美国数学建模题论文基于模式识别的选区划分.doc

美国数学建模题论文基于模式识别的选区划分.doc

《美国数学建模题论文基于模式识别的选区划分.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《美国数学建模题论文基于模式识别的选区划分.doc（7页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

基于模式识别的选区划分

1.摘要

本文针对研究众议员的选区重新划分问题。

运用方法简洁有效、充分公平且可行性强的“简单”原则，引入类基尼系数，并通过0-1矩阵确定合并方案。

为确保类似于少数族裔群体的利益，运用建设性杰利蝾螈模型，将某些少数群体合并。

最后，扩展到多个城市同时合并的模型，以便提高运算速度。

经过理论分析和数值计算结果验证表明模型设计合理，实用性强。

关键词：

选区划分类基尼系数0-1矩阵建设性杰利蝾螈

2.问题的提出

'O.z#a*M5u2F6u:

e5i3Y美国宪法规定众议院由一定数目的众议员组成，目前是435人，他们是由各州按照该州人口占全国总人口的百分比选出来的。

尽管这种规定提供了确定每个州有多少众议员的方法，但是一点也没有说及有关一个特定的众议员所代表的选区应该怎样按地区决定的问题。

这种疏忽已经导致了按某种标准看来是违反常情的很不好的选区安排，至少某些人认为通常是不必这样做的。

&g,d  ~-g  u0D9C因此提出以下问题：

假设有机会去制定一个州的众议院的选区，如何把它作为一种纯“基础性”的练习来创建一个州的所有选区的“最简单”的划分。

这些划分规则中至少要包含一条：

该州的每个选区必须有同样的人口。

确定“简单”的定义；并就解决方法公正的做出一个能够使该州选民信服的论证。

作为方法的应用，试创建纽约州的按地域来说是简单的选区划分。

3.问题的分析

所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）次序排队的基础上，根据某一事先规定的选举规则决定出候选人的一个先后次序，即得出选举结果。

为了便于管理，举办选举一般都需要按人口大致平均地划分选区，不仅如此，每隔一段时间，选区往往有必要重新划分或作出调整，因为每个选区里面能选出来的人是固定的，但是里面的人口是变化的；当选区内人口出现大幅波动时，会导致被选出来的人和选区人口不成比例的现象，“一人一票”的原则就会被破坏，这就有必要重新划分选区。

纽约州按地域的简单的划分选区是一个纯基础性研究。

基础研究是指为获得关于现象和可观察事实的基本原理及新知识而进行的实验性和理论性工作，它不以任何专门或特定的应用或使用为目的。

基础研究又可分为纯基础研究和定向基础研究。

其中，纯基础研究是为了推进知识的发展，不考虑长期的经济利益或社会效益，也不致力于应用其成果于实际问题或把成果转移到负责应用的部门。

这实际上是简化了问题求解的难度，把问题的求解过程转化为纯基础性研究，致力于解决问题的方式方法的建立。

4.建模过程

4.1.模型一：

4.1.1符号说明

纽约州城市数；

纽约州选区数；

纽约州应有的众议员席位数；

每个选区的总人数；

纽约州现有的利益群体的个数；

城市间的关系，0为相邻，1为不相邻；

纽约州第个城市的人口；

纽约州第个选区的人口；

选区人口偏差指数，近似为；

纽约州第i个城市第n个利益群体的人数；

纽约州总人口数；

4.1.2模型假设

（一）纽约州公民都是理性人，会投票给自己所属的利益群体。

（二）城市为划分选区的最小单位，任意两城市都可划分在同一个选区内。

（三）为简化计算，把选区人口偏差设定为常数。

4.1.3模型建立

该模型对纽约州选区划分的“简单”可以定义为，方法简洁有效、充分公平且可行性强。

根据资产阶级宪法所主张的“平等选举原则”，不仅要求每个选民有一个投票权，在计算选票上平等，而且还要求选举人的投票对选举结果产生的影响力相等，不受基于种族、肤色、性别、语言、宗教、政治或其他见解及社会出身、财产，出生地或其他身份等任何理由的歧视。

