高考文科数学真题答案全国卷17817.docx

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高考文科数学真题答案全国卷17817

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2015年高考文科数学试卷全国卷1（解析版）

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：

由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.

考点：

集合运算

2．A

【解析】

试题分析：

∵ABOBOA=（3,1），∴BCACAB=（-7,-4），故选A.

考点：

向量运算

3．C

【解析】

试题分析：

∴（z1）i1i，∴z=

考点：

复数运算

12i（12i）（i）

2

ii

2i

，故选C.

4．C

【解析】

试题分析：

从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股

数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为

考点：

古典概型

1

10

，故选C.

5．B

【解析】

试题分析：

∵抛物线

2

C:

y8x的焦点为（2,0），准线方程为x2，∴椭圆E的右焦点

为（2,0），

∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为

22

xy

221（0）

ab

ab

，c=2，

∵

e

c

a

1

2

，∴a4，∴

22212

bac，∴椭圆E方程为

22

xy

1612

1

，

将x2代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.

考点：

抛物线性质；椭圆标准方程与性质

6．B

【解析】

试题分析：

设圆锥底面半径为r，则

1

4

23r8，所以

16

r，所以米堆的体积为

3

答案第1页，总10页

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1116

2

3（）5

433

=

320

9

，故堆放的米约为320

9

÷1.62≈22，故选B.

考点：

圆锥的性质与圆锥的体积公式

7．B

【解析】

试题分析：

∵公差d1，

11

S84S4，∴8a1874（4a143），解得

22

a=

1

1

2

，

∴

119

aa9d9，故选B.

101

22

考点：

等差数列通项公式及前n项和公式

8．D

【解析】

试题分析：

由五点作图知，

1

+

42

53

+

42

，解得=，=

4

，所以f（x）cos（x），

4

令2kx2k,kZ，解得

4

1

2k＜x＜

4

3

2k，kZ，故单调减区间为

4

（

1

2k，

4

3

2k），kZ，故选D.

4

考点：

三角函数图像与性质

9．C

【解析】

试题分析：

执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=

＞t=0.01,是，循环，

1

2

=0.5,S=S-m=0.5,

m

m=0.25,n=1,S=0.5

2

执行第2次，S=S-m=0.25,

m

m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

2

执行第3次，S=S-m=0.125,

m

m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

2

执行第4次，S=S-m=0.0625,

m

m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

2

执行第5次，S=S-m=0.03125,

m

m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

2

执行第6次，S=S-m=0.015625,

m

m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

2

执行第7次，S=S-m=0.0078125,

n=7，故选C.

m

m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出

2

考点：

程序框图

10．A

【解析】

试题分析：

∵f（a）3，∴当a1时，

a1a1

f（a）223，则21

，此等式显然

答案第2页，总10页

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不成立，

当a1时，

log（a1）3，解得a7，

2

∴f（6a）f

（1）=

117

22

4

，故选A.

考点：

分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质

11．B

【解析】

试题分析：

由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的

半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

1

2

22

4rr2rr2r2r=

22

5r4r=16

+20，解得r=2，故选B.

考点：

简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式

12．C

【解析】

试题分析：

设（x,y）是函数yf（x）的图像上任意一点，它关于直线yx对称为

xaya

（y,x），由已知知（y,x）在函数y2的图像上，∴x2，解得

ylog（x）a，即f（x）log2（x）a，∴

2

f

（2）f（4）log2alog4a1，解得a2，故选C.

22

考点：

函数对称；对数的定义与运算

13．6

【解析】

试题分析：

∵

a12,an12an，∴数列an是首项为2，公比为2的等比数列，

∴

n

2（12）

n

S126，∴264

n

12

，∴n=6.

