第四章高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题文档格式.docx

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解　

（1）因为f（x）＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝5＝5sin，

所以函数的最小正周期T＝＝π.

（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递增区间为

（k∈Z）．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．

（3）由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）．

由2x－＝kπ（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），

所以函数f（x）的对称中心为（k∈Z）．

题型二　解三角形

例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.

（1）求角A和边长c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解　

（1）∵sinA＋cosA＝0，

∴tanA＝－，

又0<

A<

π，∴A＝，

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，

即28＝4＋c2－2×

2c×

，

即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6（舍去）或c＝4，故c＝4.

（2）∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴16＝28＋4－2×

2×

cosC，

∴cosC＝，∴CD＝＝＝，∴CD＝BC，

∴S△ABC＝AB·

AC·

sin∠BAC＝×

4×

＝2，

∴S△ABD＝S△ABC＝.

思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；

在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

跟踪训练2（2017·

北京）在△ABC中，∠A＝60°

，c＝a.

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

解　

（1）在△ABC中，因为∠A＝60°

，c＝a，

所以由正弦定理得sinC＝＝×

＝.

（2）因为a＝7，所以c＝×

7＝3.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得

72＝b2＋32－2b×

3×

解得b＝8或b＝－5（舍去）．

所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×

8×

＝6.

题型三　三角函数和解三角形的综合应用

例3（2018·

南通考试）如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：

点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF<

BE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f（θ）（单位：

平方米）．

（1）求f（θ）关于θ的函数关系式，求出定义域；

（2）当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．

解　

（1）过点F作FM⊥BE，垂足为M.

在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝，∠FEM＝θ，

所以EF＝，ME＝，

故AF＝BM＝EF－EM＝－，

所以f（θ）＝（AF＋BE）×

AB

＝×

×

2＝－，

由题意可知，AF<

BE，所以θ<

且当点E重合于点C时，EF＝EB＝2，FM＝2，θ＝，

所以函数f（θ）＝－的定义域为.

（2）由

（1）可知，

f（θ）＝－＝－

＝2－

＝3tan＋≥2＝2，

当且仅当3tan＝时，等号成立，

又θ∈，∈，

故当tan＝，即＝，θ＝时，四边形ABEF的面积最小，

此时BE＝＝，AF＝－＝，f（θ）＝－＝2.

答　当BE，AF的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2平方米．

思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB－bcosC＝ccosB.

（1）判断△ABC的形状；

（2）若f（x）＝cos2x－cosx＋，求f（A）的取值范围．

解　

（1）因为asinB－bcosC＝ccosB，

由正弦定理可得sinAsinB－sinBcosC＝sinCcosB.

即sinAsinB＝sinCcosB＋cosCsinB，

所以sin（C＋B）＝sinAsinB.

因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinA＝sinAsinB，

又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝，

所以△ABC为直角三角形．

（2）因为f（x）＝cos2x－cosx＋

＝cos2x－cosx＝2－，

所以f（A）＝2－，

因为△ABC是直角三角形，

所以0<

，且0<

cosA<

1，

所以当cosA＝时，f（A）有最小值－.

所以f（A）的取值范围是.

1.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图．

（1）求函数f（x）的解析式．

（2）求函数f（x）在区间上的最值，并求出相应的x值．

解　

（1）由题干图象可知|A|＝2，

又A>

0，故A＝2.

周期T＝×

＝π，

又T＝＝π，∴ω＝2.∴f（x）＝2sin（2x＋φ），

由题干图象知f＝2sin＝2，

∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，

又|φ|<

，∴φ＝－，故f（x）＝2sin.

（2）∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，2sin∈[－1，2].

当2x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值，

f（x）max＝f＝2.

当2x－＝－，即x＝0时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（0）＝－1.

2．（2018·

天津联考）设函数f（x）＝2tan·

cos2－2cos2＋1.