下面作为一种纯“基础性”的练习来创建一个州的所有选区的“最简单”的划分。

根据定义符号可知，纽约州总人口数为。

于是，每个选区可大致容纳人，而且由于美国采取单一选区相对多数制，每个选区只选出一名代表，所以也就是每位众议员所代表的公民数。

纽约州全部公民的利益可表示为如下的分布矩阵，

基尼系数是用于衡量全部居民收入分配的公平性指标。

由于利益群体现有的政治势力有强弱之分，在选区的划分中，为保证公平性自然需要有一个指标作为衡量利益群体间势力的强弱。

这里引入类基尼系数，且不同利益群体间应满足纳什均衡点的最佳状态。

类似基尼系数的计算公式，可得到类基尼系数。

首先，以纽约州各城市中最不公平的城市作为起始点向外扩张合并周围城市，即。

然后按照下列合并原则对纽约州其他城市进行重组：

1.运用0-1矩阵，用表示各城市间的关系，若两城市相邻记为0，不相邻记为1，优先合并该城市与周边城市关系矩阵中各行各列中最小的城市，也就是的城市。

2.基于公平原则，对周围城市合并优先选取与该城市利益群体相似的城市，即。

3.将刚合并的城市设定为一个新市，与现有未合并的城市进行比较，选择出最不公平的城市，继续上述合并过程。

4.伴随着合并的进行，会出现某个新城的人口数大致等于一个选区的人口数，即，则不再进行合并。

按照上述方法，从剩余城市中再次挑选出最不公平的城市进行重组，直到所有城市都被划分到个不同选区为止。

下图为划分选区流程图：

程序开始

输入数据

计算G

选择最不公平的成市

是否为min（G）

与周围城市融合

储存所有G

融合为一个新市

是否符合选区范围

Q

融合为一个选区（移除数据）

存储器

判断I值是否等于m

程序结束

N

N

N

Y

Y

Y

图4.1-1

4.1.4模型的优点与不足

由于对选区人口数规定了上下线，且实际上一席大概代表着三十万公民，数量较大，因此不会存在合并后有剩余选区的情况。

但是，这种选区的划分方法可能存在某个或者某些城市未被划分到任何选区的状况，这时，仍然按照前面提到的合并原则，把剩余城市中最不公平的城市合并到现有选区中，直到剩余城市完全划分到所有选区中。

4.2模型二：

建设性杰利蝾螈

由于美国采取单一选区相对多数制，每个选区只选出一名代表，落选者所获得选票的优值无法反映在选举中，造成选票数与席位数的不比例性。

尤其是每个地区的少数族裔往往无法籍由赢得选区内多数的票，来选出自己的代表。

模型一为了规划出人口数均等的选区，分割了少数族裔居住的选区与选票，更使得少数族裔无法选出代表的情况更加严重。

为了确保少数族裔的利益，美国采取了一些措施，希望让少数足以也能选出自己的代表，使得其国会席次数符合人口数比例，不过美国并不是采用将少数族裔独立成一个选区的方式来保障这些少数族裔，而是在地理上规划出建设性杰利蝾螈选区。

建设性杰利蝾螈选区是将少数足以居住的地区划分在同一个选区，希望藉此让少数族裔也能够选出自己的代表。

方法则是在许多州划分所谓的多数选区，这些选区通常指的是以黑人为多数的选区；或是划分出多数-少数选区，就是在选区划分时，特别规划某些选区，让选区中具有相当高比例的少数选民，以利这些非洲、亚洲、与拉丁美洲等少数族裔，可以利用同一族裔人口的集中而选出具有少数族裔身份的代表。

