川内江，第19题，9分）为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：
实心球．B：
立定跳远，C：
跳绳，D：
跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；
（2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；
（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
15÷
10%=150（名）．
答；
在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；
150﹣15﹣60﹣30=45（人），
所占百分比是：
100%=30%，
画图如下：
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是
=．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3.（2014•孝感，第21题10分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：
A级：
优秀；
B级：
良好；
C级：
及格；
D级：
不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 40 ；
（2）图1中∠α的度数是 54°
，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 700 ．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
（1）用B级的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）用360°
乘以A级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去A、B、D级的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；
（3）用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
（1）本次抽样测试的学生人数是：
=40（人），
40；
=54°
答：
图1中∠α的度数是54°
C级的人数是：
40﹣6﹣12﹣8=14（人），
如图：
54°
（3）根据题意得：
3500×
=700（人），
不及格的人数为700人．
700；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种，
则P（选中小明）=
此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
4．（2014•四川自贡，第20题10分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
25≤x＜30
4
第2组
30≤x＜35
8
第3组
35≤x＜40
16
第4组
40≤x＜45
a
第5组
45≤x＜50
10
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
频数（率）分布表；
（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；
（2）根据
（1）得出的a的值，补全统计图；
（3）用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率；
（4）用A表示小宇B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
（1）表中a的值是：
a=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12；
（2）根据题意画图如下：
（3）本次测试的优秀率是
=0.44；
本次测试的优秀率是0.44；
（4）用A表示小宇B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有2种，
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是
本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．
方程思想
1、（13年山东青岛、5）一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（）个
A、45B、48C、50D、55
答案：
A
解析：
摸到白球的概率为P＝
，设口袋里共有n个球，则
，得n＝50，所以，红球数为：
50－5＝45，选A。
2、（2013•泸州）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n= 4 ．
根据口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，故球的总个数为6+2+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．
∵口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，
∴球的总个数为6+2+n，
∵搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，
=，
解得，n=4．
故答案为4．
此题考查概率的求
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