有限元计算原理与方法Word下载.docx

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在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方，应适当将单元划分得密集些；

若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：

若有面约束，则应

把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；

若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。

最后，还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。

由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料

的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

因此，用有限元法计算获得的结果

只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高。

与位移不同，应力

和应变是在Gauss积分点（或应力点）而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通

过对桩截面进行积分褥到。

1.1.2.单元位移插值函数的选取

在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移

作为未知量，即{}e[ui,vi,wi,...]T，单元体内任一点的位移为{f}[u,v,w]T。

引入位移函数N（x,y,z）表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用

场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。

因此在单元内建立的位移模

式为：

{f}[N]{}e（3-1）

其中：

[N][IN1,IN2,IN3IN15]，I为单位矩阵。

按等参元的特性，局部坐标（,,）到整体坐标（x,y,z）的坐标转换也采用

与位移插值类似的表达式。

经过坐标变化后子单元与母单元（局部坐标下的规则

单元）之间建立一种映射关系。

不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的

位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。

因此，对于15节点楔

形体单元体内各点位移在整体坐标系（x,y,z）下一般取：

15

uNi（,,）ui

i1

32）

vNi（,,）vi

wNi（,,）wi

上式中的（ui,vi,wi）为整体坐标系下节点i处的位移值，Ni（,,）为在局部

坐标系下节点相应的形函数。

1.1.3.单元特性分析

利用几何方程、本构方程、虚功原理或位能变分方程求解单元节点力与节点位移关系的表达式，即单元刚度矩阵。

根据几何方程可建立单元内的应变矩阵{}{

,,,,}：

x,y,z,xy,yz,zx

{}[B]{}e

3-3）

其中[B][B1,B2B.15]，

[Bi]

Ni/x00

Ni/y

Ni/z

Ni/xNi/z0

Ni/x

（34）

对于小变形线性弹性问题，根据物理方程建立单元内的应力矩阵：

{}[D]{}[D][B]{}e

3-5）

其中,[B]为几何矩阵，[D]为弹性矩阵，[S]为应力矩阵，

[S][D][B]。

根据虚功原理求出单元中的节点力{F}e：

{F}e[k]{}e

3-6）

其中[k]为单元的劲度矩阵，[k][B]T[D][B]dxdxdz

e

对于整体结构上的任一点i，建立平衡方程：

（37）

{Fi}{Ri}

{Ri}为i节点上的外荷。

上式表示{Ri}

与围绕i点的各单元在i点上的节

点力之和相平衡。

1.1.4.总体特性分析

对每一个位移未知的节点，都可写出3-7式的方程，利用结构力的平

衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成分析对象

的整体有限元平衡方程组：

[K]{}{R}（3-8）

其中，[k]为整体劲度矩阵，Kijkij；

{}为整个结构的节点位移矩

阵，{R}为整个结构的节点荷载矩阵，是已知的。

由式（3-8）求出节点位

移{,}由式（3-3）、式（3-5）求出各单元的应变和应力。

1.2.非线性有限元分析

非线性现象是在实际的结构分析中经常遇到的问题。

与线性分析相

比，非线性分析中荷载与位移之间的关系已不是直线关系，而是曲线关系。

土体的非线性分析一般来说采用非线性的分析方法，选用适当的土体本构

系，进行有限元计算。

非线性问题一般有材料非线性和几何非线性两种。

几何非线性即存在大变形，其变化的几何形状可能引起结构的非线性

响应，即应变与位移的关系不里线性，应变不仅包括位移对坐标的一阶导

数，还要包括高阶导数。

在进行小应变或者小变形分析时，假定位移和变

形总是足够小（这种假定取决于特定分析要求中的精度等级）可以忽略结

构变形对系统刚度的影响，即基于最初几何形状的结构刚度的一次迭代足

以计算出分析结果。

随着变形位移增长，一个有限单元的已移动的坐标可

以多种方式改变结构的刚度，进行多次迭代来获得一个有效的解，这就是

几何非线性。

除了结构大变形引起剐度变化以外。

许多与材料有关的参数同样可以

改变结构刚度。

材料的非线性即是材料的应力—应交关系是非线性的。

主

要有弹性非线性模型和弹塑性模型两大类。

弹性非线性理论是以弹性理论

为基础，在微小的荷载增量范围内，把土看作弹性材料，从一个荷载增量

变化到另一个荷载增量，土体的弹性常数发生变化，以考虑非线性；

弹塑

性模型理论认为土体的变形包括弹性和塑性变形两部分，把弹性理论和塑

性理论结合起来建立的本构模型。

土体中的弹塑性本构关系都是用增量形

式表示的，因此，计算方法也宜用增量法。

某级荷载增量[R]作用下，

各单元的应力状态不同。

有些可能处于弹性区，则刚度矩阵要用弹性矩阵

[D]，有些可能产生塑性屈服，则须运用屈服准则、硬化规律和流动法则

建立的弹塑性刚度矩阵[Dep]来代替[D]。

反映到式（3-5），其中的矩阵

[D]不是常量其随应力或应变改变，由此推导的劲度矩阵[K]也随应力或

变形而变。

对于相适应流动法则gf，则：

ffT

[D]{f}{f}T[D]

