精选教育学年高中创新设计物理教科版必修2学案第4章 习题课 机械能守恒定律的应用doc.docx

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精选教育学年高中创新设计物理教科版必修2学案第4章习题课机械能守恒定律的应用doc

习题课　机械能守恒定律的应用

　机械能守恒定律的判断

[要点归纳]

机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。

1．利用机械能的定义判断：

判断物体动能和势能的和即机械能是否变化，如匀速上升、匀速下降、沿斜面匀速运动的物体机械能必定不守恒。

2．用做功判断：

看物体或系统是否只有重力（或弹簧的弹力）做功。

3．用能量转化来判断：

看是否存在其他形式的能和机械能相互转化，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。

4．对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。

[精典示例]

[例1]（多选）如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是（　　）

图1

A．斜劈对小球的弹力不做功

B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒

C．斜劈的机械能守恒

D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量

解析　小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误；不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确。

答案　BD

[针对训练1]（多选）如图2所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）

图2

A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒

B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒

C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒

D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒

解析　题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒；题图乙中拉力F做功，机械能不守恒；题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒。

答案　CD

　含弹簧类机械能守恒问题

[精典示例]

[例2]如图3所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（　　）

图3

A．圆环的机械能守恒

B．弹簧弹性势能变化了mgL

C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零

D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变

解析　圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒。

圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒可知，弹簧的弹性势能增加mgL，故选项B正确。

答案　B

利用机械能守恒定律分析问题时，一定要注意守恒条件的应用，灵活选取研究对象。

本题中圆环的机械能不守恒，但圆环与弹簧所组成的系统的机械能守恒。

[针对训练2]如图4所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求：

图4

（1）弹簧的最大弹性势能；

（2）木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能。

解析　

（1）木块压缩弹簧的过程中，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能最大时，对应木块的动能为零，故有：

Epm＝mv＝×4×52J＝50J。

（2）由机械能守恒有mv＝Ep1＋mv

×4×52J＝Ep1＋×4×32J

得Ep1＝32J。

答案　

（1）50J　

（2）32J

　机械能守恒定律和动能定理的应用比较

[要点归纳]

机械能守恒定律和动能定理的比较

　　规律

内容　　　

机械能守恒定律

动能定理

表达式

E1＝E2

ΔEk＝－ΔEp

ΔEA＝－ΔEB

W＝ΔEk

应用范围

只有重力或弹力做功时

无条件限制

研究对象

系统

单个物体

关注角度

守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小

动能的变化及合力做功情况

[精典示例]

[例3]如图5所示，某人以v0＝4m/s的速度斜向上（与水平方向成45°角）抛出一个小球，小球落地时速度为v＝8m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h。

甲、乙两位同学看了本题的参考解法“mgh＝mv2－mv”后争论了起来。

甲说此解法依据的是动能定理，乙说此解法依据的是机械能守恒定律，你对甲、乙两位同学的争论持什么观点，请简单分析，并求出抛出时的高度h。

（g取10m/s2）

图5

解析　甲、乙两位同学的说法均正确。

从抛出到落地，重力做功mgh，动能增加mv2－mv，由动能定理可知mgh＝mv2－mv，所以甲说法对。

从抛出到落地，重力势能减少mgh，动能增加mv2－mv，由机械能守恒定律mgh＝mv2－mv，乙说法也对。

抛出时的高度h＝＝m＝2.4m。

答案　见解析

对单个物体（包括地球为系统）只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程。

[针对训练3]为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：

取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。

其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图6所示。

一个质量m＝1kg的小物块以初速度v0＝5.0m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0m/s。

取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。

图6

（1）求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；

（2）求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；

（3）为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？

解析　

（1）设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为N，根据牛顿第二定律有，

N－mg＝m

解得N＝90N

根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90N。

（2）由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程。

物块从A到C的过程中，根据动能定理有：

mgLsin37°＋Wf＝mv－mv

解得Wf＝－16.5J。

（3）设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有：

N＋mg＝m，则v≥

小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：

mv＝mv2＋2mgR

联立得R≤

解得R≤0.32m

答案　

（1）90N　

（2）－16.5J　（3）R≤0.32m

1．（机械能守恒的判断）下列运动的物体，机械能守恒的是（　　）

A．物体沿斜面匀速下滑

B．物体从高处以0.9g的加速度竖直下落

C．物体沿光滑曲面滑下

D．拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升

解析　物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小。

物体以0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，合力在物体下落时对物体做负功，物体机械能不守恒。

物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒。

拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体机械能不守恒。

综上，机械能守恒的是C项。

答案　C

2．（含弹簧类机械能守恒问题）如图7所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。

当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为（g取10m/s2）（　　）

图7

A．10JB．15J

C．20JD．25J

解析　由2gh＝v－0得：

vy＝，即vy＝m/s，落地时，tan60°＝可得：

v0＝＝m/s，由机械能守恒定律得Ep＝mv，可求得：

Ep＝10J，故A正确。

答案　A

3．（机械能守恒与动能定理的综合应用）滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。

如图8所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7m的水平轨道。

一运动员从AB轨道上的P点以6m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。

已知运动员与滑板的总质量为50kg，h＝1.4m，H＝1.8m，不计圆弧轨道上的摩擦（g＝10m/s2）。

求：

图8

（1）运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？

（2）运动员与BC轨道的动摩擦因数。

解析　

（1）以水平轨道为零势能面，从P点到B点，根据机械能守恒定律有

mv＋mgh＝mv

解得vB＝8m/s。

从C点到Q点，根据机械能守恒定律有

mv＝mgH

解得vC＝6m/s。

（2）从B到C由动能定理，

－μmglBC＝mv－mv

解得μ＝0.2。

答案　

（1）8m/s　6m/s　

（2）0.2

基础过关

1．关于机械能守恒，下列说法中正确的是（　　）

A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒

B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒

C．物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒

D．物体沿竖直方向向下做加速度为5m/s2的匀加速运动，其机械能减少

解析　物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变化，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或减少，选项A错误；物体仅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代数和为零时，物体的机械能守恒，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5m/s2的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，故选项D正确。

