31函数与方程提高卷.docx
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31函数与方程提高卷
函数与方程
一、选择题
1．[2018年河北省石家庄二中高考数学模拟试卷（理科）（A卷）] 已知函数
，g（x）=x2+1-2a，若函数y=f（g（x））有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.（-∞，1）
2．[2018-2019学年广西南宁三中高三（上）周测数学试卷（理科）（5）]方程x2+
x-1=0的解可视为函数y=x+
的图象与函数y=
的图象交点的横坐标，若x4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点（xi，
）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（ ）
A.R
B.∅
C.（-6，6）
D.（-∞，-6）∪（6，+∞）
3．[2019高考选考科目浙江省9月联考（数学）]已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），其中b＝a＋c，若对任意的实数b，c都有不等式f（b2＋c2）≥f（2bc）成立，则方程f（x）＝0的根的可能性为 （）
A.有一个实数根
B.两个不相等的实数根
C.至少一个负实数根
D.没有正实数根
4．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）≈－0.984
f（1.375）≈－0.260
f（1.4375）≈0.162
f（1.40625）≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解（精确度0.04）为（）
A．1.5B．1.25
C．1.375D．1.4375
5．已知曲线y＝
x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是（）
A.
B.
C.
D．（1,2）
6．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984
f（1.375）＝－0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（）
A．1.25B．1.375
C．1.42D．1.5
7．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是（）
①y＝3x2－2x＋5；②y＝
③y＝
＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝
x2＋4x＋8.
A．①②③B．⑤
C．①⑤D．①④
8．在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是（）
A．[1,4]B．[－2,1]
C.
D.
二、填空题
9．某方程有一无理根在区间D＝（1,3）内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
10．[2018-2019届高三年级上学期第一次月考（理科）（数学） ]设函数f（x）=x3-3x2-ax+5-a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是______．
12．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2,4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
三、解答题
13．证明方程6－3x＝2x在区间（1,2）内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确度为0.1）．
14．判断函数f（x）＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值（精确度0.1）．
15．[三明二中2018-2019学年第一学期高三周考（文科数学3）（数学）]已知函数f（x）=（x-1）ex-
ax2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
16．已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）>0，f
（1）>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0,1]内有两个实根．
参考答案
一、选择题
1．解：
g（x）为偶函数，g（x）min=g（0）=1-2a，
当x＜0时，令f（x）=0得x=-1；
当x≥0时，令f（x）=0得x2-2ax-a+1=0，
△=4a2-4（1-a）=4（a2+a-1），
（1）若△＜0，即a2+a-1＜0，即
＜a＜
时，
方程f（x）=0（x≥0）无解，
由f（g（x））=0可得g（x）=-1，
又g（x）为偶函数，故而f（g（x））=0最多只有2解，不符合题意；
（2）若△=0即a=
或a=
时，
方程f（x）=0（x≥0）的解为x=a=
时，
而g（x）min=1-2a=2-
，
此时g（x）=-1无解，g（x）=
只有2解，不符合题意；
（3）若△＞0即a＜
或a＞
时，
方程f（x）=0（x≥0）的解为x1=a-
，x2=a+
，
①若a＜
，则x1＜0，x2＜0，
且g（x）min=1-2a＞0，此时f（g（x））=0无解，不符合题意；
②若
＜a＜1，则x2＞x1＞0，
而-1＜1-2a＜2-
＜0，
∴g（x）=x1和g（x）=x2各有2解，故f（g（x））=0有4解，符合题意；
③若a=1，则x1=0，x2=2，gmin（x）=1-2a=-1，
此时g（x）=x1有2解，g（x）=x2有2解，g（x）=-1有1解，
此时f（g（x））=0有5解，不符合题意；
④若a＞1，则x2＞0，x1＜0，而gmin（x）=1-2a＜-1，
∴g（x）=x2有2解，g（x）=-1有2解，
故f（g（x））=0有4解，符合题意．
综上，
＜a＜1或a＞1．
故选：
A．
求出f（x）=0的解，讨论f（x）的零点与g（x）的最小值1-2a的关系，得出a的范围．
本题考查了函数的零点个数的判断，函数单调性与最值的计算，属于难题．
2．解：
方程的根显然不为0，原方程x4+ax-4=0等价于方程x3+a=
，
原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=
的交点的横坐标；
曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．
若交点（xi，
）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
则直线y=x与y=
的交点为：
（-2，-2），（2，2）；
如下图所示：
所以结合图象可得：
，
或
，
解得a＞6或a＜-6，
即实数a的取值范围是（-∞，-6）∪（6，∞），
故选：
D．
原方程等价于x3+a=
，分别作出y=x3+a与y=
的图象：
分a＞0与a＜0讨论，数形结合即可．
本题考查函数与方程的综合运用，利用数形结合是解决本题的关键．注意合理地进行等价转化．
3．【分析】
本题主要考查方程根的判别问题，利用条件b＝a＋c有
，结合判别式即可得出结果.
