命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳.doc
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实用标准
●高考明方向
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、
否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
★备考知考情
常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一,
考查形式以选择题为主,试题多为中低档题目,
命题的重点主要有两个:
一是命题及其四种形式,主要考查命题的四种形式及命题的真假判断;
二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断,这也是历年高考命题的重中之重.命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题,考查考生的逆向思维.
一、知识梳理《名师一号》P4
知识点一命题及四种命题
1、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
注意:
命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句
都不是命题。
2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系.
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关.
注意:
(补充)
1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题
2、常见词语的否定
原词语
等于(=)
大于(>)
小于(<)
是
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
原词语
都是
至多有一个
至多有n个
或
否定词语
不都是
至少有两个
至少有n+1个
且
原词语
至少有一个
任意两个
所有的
任意的
否定词语
一个也没有
某两个
某些
某个
知识点二充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件的概念
(1)充分条件:
则是的充分条件
即只要有条件就能充分地保证结论的成立,
亦即要使成立,有成立就足够了,即有它即可。
(2)必要条件:
则是的必要条件
即没有则没有,亦即是成立的必须要有的条件,即无它不可。
(补充)(3)充要条件
且即
则、互为充要条件(既是充分又是必要条件)
“是的充要条件”也说成“等价于”、
“当且仅当”等
(补充)2、充要关系的类型
(1)充分但不必要条件
定义:
若,但,
则是的充分但不必要条件;
(2)必要但不充分条件
定义:
若,但,
则是的必要但不充分条件
(3)充要条件
定义:
若,且,即,
则、互为充要条件;
(4)既不充分也不必要条件
定义:
若,且,
则、互为既不充分也不必要条件.
3、判断充要条件的方法:
《名师一号》P6特色专题
①定义法;②集合法;③逆否法(等价转换法).
逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
集合法----利用集合的观点概括充分必要条件
若条件以集合的形式出现,结论以集合的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.
(1)若,则是的充分但不必要条件
(2)若,则是的必要但不充分条件
(3)若,则是的充要条件
(4)若,且,
则是的既不必要也不充分条件
(补充)简记作----若A、B具有包含关系,则
(1)小范围是大范围的充分但不必要条件
(2)大范围是小范围的必要但不充分条件
二、例题分析
(一)四种命题及其相互关系
例1.
(1)《名师一号》P4对点自测1
命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题
是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
答案 C
例1.
(2)《名师一号》P5高频考点例1
下列命题中正确的是( )
①“若a≠0,则ab≠0”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④
解析:
①中否命题为“若a=0,则ab=0”,正确;
②中逆命题不正确;
③中,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,原命题正确,
故其逆否命题正确;
④中原命题正确故逆否命题正确.
答案 B
注意:
《名师一号》P5高频考点例1规律方法
在判断四个命题之间的关系时,
首先要分清命题的条件与结论,
再比较每个命题的条件与结论之间的关系.
要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为
原命题,也就相应的有了它的“逆命题”
“否命题”“逆否命题”;
判定命题为真命题时要进行推理,
判定命题为假命题时只需举出反例即可.
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.
例1.(3)《名师一号》P4对点自测2
(2014·陕西卷)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
解析 易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,
设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|,
但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,
同时否命题也为假.
注意:
《名师一号》P5问题探究问题2
四种命题间关系的两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题;
互为逆否命题的两个命题同真假.
(2)当判断一个命题的真假比较困难时,
可转化为判断它的逆否命题的真假.
同时要关注“特例法”的应用.
例2.
(1)(补充)
(2011山东文5)已知a,b,c∈R,命题“若=3,
则≥3”的否命题是()
(A)若a+b+c≠3,则<3
(B)若a+b+c=3,则<3[来源XK]
(C)若a+b+c≠3,则≥3
(D)若≥3,则a+b+c=3
【答案】A[来
【解析】命题“若,则”的否命题是:
“若,则”
例2.
(2)(补充)
命题:
“若,则或”的否定是:
________
【答案】若,则且
【解析】命题的否定只改变命题的结论。
注意:
命题的否定与否命题的区别
(二)充要条件的判断与证明
例1.
(1)(补充)(07湖北)已知是的充分条件而不是必要条件,是的充分条件,是的必要条件,是的必要条件。
现有下列命题:
①是的充要条件;②是的充分条件而不是必要条件;③是的必要条件而不是充分条件;④的必要条件而不是充分条件;⑤是的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是()
A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤
答案:
B
注意:
1、利用定义判断充要条件
《名师一号》P6特色专题方法一定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题
——“若p,则q”与“若q,则p”的判断,
根据两个命题是否正确,来确定p与q之间的充要关系.
