人教A版高中数学 高三一轮第一章第3课时 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教案Word格式.docx
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浙江）命题“任意n∈N＋，f（n）∈N＋且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A.任意n∈N＋，f（n）∉N＋且f（n）＞n
B.任意n∈N＋，f（n）∉N＋或f（n）＞n
C.存在n0∈N＋，f（n0）∉N＋且f（n0）＞n0
D.存在n0∈N＋，f（n0）∉N＋或f（n0）＞n0
答案 D
解析 写全称命题的否定时，要把量词，任意改为存在，并且否定结论，注意把“且”改为“或”.故选D.
4.（2015·
山东）若“任意x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y＝tanx在
上是增函数，∴ymax＝tan
＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
5.（教材改编）给出下列命题：
①任意x∈N，x3>
x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③存在x0∈R，x
－x0＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中，真命题的序号为________.
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
（1）已知命题p1：
y＝ln[（1－x）·
（1＋x）]为偶函数；
命题p2：
y＝ln
为奇函数，则下列命题是假命题的是（ ）
A.p1且p2B.p1或（綈p2）
C.p1或p2D.p1且（綈p2）
（2）已知命题p：
若x>
y，则－x<
－y；
y，则x2>
y2.在命题①p且q；
②p或q；
③p且（綈q）；
④（綈p）或q中，真命题是（ ）
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案
（1）D
（2）C
解析
（1）对于命题p1：
令f（x）＝y＝ln[（1－x）（1＋x）]，由（1－x）（1＋x）>
0得－1<
x<
1，∴函数f（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，∵f（－x）＝ln[（1＋x）（1－x）]＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴命题p1为真命题；
对于命题p2：
令g（x）＝y＝ln
，易知g（x）的定义域为（－1,1），关于原点对称，g（－x）＝ln
＝－g（x），∴g（x）为奇函数，命题p2为真命题，故p1或（綈p2）为假命题.
（2）当x>
y时，－x<
－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.
当x>
y时，x2>
y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
由真值表知：
①p且q为假命题；
②p或q为真命题；
③p且（綈q）为真命题；
④（綈p）或q为假命题.故选C.
思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p、q的真假；
（3）确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.
（1）已知命题p：
对任意x∈R，总有2x>
0；
q：
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A.p且qB.（綈p）且（綈q）
C.（綈p）且qD.p且（綈q）
（2）若命题p：
关于x的不等式ax＋b>
0的解集是{x|x>
－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<
0的解集是{x|a<
b}，则在命题“p且q”、“p或q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________.
答案
（1）D
（2）綈p、綈q
解析
（1）p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题.从而p且q为假，（綈p）且（綈q）为假，（綈p）且q为假，p且（綈q）为真，故选D.
（2）依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p且q”为假、“p或q”为假，“綈p”为真、“綈q”为真.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例2
（1）下列命题中，为真命题的是（ ）
A.任意x∈R，x2>
0B.任意x∈R，－1<
sinx<
1
C.存在x0∈R,2x0<
0D.存在x0∈R，tanx0＝2
（2）下列四个命题
p1：
存在x0∈（0，＋∞），
x0<
x0；
p2：
存在x0∈（0,1），
p3：
任意x∈（0，＋∞），
p4：
任意x∈
，
.
其中真命题是（ ）
A.p1，p3B.p1，p4
C.p2，p3D.p2，p4
答案
（1）D
（2）D
解析
（1）任意x∈R，x2≥0，故A错；
任意x∈R，－1≤sinx≤1，故B错；
任意x∈R,2x>
0，故C错，故选D.
（2）根据幂函数的性质，对任意x∈（0，＋∞），
x>
x，故命题p1是假命题；
由于
＝
，故对任意x∈（0,1），
，所以存在x0∈（0,1），
，命题p2是真命题；
当x∈
时，0<
1，
，故
不成立，命题p3是假命题；
，0<
，命题p4是真命题.
故p2，p4为真命题.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
（1）命题“存在实数x，使x>
1”的否定是（ ）
A.对任意实数x，都有x>
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
（2）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：
任意x∈A,2x∈B，则綈p为：
______.
答案
（1）C
（2）存在x0∈A,2x0∉B
解析
（1）利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>
1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C.
（2）命题p：
任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题.
∴綈p：
存在x0∈A,2x0∉B.
思维升华
（1）判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；
要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立.
