c题易拉罐形状和尺寸的最优设计.ppt

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2006C:

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型,C题目:

取一饮料容量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表。

设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？

其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比等等。

考虑壁厚及顶盖厚和壁厚不同的情况下求最优模型。

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

在对易拉罐的形状进行研究时，首先分析出模型可能需要的数据，利用相应的工具多次测量求平均均值确定易拉罐各项尺寸的大小。

简化易拉罐的形状为一圆柱体时，确定出高度和半径的比值关系，并与实际测量数据进行比较分析，判断易拉罐设计的合理性；易拉罐形状为组合体时，求解过程仍以材料最省为最优设计，建立一个广泛的最优设计模型。

问题分析,1、假设温度，湿度等因素变化的时候，易拉罐形状和尺寸不随之变化。

2、假设整个易拉罐用同种材料制成。

3、假设易拉罐顶盖和下底盖都是规则的平面。

4、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同，且壁很薄。

5、假设易拉罐都是规则的多面体。

模型假设,符号说明:

r:

易拉罐的半径h:

易拉罐的高V:

罐内体积b:

材料的厚度S:

易拉罐的表面积SV:

材料的体积：

待定参数其中r,h是自变量,所用材料的体积S是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数,模型建立和求解,一、简化模型把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。

即圆柱的直径和高之比为1:

1,模型二（改进）：

实际上,易拉罐的壁厚是不一样的，则在不忽略壁厚情况下计算。

补充假设：

除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同为b,饮料罐侧面所用材料的体积为：

b：

顶壁厚度,饮料罐顶盖所用材料的体积为,饮料罐底部所用材料的体积为,所用材料的体积：

罐内体积V（r,h）：

因,所以带,的项可以忽略,所以,于是我们可以建立以下的数学模型：

记,其中是SV目标函数,是约束条件,V是已知的（355ml）,即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r,h和使得r,h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.,模型的求解,从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题使原问题化为:

求使S最小,即,求r使下式最小.,求临界点:

令其导数为零得,测量数据为,即即顶盖厚度是其他材料厚度3倍,模型验证及进一步的分析,有人测量过顶盖的厚度约为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其容积为：

实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.可以把饮料罐的体积看成两部分,一是锥台,二是圆柱体.,进一步讨论,此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接（粘合）很牢固,耐压.,谢谢观看,