高中数学人教B版必修第三册 第七章 731二文档格式.docx

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例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sinx（0≤x≤2π）的简图．

解　取值，列表如下．

1－sinx

2

描点作图，如图所示．

延伸探究

本例中除了用五点法作图之外，是否还有其它方法得到y＝1－sinx（0≤x≤2π）的图像．

解　作出y＝sinx（0≤x≤2π）的图像关于x轴对称的图像，得到y＝－sinx（0≤x≤2π）的图像，再将y＝－sinx（0≤x≤2π）的图像向上平移1个单位，即得到y＝－sinx＋1（0≤x≤2π）的图像．

反思感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sinx的图像在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．

跟踪训练1　

（1）用“五点法”画出函数y＝

＋sinx，x∈[0,2π]的简图．

＋sinx

－

（2）函数y＝sinx＋

的图像的对称轴为________，对称中心为________．

答案　x＝

＋kπ，k∈Z　

，k∈Z

二、利用正弦函数图像解不等式

例2　利用正弦函数的图像，求满足sinx≥

的x的集合．

解　作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图可知在[0,2π]上满足sinx≥

的x的集合为

，

故满足sinx≥

.

反思感悟　用三角函数图像解三角不等式的步骤

（1）作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图像．

（2）写出不等式在区间[0,2π]上的解集．

（3）根据公式①写出定义域内的解集．

跟踪训练2　函数y＝log2（2sinx＋1）的定义域为________．

答案　

解析　要使函数有意义，则必有2sinx＋1>

0，即sinx>

，画出y＝sinx，x∈

的草图，如图所示．

当－

<

x<

时，不等式sinx>

成立，

所以sinx>

的解集为

可知函数y＝log2（2sinx＋1）的定义域为

三、正弦函数的对称性

例3　利用sin（3π－x）＝sinx，证明正弦曲线关于x＝

对称．

证明　令f 

（x）＝sinx，

f 

（3π－x）＝sin（3π－x）＝sinx，

∴f 

（3π－x）＝f 

（x），

令t＝

－x，则x＝

－t，

＝f 

即f 

（x）＝sinx关于x＝

反思感悟　函数f 

（x）的对称性的解题策略

（1）若函数f 

（x）满足f 

（a＋x）＝f 

（a－x），则f 

（x）关于直线x＝a对称．

（2）若函数f 

（a＋x）＝－f 

（x）关于点（a,0）对称．

跟踪训练3　利用sin（2π－x）＝－sinx，证明正弦曲线关于点（π，0）对称．

（x）＝sinx.

（2π－x）＝sin（2π－x）＝－sinx，

（2π－x）＝－f 

令t＝π－x，则x＝π－t，∴f 

[2π－（π－t）]＝－f 

（π－t），

（π＋t）＝－f 

（x）＝sinx关于点（π，0）对称．

1．函数y＝sin（－x），x∈[0,2π]的简图是（　　）

答案　B

解析　y＝sin（－x）＝－sinx，

y＝－sinx与y＝sinx的图像关于x轴对称，故选B.

2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图像（　　）

A．重合B．形状相同，位置不同

C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同

解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．

3．用“五点法”画函数y＝2－3sinx的图像时，首先应描出五点的横坐标是（　　）

A．0，

，πB．0，

，π，

，2π

C．0，π，2π，3π，4πD．0，

解析　所描出的五点的横坐标与函数y＝sinx的五点的横坐标相同，即0，

，2π，故选B.

4．若方程sinx＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________．

解析　由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sinx∈[－1,1]，要使得方程sinx＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，

则－1≤4m＋1≤1，故－

≤m≤0.

5．函数y＝

的定义域为________________．

解析　依题意知－2sinx－1≥0，

即sinx≤－

由y＝sinx，x∈[0,2π]的图像知，

当

≤x≤

时，sinx≤－

所以函数y＝

的定义域为

1．知识清单：

（1）正弦曲线．

（2）五点法作图．

（3）函数图像的应用．

2．方法归纳：

数形结合．

3．常见误区：

五点的选取．

1．对于正弦函数的图像，有以下四个说法：

①关于原点对称；

②关于x轴对称；

③关于y轴对称；

④有无数条对称轴．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．②③

答案　C

解析　由正弦曲线知，①④正确．

2．函数y＝－sinx，x∈

的简图是（　　）

答案　D

解析　函数y＝－sinx与y＝sinx的图像关于x轴对称，故选D.