至于设立多数-少数选区的标准有以下三项：

第一，在一地区的居民中，至少有百分之五十以上居民是少数族裔；

第二，有证据可以证明这群体的成员投票性质具有一致性；

第三，投票行为因为人种而分化，这些情况都被认为应该要设立多数-少数选区，可见得建设性杰利蝾螈也就是在不改变单一选区选制的情况下，透过选区规划的方式，提高具有少数族裔身份的候选人当选的机会，以增加国会中少数族裔的代表数量，让他们在议会中所占有代表席次的比例，能符合其在社会上人口数的比例。

为了使纽约州选民信服，对于人口分散、数量较小的利益群体，均可采用建设性杰利蝾螈方案解决。

籍由划分选区的方式，来保障少数族裔的代表权，这种的选区划分的出发点在于保障少数族裔的利益，有助于增加非洲裔以及其他族裔代表在各级议会席次的数量，不过也产生了许多问题。

在少数族裔的居住区域并非都完整地集中在一起，但在划分时为了要符合人口数均等以及地理区要相连结的要求，许多地区被切割得乱七八糟，造成选区的外型奇形怪状，其中最被广为讨论的就是九十年代初期北卡罗来纳州的选区划分；这样的方式是主观地预先认定少数族裔选民投票一定会投票具有少数族裔身份的候选人，选出具有少数族裔身份的代表后，这些代表进入国会是否会为少数族裔争取利益？

少数族裔选民的利益是否增加？

这些问题仍有待讨论。

4.3模型三：

齐头并进

为了加快选区划分的运算速度，在前两个模型的基础上进行改进，具体合并原则如下：

1.提取出最不公平的个城市，即等于选区个数的城市进行优先合并。

2.运用0-1矩阵，用表示各城市间的关系，若两城市相邻记为0，不相邻记为1，优先合并这些城市与周边城市关系矩阵中各行各列中最小的城市，也就是的城市。

3.基于公平原则，对周围城市合并优先选取与该城市利益群体相似的城市，即。

4.将刚合并的城市设定为一个新市，与现有未合并的城市进行比较，选择出最不公平的城市，继续上述合并过程。

5.伴随着合并的进行，会出现某个或某个新城的人口大致等于一个选区的人口，即，则确定该选区。

按照上述方法，继续合并剩余个新城，直到所有城市都被划分到个不同选区为止。

当多个城市同时合并时，自然会加快选区划分的进程，但同时可能出现下列现象，在此给出一些可行性措施：

1.覆盖现象，即某两个或多个城市同时希望合并某个城市时，则可再次比较城市间的类基尼系数，选择最大的值，即。

为了增加选区间的公平性，值较大的新城与该城市合并，值较小的新城此次与次优的城市合并，此次合并中值较大的城市占优，此时，两个城市间的值会更趋于一致，从而使选举更加公平。

下图为出现覆盖现象时，选择合并城市的示意图，

图4.2-1

2.连环合并现象，即三个新城A、B、C的合并取向为A合并B更优，B合并C更优，C合并A更优，为避免运算出现死循环的现象。

下面提供两套解决方案供参考：

方案一，强行结束此次合并，系统生成一个随机函数，可随机抽取某一种合并方式，以便后续运算；方案二，将上述三种合并方式分别运算出最终结果，选择“简单”的划分选区方法。

5.模型检验

运用MATLAB进行仿真模型三中的选区划分系统，代入纽约州相关数据以便得出优化后的选区划分方案，并与全纽约州作为一个选区时各利益群体所占席位进行比较，得出该模型符合方法简洁有效、充分公平且可行性强的“简单”原则。

6.模型改进

考虑到选票收集的可行性以及利益集体划分的精确性，可将选区划分为更精细的单位，将城市改为纽选区约州最小的行政单位为划分选区的最小单位。

选区人口偏差指数，可根据环境、经济、社会等因素的变化由常数改进为一个函数，增加模型的准确性。

7.参考文献

l王绍光，民主四讲，生活·读书·新知三联书店，2008年8月。

l基尼系数，