（1）求f（x）的定义域及最小正周期．

（2）求f（x）在[－π，0]上的最值．

解　

（1）f（x）＝2sincos－cos

＝sin－cos＝sin－cos＋sin

＝sin.

由≠＋kπ（k∈Z），

得f（x）的定义域为{x|x≠2π＋4kπ（k∈Z）}，

故f（x）的最小正周期为T＝＝4π.

（2）∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－.

∴当－∈，

即x∈时，f（x）单调递减，

当－∈，

即x∈时，f（x）单调递增，

∴f（x）min＝f＝－，

又f（0）＝－，f（－π）＝－，

∴f（x）max＝f（0）＝－.

3．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点坐标为.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若f（x）<

3，求x的取值范围．

解　

（1）由题意得A＝6，＝－＝，∴T＝π，

∴＝π，∴ω＝2.∴f（x）＝6sin（2x＋φ），

又f（x）过点，∴6sin＝6，

∴2×

＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.

，∴φ＝－，∴f（x）＝6sin.

（2）6sin<

3，即sin<

在区间中，要使sin<

则－<

2x－<

所以－＋2kπ<

＋2kπ，k∈Z，

解得kπ－<

x<

kπ＋，k∈Z.

所以x的取值范围为.

4．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）＝·

.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若A为△ABC的内角，f（A）＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解　

（1）由已知，得＝（，1），＝（－cosx,1－sinx），

所以f（x）＝·

＝3－cosx＋1－sinx

＝4－2sin，

所以函数f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为f（A）＝4，所以sin＝0，

π，所以<

A＋<

，A＝.

因为BC＝3，

所以由正弦定理，得AC＝2sinB，AB＝2sinC，

所以△ABC的周长为3＋2sinB＋2sinC

＝3＋2sinB＋2sin

＝3＋2sin.

因为0<

B<

，所以<

B＋<

所以当B＋＝，即B＝时，

△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2.

5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋asinC－b－c＝0.

（1）求A；

（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．

解　

（1）acosC＋asinC－b－c＝0，

由正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＋sinC，

即sinAcosC＋sinAsinC＝sin（A＋C）＋sinC，

亦即sinAcosC＋sinAsinC

＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC，

则sinAsinC－cosAsinC＝sinC.

又sinC≠0，所以sinA－cosA＝1，所以sin（A－30°

）＝.

在△ABC中，0°

<

180°

，则－30°

A－30°

150°

所以A－30°

＝30°

，得A＝60°

（2）在△ABC中，因为cosB＝，所以sinB＝.

所以sinC＝sin（A＋B）＝×

＋×

由正弦定理，得＝＝.

设a＝7x，c＝5x（x>

0），

则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·

BDcosB，

即＝25x2＋×

49x2－2×

5x×

7x×

解得x＝1（负值舍去），所以a＝7，c＝5，

故S△ABC＝acsinB＝10.

6．已知函数f（x）＝cos2ωx＋sin2ωx＋t（ω>

0），若f（x）的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点（0,0）．

（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调增区间；

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若函数F（x）＝g（x）＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

解　

（1）f（x）＝cos2ωx＋sin2ωx＋t

＝2sin＋t，

f（x）的最小正周期为＝，∴ω＝2，

∵f（x）的图象过点（0,0），∴2sin＋t＝0，

∴t＝－1，即f（x）＝2sin－1.

令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

求得－≤x≤＋，k∈Z，

故f（x）的单调增区间为，k∈Z.

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得

y＝2sin－1＝2sin－1的图象，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin－1的图象．

∵x∈，∴2x－∈，

∴sin∈，

故g（x）＝2sin－1在区间上的值域为.

若函数F（x）＝g（x）＋k在区间上有且只有一个零点，

由题意可知，函数g（x）＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，

根据图象（图略）可知，k＝－1或1－<

k≤＋1.

故实数k的取值范围是{－1}∪（1－，＋1]．