数据模型-斯普林菲尔德如何分配学生-word版.doc
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目录
1概述 2
研究的背景 2
2模型的建立 3
2.1基础数据的建立 3
2.2变量的设定 5
2.3目标函数的建立 6
案例中a题的约束条件 6
案例中c题的约束条件 8
3模型的求解及解的分析 9
3.1模型的求解 9
1概述
研究的背景
斯普林菲尔德（Springfield）学校董事会打算在年底关闭它的一所中学（包括6,7,8年级）,并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。
学校为离校距离超过1英里的所有学生提供上下课的接送服务，因此，为了节省公交费用，学校将对学生进行分配。
从该城市的六个居住区到各所学校，每个学生的一年的公交费用如下表所示（表中还给出了下一年的其他一些基本数据）。
其中，0表示不需要公交服务，而“－”表示这种分配不可能。
地区
学生数量
6年级比例
7年级比例
8年级比例
每学生的校车成本（美元）
学校1
学校2
学校3
1
450
32
38
30
300
0
700
2
600
37
28
35
－
400
500
3
550
30
32
38
600
300
200
4
350
28
40
32
200
500
－
5
500
39
34
27
0
－
400
6
450
34
28
38
500
300
0
学校容量
900
1100
1000
学校的董事会规定每个学校里，每一年级的学生人数必须在总人数的30％－36％之间，上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。
可以划出学生上学的地区界限，以便于在多所学校之间分配学生。
但是，不管如何分配，上表所要求的每所学校的各年级的比例必须得到满足。
假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。
2模型的建立
2.1基础数据的建立
<1>目标函数系数的确定
通过观察分析，我们可以知道：
目标函数=各个居住区分配到某个学校的人数*该居住区到这个学校的学生公交费用
经过调查分析，总结出各个居住区到学校的公交花费，我们统计了一个学生每年从家里到学校所要花费的公交费用，为了更加清晰明了，我们以表格的形式进行整理：
1.3.1——各个居住区的学生到不同学校的每年公交的费用
地区
每位学生每年的公交成本
学校1
学校2
学校3
1
300
0
700
2
—
400
500
3
600
300
200
4
200
500
—
5
0
—
400
6
500
300
0
注：
“—”表示费用无穷大，不分配学生。
<2>居住区学生总人数以及各个年级学生的数量
根据学校的调查结果，发现一共有6个居住区，每个居住区的学生数量、各个年级学生在这个居住区中所占的比例，都进行了统计，由于数字比较多，为了更加清晰的表达出来，我们进行了一系列的整理与分析，通过一定的计算，因而得到如下表格
1.3.2——A各个居住区学生总数量与各个年级的学生比例
地区
学生数量
6年级
比例%
7年级
比例%
8年级
比例%
1
450
32
38
30
2
600
37
28
35
3
550
30
32
38
4
350
28
40
32
5
500
39
34
27
6
450
34
28
38
总计
2900
1.3.2——b各个年级学生的总体数量
地区
学生数量
6年级
比例%
7年级
比例%
8年级
比例%
每个年级学生数量
总计
6年级
7年级
8年级
1
450
32
38
30
144
171
135
450
2
600
37
28
35
222
168
210
600
3
550
30
32
38
165
176
209
550
4
350
28
40
32
98
140
112
350
5
500
39
34
27
195
170
135
500
6
450
34
28
38
153
126
171
450
总计
2900
977
951
972
2900
<3>各个学校的可容纳量
由于学校的规模不一样，可容纳的学生数量也就不一样，因此通过学校的研究，这些学校还可以容量的学生数量为，我们同样通过表格来表示：
1.3.3各个学校的可容纳量（人）
学校1
学校2
学校3
总计
学生容纳量
900
1100
1000
2900
<4>各个学校不同年级学生的可容纳量
由于校方规定，每个学校里，每一个年级的学生人数必须在总人数的30%——36%之间，则根据这个要求我们又得到每个年级最大与最小接收量。
经过计算，我们同样通过表格体现：
1.3.4——各个学校不同年级学生的可容纳量
学校1
学校2
学校3
学校容量
900
1100
1000
各年级可容纳量
最小
最大
最小
最大
最小
最大
6年级
270
324
330
396
300
360
7年级
270
324
330
396
300
360
8年级
270
324
330
396
300
360
总计
1710
972
990
1188
996
1080
<5>学校可容纳量的总数一定
学校可容纳量的总数为3000
2.2变量的设定
设各个居住区中各个年级分配到不同学校的数量分别是：
由于变量相对比较多，写起来比文字叙述过于复杂，我们就通过表格来表未清楚：
变量
居住区
各个居住区中不同年级的学生分配到各个学校的人数
学校1（x1）
学校2（x2）
学校3（x3）
6年级
7年级
8年级
6年级
7年级
8年级
6年级
7年级
8年级
1
x11
x12
x13
x111
x112
x113
x121
x122
x123
x131
x132
x133
2
x22
x23
x221
x222
x223
x231
x232
x233
3
x31
x32
x33
x311
x312
x313
x321
x322
x323
x331
x332
x333