答案　D

2．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动。

在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（　　）

解析　依据机械能守恒条件：

只有重力或弹力做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件，故答案为C。

答案　C

3．（多选）如图1所示，小滑块从一个固定的光滑斜槽轨道顶端由静止开始下滑，用v、t和h分别表示小滑块沿轨道下滑的速率、时间和距轨道顶端的高度。

如图所示的v－t图像和v2－h图像中可能正确的是（　　）

图1

解析　小滑块下滑过程中，小滑块的重力沿斜槽轨道切向的分力逐渐变小，故小滑块的加速度逐渐变小；故A错误，B正确；由机械能守恒得：

mgh＝mv2，故v2＝2gh，所以v2与h成正比，C错误，D正确。

答案　BD

4．如图2所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。

若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为（　　）

图2

A．B．

C．D．

解析　根据系统机械能守恒得，对A下降h的过程有mgh＝Ep，对B下降h的过程有3mgh＝Ep＋×3mv2，解得v＝，只有选项A正确。

答案　A

5．韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。

他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900J，他克服阻力做功100J。

韩晓鹏在此过程中（　　）

A．动能增加了1900JB．动能增加了2000J

C．重力势能减小了1900JD．重力势能减小了2000J

解析　由动能定理得W合＝1900J－100J＝1800J，动能增加了1800J，故A、B错；重力势能的变化量等于重力做功等于1900J，C正确，D错误。

答案　C

6．如图3所示，质量为m＝2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平原长位置A处由静止释放，小球到达距O点下方h＝0.5m处的B点时速度为2m/s。

求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功（g取10m/s2）。

图3

解析　对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mgh＝mv2＋E弹，E弹＝mgh－mv2＝6J，W弹＝－6J。

即弹簧弹力对小球做功为－6J。

答案　－6J

能力提升

7．（多选）如图4所示，一个小环套在竖直放置的光滑圆形轨道上做圆周运动。

小环从最高点A滑到最低点B的过程中，其线速度大小的平方v2随下落高度h变化的图像可能是四个所示图中的（　　）

图4

解析　设小环在A点的速度为v0，以A点为零势能点由机械能守恒定律得－mgh＋mv2＝mv得v2＝v＋2gh，可见v2与h是线性关系，若v0＝0，B正确；若v0≠0，A正确。

答案　AB

8．小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，

图5

P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。

将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图5所示。

将两球由静止释放。

在各自轨迹的最低点（　　）

A．P球的速度一定大于Q球的速度

B．P球的动能一定小于Q球的动能

C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力

D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度

解析　小球由静止释放，由机械能守恒定律，可知mgl＝mv2，即v＝。

因mP＞mQ，lP＜lQ，vP＜vQ，动能大小无法判断，A、B错误；在最低点时满足FT－mg＝，将v＝代入可得FT＝3mg，mP＞mQ，故FTP＞FTQ，C正确；向心加速度an＝＝2g，与m及l无关，故anP＝anQ，D错误。

答案　C

9．物块A的质量为m＝2kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑。

坡道顶端距水平面高度为h＝1m，倾角为θ＝37°。

物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在水平滑道M处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图6所示。

物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：

图6

（1）物块滑到O点时的速度大小；

（2）弹簧为最大压缩量时的弹性势能；

（3）物块A被弹回到坡道后上升的最大高度。

解析　

（1）由动能定理得mgh－μmgcosθ＝mv2

解得v＝，代入数据得v＝2m/s

（2）在水平滑道上，由机械能守恒定律得mv2＝Ep

代入数据得Ep＝4J

（3）设物块A能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得－mgh1－μmgcosθ·＝0－mv2

代入数据解得h1＝m。

答案　

（1）2m/s　

（2）4J　（3）m

10．如图7所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。

其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20m、h2＝0.10m，BC水平距离L＝1.00m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。

（已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比）

图7

（1）当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；

（2）求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；

（3）当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？

请通过计算说明理由。

解析　

（1）由机械能守恒定律可得

E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝0.05×10×0.2J＝0.1J

由ΔEk＝mv可得v0＝2m/s

（2）由E弹∝d2可得ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1

由动能定律可得

－mg（h1＋h2）－μmgL＝－ΔEk′

μ＝＝0.5

（3）恰能通过圆环最高点必须满足的条件是mg＝

由机械能守恒定律有v＝v0＝2m/s

得Rm＝0.4m

当R≤0.4m时，滑块能上升到B点；

当R＞Rm＝0.4m时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到B点。

答案　

（1）0.1J　2m/s　

（2）0.5

（3）不一定，原因见解析

11．如图8所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。

AB弧的半径为R，BC弧的半径为。

一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

图8

（1）求小球在B、A两点的动能之比；

（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

解析　

（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒，得EkA＝mg，①

设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg，②

由①②式，得＝5。

③

（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0，④

设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式，有N＋mg＝m⑤

由④⑤式，得vC应满足mg≤，⑥

由机械能守恒，有mg·＝mv，⑦

由⑥⑦式，可知小球恰好可以沿轨道运动到C点。

答案　

（1）5∶1　

（2）恰能到C点，理由见解析