[Dep][D]（38）

A{f}T[D]{f}

式中A为塑性硬化模量,是硬化参数函数。

因此,不管是材料非线性还是几

何非线性,推出的劲度矩阵将随位移而变。

因此，不管是材料非线性还是几何非线性，推出的劲度矩阵将随位移而变。

[K（）]{}{R}（3-10）

这是位移的非线性方程组。

直接解这样的方程组是困难的，因此简化

为一系列的线性问题的解逐步逼近非线性问题的解，非线性问题可以理解

为一些线性解进行迭代的结果。

1.3.有限单元法解比奥固结方程

对于土工问题有限元分析可以采用有效应力法、总应力法和准有效应

力法三种。

有效应力法严格区分土体中的有效应力与孔隙水压力。

将土体

骨架变形与孔隙水的渗透同步考虑，因而比总应力法更真实反映土体自身

特性，能更合理计算土体对荷载的响应。

有效应力法有两个未知量，即土

体骨架的变形和孔隙水压力。

对于非饱和土还需要增加一个孔隙气压力这

个变量。

有效应力法基本上以Biot动力固结方程为基础，其计算较为复

杂，计算工作量也较大。

土体的总应力有限元法实际上与其他结构有限元分析在计算原理上

没有大的区别，主要在材料的本构模型的选择上不同，其实质认为土体是

一种由土颗粒和孔隙水组成之间的相互关系，将之合成一个整体，共同一

个整体，共同研究其整体的应力与变形状态。

总应力法不能反映土体固结作用。

在有效应力分析中，如果采用与总应力法同样的土性参数并令孔隙水压力为0，则有效应力等于总应力，相应的有效应力法转变为总应力法。

因此，总应力法是有效应力法的一个特例。

在土体材料采用不捧水指标时，

总应力法计算出来的是加荷瞬间或短期应力和变形，而采用排水指标进行

的总应力分析则得到的是有效应力分析的最终结果，也就是孔压消散完

毕，土体固结完成时的应力和交形结果。

在土工问题分析中有时还用总应

力和太沙基固结理论相结合的方法来进行有效应力分析（简称准有效应力

法），该法是先用总应力法求得应力和变形，然后根据太沙基固结理论考

虑孔压的消散以及有效应力和变形随时间的变化。

这种分析法对于二维和

三维渗流而已是近似的，对于只有一个方向渗水的固结问题是精确的。

在Plaxis3DFoundation程序中，进行最终沉降分析时是材料类型

为排水指标的总应力法分析，而进行固结有限元沉降分析时采用的是以

Biot固结理论为基础的有效应力法．采用有效应力法可以较为全面地得到

桩土的应力、变形和孔压变化的情况。

1.3.1.比奥固结理论

太沙基固结理论只在一维情况下是精确的，对二维、三维问题并不精

确。

太沙基一伦杜立克理论（扩散方程）将应力应变关系视为常量（E=常数）

的同时，假设三个主应力（总应力）之和不变，不满足变形协调条件。

比奥理论从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙水压力消散

与土骨架变形相互关系的三维固结方程。

该理论将水流连续条件与弹性理论结合求解了土体受力后的应力、应变、孔隙水压力的生成和消散过程，

两理论均假设土骨架是线弹性体，变形为小变形，土颗粒与孔隙水均

不可压缩，孔隙水渗流服从达西定律。

在土工数值计算中，可使用非线性

弹塑性模型代替线弹性模型与比奥固结理论耦合求解。

比奥固结理论是严格按照弹性理论，使饱和粘土在固结过程中必须满

足应力平衡方程、几何方程及虎克定律，因此对于三维固结问题可导出如

下三个平衡方程：

G2wy

G2wx

wywzu

）0

yzx

wxwywzu

3-11）

（）0

xyzy

G2wzG（wxwywz）u

12vzxyzz

根据饱和土的连续性在一个元素体中，在一定的时间内单元土体积的

压缩量等于流进和流出该单元体的流量变化之和，并引进达西定律，从而

推导如下连续方程：

v1wxwywzk2

v（xz）u（3-12）

ttxyzw

式（3一11）和式（3一12）联立就是比奥固结方程。

式中wx、wy、wz—分别为在x,y和z三个轴向的位移；

u—孔隙水压力；

G—剪切模量；

—泊松比；

—土的重度；

v—体应变；

k—渗透系数，假设土的各向渗透性相同；

w—水的容重；

2—拉普拉斯算子，

22

22xy

w、w、wz和u四个未知函数·

在一定的边

xy

界条件和初始条件下，可以解出任何时间及任何一点的wx、wy、wz和

u。

但问题远不这么简单，就是二维问题也很难求得该未知函数的解析

解。

因此，该理论虽早在1941年就提出来了，但未得到推广使用，直到

近年来由于电子计算机的出现，才有人开始用有限元法，把上述理论运用

于解决固结问题。

1.3.2.比奥固结有限元方程

根据有效应力原理，总应力为有效应力和孔隙水压力之和，且孔隙水

不承受剪应力。

{}{}{u}（3-13）

{u}[N]{}e（3-14）

{}[D]{}[D][B]{}e（3-15）

{u}为节点孔隙水压力,[N][N1,N2,N15]，{}e为单元

的节点超静水压力。

由虚位移原理可推导得出单元节点力与某一时刻已产生的位移所对

应的骨架应力以及尚未消散的超静水压力两部分相平衡。

{F}e[k]{}e[k]{}e

（3-16）

式中[k]—就是通常单元的劲度矩阵

[k]—单元节点孔隙压力所对应的那部分节点力；

对于所有位移未知的节点建立整体平衡方程,得有限单元法平衡方

程:

[K]{}[K]{}{R}（3-17）

将每个节点周围各单元内

的“领域”连在一起形成以节

点为中心的闭合“全领域”，

对节点i其周围各单元的边界

向外流出的流量总和为0，即图3-2节点i的“全领域”

对于一个单元来说是流出，对于相邻的另一单元便是流进，可对l节点的

“全领域”建立连续性方程：

[K]{}[K]{}0（3-18）

[K]和[K]分别由单元矩阵[k]和[k]中的元素叠加而成。

[k]的元

素为节点位移所对应的“节点领域”的体积改变量：

[k]为节点孔隙压力

差所产生的水力坡降在Δt时间内引起的从“节点领域”边界的排水量。