（2）对全（特）称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
（1）下列命题中的真命题是（ ）
A.存在x∈R，使得sinx＋cosx＝
B.任意x∈（0，＋∞），ex>
x＋1
C.存在x∈（－∞，0），2x<
3x
D.任意x∈（0，π），sinx>
cosx
（2）（2015·
课标全国Ⅰ）设命题p：
存在n∈N，n2>
2n，则綈p为（ ）
A.任意n∈N，n2>
2nB.存在n∈N，n2≤2n
C.任意n∈N，n2≤2nD.存在n∈N，n2＝2n
答案
（1）B
（2）C
解析
（1）因为sinx＋cosx＝
sin（x＋
）≤
<
，故A错误；
当x<
0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；
因为x∈（0，
）时有sinx<
cosx，故D错误.所以选B.
（2）将命题p的量词“存在”改为“任意”，“n2>
2n”改为“n2≤2n”.
题型三 由命题的真假求参数的取值范围
例4 已知p：
存在x∈R，mx2＋1≤0，q：
任意x∈R，x2＋mx＋1>
0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A.m≥2B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2
答案 A
解析 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>
0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<
0，－2<
m<
2.
因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
引申探究
1.本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________.
答案 （－2,0）
解析 依题意，当p是真命题时，有m<
当q是真命题时，有－2<
2，
由
可得－2<
0.
2.本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________________.
答案 （－∞，－2]∪[0,2）
解析 若p且q为假，p或q为真，则p、q一真一假.
当p真q假时
∴m≤－2；
当p假q真时
∴0≤m<
∴m的取值范围是（－∞，－2]∪[0,2）.
3.本例中的条件q变为：
存在x∈R，x2＋mx＋1<
0，其他不变，则实数m的取值范围为________.
答案 [0,2]
解析 依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>
0，
∴m>
2或m<
－2.
得0≤m≤2，
∴m的取值范围是[0,2].
思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤
（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；
（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a|a≤－2或a＝1}
B.{a|a≥1}
C.{a|a≤－2或1≤a≤2}
D.{a|－2≤a≤1}
（2）已知命题“存在x0∈R，使2x
＋（a－1）x0＋
≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1）B.（－1,3）
C.（－3，＋∞）D.（－3,1）
答案
（1）A
（2）B
解析
（1）∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，
∴p：
a≤1，q：
a≤－2或a≥1，
∴a≤－2或a＝1.
（2）依题意可知“任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋
>
0”为真命题，所以Δ＝（a－1）2－4×
2×
0，即（a＋1）（a－3）<
0，解得－1<
a<
3.故选B.
1.常用逻辑用语及其应用
一、命题的真假判断
典例 已知命题p：
存在x∈R，x2＋1<
2x；
若mx2－mx－1<
0恒成立，则－4<
0，那么（ ）
A.“綈p”是假命题
B.q是真命题
C.“p或q”为假命题
D.“p且q”为真命题
解析 由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即x2＋1≥2x，所以p为假命题；
对于命题q，当m＝0时，有－1<
0，恒成立，
所以命题q为假命题.
综上可知：
綈p为真命题，
p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.
温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断.
二、求参数的取值范围
“任意x∈[0,1]，a≥ex”；
“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________.
解析 若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；
由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
温馨提醒 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例
（1）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
（2）对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：
中国非第一名，也非第二名；
乙：
中国非第一名，而是第三名；
丙：
中国非第三名，而是第一名.
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.
解析
（1）由题意可推断：
甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
（2）由上可知：
甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.
答案
（1）A
（2）一
温馨提醒 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.
[方法与技巧]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；
否定的规律是“改量词，否结论”.
[失误与防范]
1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；
p且q为真命题，必须p、q同时为真.
2.两种形式命题的否定
p或q的否定：
3.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；
“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.
A组 专项基础训练
（时间：
30分钟）
1.已知命题p：
所有有理数都是实数；
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.綈p或qB.p且q
C.綈p且綈qD.綈p或綈q
解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p或綈q为真命题.
2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由“綈p为真”可得p为假，故p且q为假；
反之不成立.
3.下列命题中的假命题是（ ）
A.存在x∈R，sinx＝
B.存在x∈R，log2x＝1
C.任意x∈R，（
）x>
0D.任意x∈R，x2≥0
解析 因为任意x∈R，sinx≤1<
，所以A是假命题；
对于B，存在x＝2，log2x＝1；
对于C，根据指数函数图像可知，任意x∈R，（
对于D，根据二次函数图像可知，任意x∈R，x2≥0.
4.下列命题中的假命题是（ ）
A.任意x∈R,2x－1>
B.任意x∈N＋，（x－1）2>
C.存在x0∈R，lgx0<
D.存在x0∈R，tan
＝5
解析 A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>
B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，（x－1）2＝0与（x－1）2>
0矛盾；
C项，当x0＝
时，lg
＝－1<
D项，当x∈R时，tanx∈R，∴存在x0∈R，tan
＝5.