3．点M

在函数y＝sinx－2的图像上，则m等于（　　）

A．－2B．1C．－1D．2

解析　由题意知，－m＝sin

－2，

∴－m＝1－2＝－1，∴m＝1.

4．函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2交点的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析　由函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像（如图所示），

可知其与直线y＝2只有1个交点．

5．在[0,2π]内，不等式sinx<

的解集是（　　）

A．（0，π）B.

C.

D.

解析　画出y＝sinx，x∈[0,2π]的草图如下．

因为sin

＝

所以sin

＝－

，sin

即在[0,2π]内，满足sinx＝－

的x＝

或

可知不等式sinx<

的解集是

.故选C.

6．y＝sinx－1的对称轴为________________，对称中心为__________________．

＋kπ，k∈Z　（kπ，－1），k∈Z

7．方程sinx＝a在x∈

上有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是________．

答案　[－1,0）∪{1}

解析　作出y＝sinx，x∈

的图像，如图所示．

由图知，a的取值范围是[1,0）∪{1}．

8．函数y＝

的定义域是________．

答案　{x|2kπ<

2kπ＋π，k∈Z}

解析　由题意得

解得0<

sinx≤1，

由正弦函数图像（图略）知2kπ<

2kπ＋π，k∈Z.

9．用“五点法”作下列函数的简图．

（1）y＝3sinx（x∈[0,2π]）；

（2）y＝sin

解　

（1）取值，列表如下．

3sinx

3

－3

（2）取值，列表如下．

sin

10．利用正弦曲线，求满足

sinx≤

解　首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图像，如图所示，作直线y＝

，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为

和

作直线y＝

，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为

观察图像可知，在[0,2π]上，当

x≤

≤x<

时，不等式

成立．

所以

11．如图中的曲线对应的函数解析式是（　　）

A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|

C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|

解析　排除法，可知C正确．

12．方程sinx＝

的根的个数是（　　）

A．7B．8C．9D．10

答案　A

解析　在同一坐标系内画出y＝

和y＝sinx的图像如图所示．

根据图像可知方程有7个根．

13．如图所示，函数y＝cosx|tanx|

的图像是（　　）

解析　当0≤x<

时，y＝cosx·

|tanx|＝sinx；

x≤π时，y＝cosx·

|tanx|＝－sinx；

当π<

|tanx|＝sinx，

故其图像为C.

14．函数y＝

＋

的定义域为________．

答案　[－π，0]∪[π，5]

解析　由题意得x满足不等式组

即

作出y＝sinx的图像，如图所示．

结合图像可得x∈[－π，0]∪[π，5]．

15．已知函数f 

（x）＝|sinx|，x∈[－2π，2π]，则方程f 

（x）＝

的所有根的和等于（　　）

A．0B．πC．－πD．－2π

解析　若f 

，即|sinx|＝

则sinx＝

或sinx＝－

因为x∈[－2π，2π]，

所以方程sinx＝

的4个根关于x＝－

对称，

则对称的2个根之和为－π，

则4个根之和为－2π，

由对称性可得sinx＝－

的四个根之和为2π.

综上，方程f 

的所有根的和等于0.故选A.

16．若方程2sinx＋a－1＝0在x∈

上有两个实数根，求a的取值范围．

解　原方程可化为sinx＝

.在同一直角坐标系中作出y＝sinx，x∈

的图像，y＝

的图像，由图像可知，

≤

1，即当－1<

a≤1－

时，y＝sinx，x∈

的图像与y＝

的图像有两个交点，即方程2sinx＋a－1＝0在x∈

上有两个实根．

所以a的取值范围为（－1,1－

]．