【解答】
解：
∵b＝a＋c，∴
，
∵
，
∴方程f（x）＝0至少一个负实数根.
故选C.4．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）≈－0.984
f（1.375）≈－0.260
f（1.4375）≈0.162
f（1.40625）≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解（精确度0.04）为（）
A．1.5B．1.25
C．1.375D．1.4375
解析：
选D 由参考数据知，f（1.40625）≈－0.054，
f（1.4375）≈0.162，
即f（1.40625）·f（1.4375）<0，
且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，
所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.
5．已知曲线y＝
x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是（）
A.
B.
C.
D．（1,2）
解析：
选A 设f（x）＝
x－x，
则f（0）＝1>0，
f
＝
－
＝
－
<0，
f
（1）＝
－1<0，f
（2）＝
2－2<0，
显然有f（0）·f
<0.
6．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984
f（1.375）＝－0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）可以是（）
A．1.25B．1.375
C．1.42D．1.5
【解析】 由表格可得，函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的零点在（1.4375,1.40625）之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）可以是1.42.故选C.
【答案】 C
7．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是（）
①y＝3x2－2x＋5；②y＝
③y＝
＋1；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝
x2＋4x＋8.
A．①②③B．⑤
C．①⑤D．①④
【解析】 ⑤中y＝
x2＋4x＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.
【答案】 B
8．在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是（）
A．[1,4]B．[－2,1]
C.
D.
【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为
，
，
，
.
【答案】 D
二、填空题
9．某方程有一无理根在区间D＝（1,3）内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
解析：
由
<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5.
答案：
5
10．解：
设g（x）=x3-3x2+5，h（x）=a（x+1），
则g′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
∴当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，g（x）取得极小值g
（2）=1，
作出g（x）与h（x）的函数图象如图：
显然当a≤0时，g（x）＞h（x）在（0，+∞）上恒成立，
即f（x）=g（x）-h（x）＜0无正整数解；
要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，显然x0=2．
∴
，即
，
解得：
＜a≤
；
故答案为：
（
，
]．
设g（x）=x3-3x2+5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．
本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题；属于中档题．
11．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解（精确到0.1）”时，设f（x）＝lgx＋x－2，算得f
（1）<0，f
（2）>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：
方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是_____________________________________________．
解析：
第一次用二分法计算得区间（1.5,2），第二次得区间（1.75,2），第三次得区间（1.75,1.875），第四次得区间（1.75,1.8125）．
答案：
1.5,1.75,1.875,1.8125
12．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2,4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
【解析】 设函数f（x）＝x3－2x－5.∵f
（2）＝－1＜0，f（3）＝16＞0，f（4）＝51＞0，∴下一个有根区间是（2,3）．
【答案】（2,3）
三、解答题
13．证明方程6－3x＝2x在区间（1,2）内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确度为0.1）．
解：
设函数f（x）＝2x＋3x－6.
∵f
（1）＝－1<0，f
（2）＝4>0，
又∵f（x）是R上的增函数，所以函数f（x）＝2x＋3x－6在区间（1,2）内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间（1,2）内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，
f（1.5）≈1.33>0，f
（1）·f（1.5）<0，
∴x0∈[1,1.5]．
取x2＝1.25，f（1.25）≈0.128>0，
f
（1）·f（1.25）<0，∴x0∈[1,1.25]．
取x3＝1.125，f（1.125）≈－0.44<0.
f（1.125）·f（1.25）<0.