考点：

等比数列定义与前n项和公式

14．1

【解析】

试题分析：

∵

2

f（x）3ax1，∴f

（1）3a1，即切线斜率k3a1，

又∵f

（1）a2，∴切点为（1，a2），∵切线过（2,7），∴

1.

a

27

12

31

a，解得a

考点：

利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；

15．4

【解析】

试题分析：

作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：

3xy0，平移直线l0，当直

答案第3页，总10页

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线l:

z=3x+y过点A时，z取最大值，由

xy2=0

x2y1=0

解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为

2.

考点：

简单线性规划解法

16．126

【解析】

试题分析：

设双曲线的左焦点为

F，由双曲线定义知，|PF|2a|PF1|，

1

∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+

2a|PF|+|AF|=|PA|+

1

|PF|+|AF|+2a，

1

由于2a|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+

|PF|最小，即P、A、F1共线，

1

xy

∵A0,66，F1（－3,0），∴直线AF1的方程为1

366

y

，即3

x代入

26

2

y

21

x整理得

8

266960

yy，解得y26或y86（舍），所以P点的纵

坐标为26，

∴

SSS=

APFAFFPFF

11

11

666626

22

=126.

考点：

双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题

17．（Ⅰ）

【解析】

1

4

（Ⅱ）1

试题分析：

（Ⅰ）先由正弦定理将

2

sinB2sinAsinC化为变得关系，结合条件ab，用

其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知

22

b=ac，根据勾股定理和即可求出c，从而求出ABC的面积.

答案第4页，总10页

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试题解析：

（Ⅰ）由题设及正弦定理可得

22

b=ac.

又a=b，可得b=2c,a=2c,

由余弦定理可得

cosB

2221

a+c-b

==.

2ac4

（Ⅱ）由

（1）知

22

b=ac.

因为B=90°，由勾股定理得

222

a+c=b.

故

222

a+c=ac，得c=a=2.

所以DABC的面积为1.

考点：

正弦定理；余弦定理；运算求解能力

18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3+25

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC^BD，由BE^平面ABCD知AC^BE，由线面垂

直判定定理知AC^平面BED，由面面垂直的判定定理知平面AEC平面BED；（Ⅱ）设

AB=x，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在RtDAEC中，用x表示EG，

在RtDEBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥EACD的体积为6

3

求出x，即可求出三

棱锥EACD的侧面积.

试题解析：

（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC^BD，

因为BE^平面ABCD，所以AC^BE，故AC^平面BED.

又ACì平面AEC，所以平面AEC^平面BED

3

（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由DABC=120°，可得AG=GC=

2

x

x,GB=GD=

2

.

因为AE^EC，所以在RtDAEC中，可得EG=3

2

x.

由BE^平面ABCD，知DEBG为直角三角形，可得BE=2

2

x.

由已知得，三棱锥E-ACD的体积

1166

3

V-=醋ACGD?

BEx=.故x=2

EACD

32243

从而可得AE=EC=ED=6.

所以DEAC的面积为3，DEAD的面积与DECD的面积均为5.

故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

答案第5页，总10页

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考点：

线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理

能力；运算求解能力

19．（Ⅰ）ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（Ⅱ）

y100.668x（Ⅲ）46.24

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令wx，

先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y关于x

的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年

利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利

用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.

试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适合作为年销售y关于年宣传费用x的

回归方程类型.

8

（ww）（yy）

ii

（Ⅱ）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，由于

i1

d=

8

2

（ww）

i

i1

3.

16

=68

，

∴cydw=563-68×6.8=100.6.

∴y关于w的线性回归方程为y100.668w，

∴y关于x的回归方程为y100.668x.

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值

y100.66849=576.6，

z576.60.24966.32.

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

z0.2（100.668x）xx13.6x20.12，

13.6

2

∴当x=

=6.8

，即x46.24时，z取得最大值.

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.⋯⋯12分

考点：

非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识

20．（Ⅰ）

骣-+

4747

琪

琪

33

桫

（Ⅱ）2

答案第6页，总10页

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【解析】

试题分析：

（Ⅰ）设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式，

即可求出k的取值范围；（Ⅱ）设

M（x,y）,N（x,y），将直线l方程代入圆的方程化为关

1122

于x的一元二次方程，利用韦达定理将

x1x2,y1y2用k表示出来，利用平面向量数量积的坐

标公式及OMON12列出关于k方程，解出k，即可求出|MN|.