5.已知命题p：
若a>
1，则ax>
logax恒成立；
在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N＋）.则下面选项中真命题是（ ）
A.（綈p）且（綈q）B.（綈p）或（綈q）
C.p或（綈q）D.p且q
解析 当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>
log1.11.21＝2，
此时，ax<
logax，故p为假命题.
命题q，由等差数列的性质，
当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，
当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题.
故綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p且q为假命题，p或（綈q）为假命题，（綈p）且（綈q）为假命题，（綈p）或（綈q）为真命题.
6.已知命题“存在x∈R，使2x2＋（a－1）x＋
A.（－1,3）B.（2,3）
C.[－1,3）D.（－1,3]
解析 原命题的否定为任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋
0，由题意知，其为真命题，
则Δ＝（a－1）2－4×
则－2<
a－1<
2，则－1<
3.
7.命题p：
存在x0>
0，x0＋
＝2，则綈p为（ ）
A.任意x>
0，x＋
＝2B.任意x>
≠2
C.任意x>
≥2D.存在x>
解析 “存在”的否定为“任意”，“＝”的否定为“≠”.故选B.
8.已知命题p：
存在m∈R，m＋1≤0，命题q：
0.若“p且q”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2]∪（－1，＋∞）
B.[2，＋∞）
C.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
D.[－2,2]
解析 若“p且q”为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，若命题p为真命题，则m≤－1，若q为真命题，则Δ＝m2－4<
0，∴－2<
2，若命题p和命题q都是真命题，则－2<
m≤－1，∴若“p且q”为假命题，则m≤－2或m>
－1，故选A.
9.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________.
答案 任意x∈R，x2＋2x＋5≠0
解析 否定为全称命题：
“任意x∈R，x2＋2x＋5≠0”.
10.若命题“存在x0∈R，x
＋（a－1）x0＋1<
0”是真命题，则实数a的取值范围是________________.
答案 （－∞，－1）∪（3，＋∞）
解析 因为命题“存在x0∈R，x
0”等价于x
＋（a－1）x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝（a－1）2－4>
0，即a2－2a－3>
0，解得a<
－1或a>
11.已知命题p：
x2＋2x－3>
>
1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是________.
答案 （－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）
解析 因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，
<
0，得2<
3，所以q假时有x≥3或x≤2；
p为真命题时，由x2＋2x－3>
0，解得x>
1或x<
－3，由
解得x<
－3或1<
x≤2或x≥3，
所以x的取值范围是x<
x≤2或x≥3.
12.下列结论：
①若命题p：
存在x∈R，tanx＝1；
任意x∈R，x2－x＋1>
0.则命题“p且（綈q）”是假命题；
②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p且（綈q）为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
B组 专项能力提升
15分钟）
13.已知命题p：
存在x∈R，x－2>
lgx，命题q：
任意x∈R，x2>
0，则（ ）
A.p或q是假命题
B.p且q是真命题
C.p且（綈q）是真命题
D.p或（綈q）是假命题
解析 ∵x＝10时，x－2＝8，lg10＝1，x－2>
lgx成立，∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，
∴p且（綈q）是真命题.
14.四个命题：
①任意x∈R，x2－3x＋2>
0恒成立；
②存在x∈Q，x2＝2；
③存在x∈R，x2＋1＝0；
④任意x∈R,4x2>
2x－1＋3x2.其中真命题的个数为（ ）
A.0B.1
C.2D.4
解析 ∵x2－3x＋2>
0，Δ＝（－3）2－4×
2>
∴当x>
2或x<
1时，x2－3x＋2>
0才成立，
∴①为假命题.
当且仅当x＝±
时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.
对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
15.下列结论正确的是（ ）
A.若p：
存在x∈R，x2＋x＋1<
0，则綈p：
任意x∈R，x2＋x＋1<
B.若p或q为真命题，则p且q也为真命题
C.“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件
D.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题
解析 ∵x2＋x＋1<
0的否定是x2＋x＋1≥0，∴A错；
若p或q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴B错；
f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴C错；
命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，D对.
16.已知命题p：
“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.
答案 （－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·
2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－（4x－2·
2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.
17.设p：
方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；
方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根.则使p或q为真，p且q为假的实数m的取值范围是________________________.
答案 （－∞，－2]∪[－1,3）
解析 设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，
得m<
－1，
所以命题p为真时，m<
－1.
由方程x2＋2（m－2）x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4（m－2）2－4（－3m＋10）<
0，得－2<
3，所以命题q为真时，－2<
由p或q为真，p且q为假，可
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