4
x41
x42
x411
x412
x413
x421
x422
x423
5
x51
x53
x511
x512
x513
x531
x532
x533
6
x61
x62
x63
x611
x612
x613
x621
x622
x623
x631
x632
x633
2.3目标函数的建立
根据上述基础数据可以得出如下目标函数
Minf（x）=300x11+600x31+200x41+500x61+400x22+300x32+500x42+300x62
+700x13+500x23+200x33+400x53
目标函数=各个居住区分配到某个学校的人数*该居住区到这个学校的学生公交费用
要使总损益值最小，只需要该目标函数取得极小值即可，这与研究问题的目的是相一致的。
限制条件
案例中a题的约束条件
<1>居住区的学生总数量的约束
x11+x12+x13=450
x22+x23=600
x31+x32+x33=550
x41+x42=350
x51+x53=500
x61+x62+x63=450
<2>各个学校可容纳量的约束
x11+x31+x41+x51+x61-x1=0
x21+x22+x32+x42+x62-x2=0
x13+x23+x33+x53+x63-x3=0
<3>各个学校中各个年级人数的约束
x111+x121+x131=144
x112+x122+x132=171
x113+x123+x133=135
x221+x231=222
x222+x232=168
x223+x233=210
x311+x321+x331=165
x312+x322+x332=176
x313+x323+x333=209
x411+x421=98
x412+x422=140
x413+x423=112
x511+x531=195
x512+x532=170
x513+x533=135
x611+x621+x631=153
x612+x622+x623=126
x613+x623+x633=171
<4>各个居住区总学生人数的限制
x111+x112+x113-x11=0
x311+x312+x313-x31=0
x411+x412+x413-x41=0
x511+x512+x513-x51=0
x611+x612+x613-x61=0
x121+x122+x123-x21=0
x221+x222+x223-x22=0
x321+x322+x323-x32=0
x421+x422+x423-x42=0
x621+x622+x623-x62=0
x131+x131+x133-x13=0
x231+x232+x233-x23=0
x331+x332+x333-x32=0
x421+x422+x423-x42=0
x621+x622+x623-x62=0
x131+x132+x133-x13=0
x231+x232+x233-x23=0
x331+x332+x333-x33=0
x531+x532+x533-x53=0
x631+x632+x633-x63=0
<5>居住区各个年级人数的约束
x111+x311+x411+x511+x611-0.3x1>0
x111+x311+x411+x511+x611-0.36x1<0
x112+x312+x412+x512+x612-0.3x1>0
x112+x312+x412+x512+x612-0.36x1<0
x113+x313+x413+x513+x613-0.3x1>0
x113+x313+x413+x513+x613-0.36x1<0
x121+x221+x321+x421+x621-0.3x2>0
x121+x221+x321+x421+x621-0.36x2<0
x122+x222+x322+x422+x622-0.3x2>0
x122+x222+x322+x422+x622-0.36x2<0
x123+x223+x323+x423+x623-0.3x2>0
x123+x223+x323+x423+x623-0.36x2<0
x131+x231+x331+x531+x631-0.3x3>0
x131+x231+x331+x531+x631-0.36x3<0
x132+x232+x332+x532+x632-0.3x3>0
x132+x232+x332+x532+x632-0.36x3<0
x133+x233+x333+x533+x633-0.3x3>0
x133+x233+x333+x533+x633-0.36x3<0
案例中c题的约束条件
同a题约束条件1-4，无条件5约束，但增加约束条件6
<6>居住区学生分到同一学校的约束
X（ijk）这些所有的变量均为整数
3模型的求解及解的分析
3.1模型的求解
对该线性规划进行求解，结果如下所示
a．为该问题建立线性规划模型。
b．你给学校董事会的最终建议是什么？
由以上的求解结果可知，当各个居住区的学生人数分配取得相对应的值时，即为最终成本达到426800美元。
c．根据这一点调整你的建议，使同一个地区尽可能的分配在同一所学校里。
（加人这一限制可能会使你不得不取消另外一些约束。
）这样做会增加多少公交成本？
（在案例9.4中将会对这一类的分析进一步探讨。
）
最终成本是420000，成本较a题减少6800元。
d．将问题a中的模型加人选项l重新考虑，并求解。
将结果与b中的结果想比较，包括公交总成本的减少。
成本为250400，较a题减少176400.
e．以选项2代替选项1重复步骤d。
成本为240000，较a题减少186800，较选择1方案减少10400
f．从b、d、e的结果中总结出与学校董事会要做出决策的两个因素有联系的重要的信息。
1-校车的服务成本
2-学生的安全
3-同一区域学生分派到同一学校
g．你认为应该做出怎样的决策，为什么？
按照选择1方案执行，取消1-1.5英里的学校校车服务。
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