试题解析：

（Ⅰ）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1.

因为l与C交于两点，所以

|2k-3+1|

1+

2

k

<1.

解得

4-74+7

33

骣-+

所以k的取值范围是47,47

琪

琪

33

桫

.

（Ⅱ）设

M（x,y）,N（x,y）.

1122

22

将y=kx+1代入方程（）（）

x-2+y-3=1,整理得

22

（1+k）x-4（k+1）x+7=0,

4（k+1）7所以1221221+k1+k

x+x=,xx=.

4k（1+k）

2

OM?

ONxx+yy=1+kxx+kx+x+1=+8

121212122

1+k

由题设可得

4k（1+k）

1+

2

k

+8=12

，解得k=1，所以l的方程为y=x+1.

故圆心在直线l上，所以|MN|=2.

考点：

直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力

21．（Ⅰ）当a￡0时，f￠（x）没有零点；当a>0时，f￠（x）存在唯一零点.（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先求出导函数，分a￡0与a>0考虑fx的单调性及性质，即可判断出

零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设f￠（x）在（0，+￥）的唯一零点为

x，根据fx的正负，即

0

可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于

明了所证不等式.

2

2a+aln，即证

a

2

xa

试题解析：

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+￥），（）

f（x）=2ex0x

￠->.

答案第7页，总10页

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当a￡0时,f￠（x）>0，f￠（x）没有零点；

当a>0时，因为

2x

e单调递增，

a

-单调递增，所以f￠（x）在（0，+￥）单调递增.又f￠（a）>0,

x

当b满足0

a

4

1

b<时，f￠（b）<0,故当a>0时，f￠（x）存在唯一零点.

4

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设f￠（x）在（0，+￥）的唯一零点为

x，当x?

（0，x）时，f￠（x）<0;

00

当（）

x违x0，+时，f￠（x）>0.

故f（x）在（0，x）单调递减，在（）

x0，+￥单调递增，所以当x=x0时，f（x）取得最小值，0

最小值为

f（x）.

0

2

xaa22

由于0

2e-=0，所以f（x0）=+2ax0+aln?

2aaln.

x2xaa

00

故当a>0时，

2

f（x）?

2aaln.

a

考点：

常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导

数证明不等式；运算求解能力.

22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性

质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=9°0，即∠OED=9°0，所以DE是圆O

的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理得

2

BE12x，

由直角三角形射影定理可得

2

AECEBE，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB

的大小.

试题解析：

（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，

在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连结OE，∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=9°0，

∴∠OED=9°0，∴DE是圆O的切线.

（Ⅱ）设CE=1，AE=x,由已知得AB=23，

2

BE12x，

由射影定理可得，

2

AECEBE，

∴

2122

xx，解得x=3，∴∠ACB=60°.

答案第8页，总10页

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考点:

圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理

23．（Ⅰ）cos2,

【解析】

22cos4sin40（Ⅱ）

1

2

试题分析：

（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得

C，C2的极坐标方程；（Ⅱ）

1

将将=

4

代入

22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可

求出

CMN的面积.

2

试题解析：

（Ⅰ）因为xcos,ysin，

∴

C的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为

1

22cos4sin40.⋯⋯5分

23240

2

2cos4sin40，得

（Ⅱ）将=

，解得

代入

4

1=22，

2=2，|MN|=1－2=2，

因为

C的半径为1，则C2MN的面积

2

1

2

o

21sin45

=

1

2

.

考点:

直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

24．（Ⅰ）

【解析】

2

{x|x2}（Ⅱ）（2，+∞）

3

试题分析：

（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f（x）>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将

fx化为分段函数，求出f（x）与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根

（）

据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

等价于

x

1

x12x21

或

1x1

或

x12x21

x1

，解得

x12x21

2

3

x2，

答案