∴x0∈[1.125,1.25]．
取x4＝1.1875，f（1.1875）≈－0.16<0，
f（1.1875）·f（1.25）<0，
∴x0∈[1.1875,1.25]．
∵1.25－1.1875＝0.0625<0.1，
∴可取x0＝1.2，
∴满足要求的方程的实数解为1.2.
14．判断函数f（x）＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值（精确度0.1）．
解：
f（0）＝－1<0，f
（1）＝1>0，即f（0）·f
（1）<0，f（x）在（0,1）内有零点，
又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
∴f（x）只有一个零点x0∈（0,1）．
取区间（0,1）的中点x1＝0.5，f（0.5）＝－0.75<0，
∴f（0.5）·f
（1）<0，即x0∈（0.5,1）．
取区间（0.5,1）的中点x2＝0.75，
f（0.75）＝－0.15625<0，
∴f（0.75）·f
（1）<0，即x0∈（0.75,1）．
取区间（0.75,1）的中点x3＝0.875，
f（0.875）≈0.34>0.
∴f（0.75）·f（0.875）<0，即x0∈（0.75,0.875）．
取区间（0.75,0.875）的中点x4＝0.8125，
f（0.8125）≈0.073>0.
∴f（0.75）·f（0.8125）<0，即x0∈（0.75,0.8125），
而|0.8125－0.75|<0.1.
所以，f（x）的零点的近似值可取为0.75.
15．解：
（1）f′（x）=ex+（x-1）ex-ax=x （ex-a）．
（i）设a≤0，则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（ii）设a＞0，由f′（x）=0得x=0或x=ln a．
若a=1，则f′（x）=x （ex-1）≥0，
所以f（x）在（-∞，+∞）单调递增．
若0＜a＜1，则ln a＜0，故当x∈（-∞，ln a）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（ln a，0）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，ln a），（0，+∞）单调递增，在（ln a，0）单调递减．
③若a＞1，则ln a＞0，故当x∈（-∞，0）∪（ln a，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（0，ln a）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，0），（ln a，+∞）单调递增，在（0，ln a）单调递减．
综上所述，当a≤0时f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
当0＜a＜1时f（x）在（-∞，ln a），（0，+∞）单调递增，在（ln a，0）单调递减；
当a=1时f（x）在（-∞，+∞）单调递增；
当a＞1时f（x）在（-∞，0），（ln a，+∞）单调递增，在（0，ln a）单调递减．
（2）（i）设a≤0，则由
（1）知，f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又f（0）=-1，f
（1）=-
a，取b满足b＜-3且b=ln（-a），
则f（b）＞-a （b-1）-
a b2=-
a（b2+2b-2）＞0．
所以f（x）有两个零点．
（ii）设a=1，则f（x）=x （ex-1），所以f（x）只有一个零点．
（iii）设0＜a＜1，则由
（1）知，f（x）在（-∞，ln a），（0，+∞）单调递增，
在（ln a，0）单调递减，f（0）=-1，
当b=lna时，f（x）有极大值f（b）=a （b-1）-
a b2=-
a（b2-2b+2）＜0，
故f（x）不存在两个零点；
当a＞1时，则由
（1）知，f（x）在（-∞，0），（ln a，+∞）单调递增，
在（0，ln a）单调递减，
当x=0时，f（x）有极大值f（0）=-1＜0，故f（x）不存在两个零点．
综上，a的取值范围为a≤0．
16．已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）>0，f
（1）>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0,1]内有两个实根．
【证明】 ∵f
（1）>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3（a＋b＋c）－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f（0）>0，∴c>0，则a>0.
在区间[0,1]内选取二等分点
，
则f
＝
a＋b＋c＝
a＋（－a）＝－
a<0.
∵f（0）>0，f
（1）>0，
∴函数f（x）在区间
和
上各有一个零点．
又f（x）最多有两个零点，从而f（x）＝0在[0,1]内有两个实根．
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