则是的充分条件;
是的必要条件
2、利用逆否法判断充要条件
《名师一号》P6特色专题方法三等价转化法
当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的真假来判断p与q的关系.令p为命题的条件,q为命题的结论,具体对应关系如下:
①如果原命题真而逆命题假,
那么p是q的充分不必要条件;
②如果原命题假而逆命题真,
那么p是q的必要不充分条件;
③如果原命题真且逆命题真,
那么p是q的充要条件;
④如果原命题假且逆命题假,
那么p是q的既不充分也不必要条件.
简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
例1.
(2)《名师一号》P6特色专题例1
(2014·北京卷)设{an}是公比为q的等比数列.
则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【规范解答】
若q>1,则当a1=-1时,an=-qn-1,{an}为递减数列,所以“q>1”“{an}为递增数列”;
若{an}为递增数列,则当an=-n时,a1=-,q=<1,即“{an}为递增数列”⇒/“q>1”.故选D.
例1.(3)《名师一号》P6特色专题例2
(2014·湖北卷)设U为全集.A,B是集合,则“存在集合C使得AC,B∁UC”是“A∩B=”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【规范解答】 如图可知,存在集合C,使AC,B∁UC,则有A∩B=.若A∩B=,显然存在集合C.满足AC,B∁UC.故选C.
例1.(4)《名师一号》P4对点自测5
已知p:
-4函数y=kx2-kx-1的值
恒为负,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
-4可用定义或集合法
注意:
3、利用集合法判断充要条件
《名师一号》P6特色专题方法二集合法
涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时,一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性.具体对应关系如下:
若条件以集合的形式出现,结论以集合的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.
(1)若,则是的充分但不必要条件
(2)若,则是的必要但不充分条件
(3)若,则是的充要条件
(4)若,且,
则是的既不必要也不充分条件
(补充)简记作----若A、B具有包含关系,则
(1)小范围是大范围的充分但不必要条件
(2)大范围是小范围的必要但不充分条件
例2.《名师一号》P5高频考点例3
函数f(x)=有且只有一个零点的
充分不必要条件是( )
A.a≤0或a>1B.0解析:
因为f(x)=有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a>1.由选项可知,使“a≤0或a>1”成立的充分条件为选项D.
注意:
《名师一号》P5高频考点例3规律方法
有关探求充要条件的选择题,解题关键是:
首先,判断是选项“推”题干,还是题干“推”选项;
其次,利用以小推大的技巧,即可得结论.
务必审清题,明确“谁是条件”!
此题选项是条件!
练习:
(补充)
已知且,,则是的
条件。
答案:
既不充分条件也不必要条件
例3.《名师一号》P6特色专题例3
已知命题p:
关于x的方程4x2-2ax+2a+5=0的解集
至多有两个子集,命题q:
1-m≤x≤1+m,m>0,若是的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【规范解答】 ∵是的必要不充分条件,
∴p是q的充分不必要条件.
对于命题p,依题意知
Δ=(-2a)2-4·4(2a+5)=4(a2-8a-20)≤0,
∴-2≤a≤10,
令P={a|-2≤a≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0},
由题意知,
∴或
解得m≥9.因此实数m的取值范围是{m|m≥9}.
注意:
(补充)
凡结合已知条件求参数的取值范围
是求满足条件的等价条件即充要条件
练习:
(补充)
已知.
若是的必要但不充分条件,
求实数的取值范围.
解:
是的必要但不充分条件
即且等价于
即是的充分但不必要条件
令
则即解得
所以实数的取值范围是
注:
A是B的真子集,须确保
中的等号不同时取得
例4.(补充)
求证:
关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的
充要条件是a≤1.
证明:
充分性:
当a=0时,方程为2x+1=0的根为x=-,方程有一个负根,符合题意.
当a<0时,Δ=4-4a>0,方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根,且<0,方程有一正一负根,符合题意.
当0方程ax2+2x+1=0有实根,且,
故方程有两个负根,符合题意.
综上:
当a≤1时,方程ax2+2x+1=0至少有一个负根.
必要性:
若方程ax2+2x+1=0至少有一个负根.
当a=0时,方程为2x+1=0符合题意.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0应有一正一负根或两个负根.则<0或.
解得a<0或0综上:
若方程ax2+2x+1=0至少有一负根,则a≤1.
故关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1.
注意:
(补充)
证明充要条件务必明确充分性和必要性并分别给予证明
练习:
(补充)已知是定义在R上的函数,
求证:
为增函数的充要条件是任意的
分析:
设:
:
为增函数;证明是的充要条件,只需分别证明充分性()和必要性()即可。
课后作业
计时双基练P209基础1-11、培优1-4
课本P2-4变式思考1、2、3;对应训练1、2、3
预习
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
补充作业:
(2010安徽)设数列中的每一项都不为零,证明:
数列为等差数列的充分必要条件是:
对任意,都有.
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