四自由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解资料下载.pdf
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sanalyticalsolutionfastandprecisely,anoptimalmethodofsettingthecoordinatesystemhasbeenputforwardaccordingtothetheoryofarobot?
s4-DOFme-chanicalarm.Thekinematicsandinversekinematicsequationsofthe4-DOFmechanicalarmwereestablishedbasedonthiscoordinatesystem.Thepositionsofitsmovingelementsandend-effectorswiththeirrelationshipwerepresented;
thesemadetherobotmoveinaccordancewithascheduledprogram.Finally,theJacobianmatrixwassolved,providingtheoreticalbasisforrealizingthemechanicalarm?
sprogramdesignofvelocitycontrolintheCarte-sianspace.Keywords:
mechanicalarm;
D-Hparameters;
kinematics;
inversekinematics;
Jacobianmatrix?
机器人运动学着重研究了机器人各个坐标系之间的运动关系。
为了控制机器人的运动,首先需要在机器人中建立相应的坐标系1。
传统建立机械手臂坐标系的方法是将固定在大地上的笛卡尔坐标系作为参考坐标系2,3。
这种方法容易引入不必要的参数,增加计算量,引起计算误差增大,使机器人不能够精确控制。
特别是在解机器人逆运动学方程中,因为引入了多余的参数,使方程复杂度增加,甚至会引起无解或者无穷多解的情况47,需要通过观察和经验判断才能得出正确的解,既给运动学分析带来了不便,又增加了机器人控制程序编写难度811。
笔者采用优化的坐标系建立方法,减少了参数的数量。
通过这种方法,在求解正、逆运动学方程过程中,可以减少运算公式的参数计算,降低计算难度,求出逆运动学方程封闭的解析解,从而能够更好地建立机器人各运动构件与末端执行器在空间的位置、姿态之间的关系。
并方便的求解出雅可比矩阵,为实现机械手臂末端在笛卡尔空间的速度控制程序第6期吴?
磊等:
四自由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解设计提供理论依据。
1?
机械手臂运动学分析1?
正向运动学分析该机械手臂由4个转动关节和3个连杆组成,终端有一个夹持器。
用D-H方法建立杆件坐标系。
因为无论转动关节0如何旋转,关节0的长度对机械手臂的运动均无影响,所以令基准坐标系0与坐标系1原点重合,取在关节0与关节1的交点处。
原点O2位于关节2的中心位置,Z2轴沿着关节2的方向向右,X2轴垂直于关节1和关节2构成的平面指向上方。
坐标系3与坐标系4原点重合。
X3轴垂直于关节2和关节3构成的平面指向上方,X4轴垂直于夹持器所在平面,如图1所示。
图1?
机械手臂坐标示意图本文的基坐标系是0坐标系,如果0A1表示第一个连杆坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵,1A2表示第二个连杆坐标系相对于第一个坐标系的齐次变换矩阵,那么齐次变换矩阵0A2可由0A1和1A2乘积给出:
0A2=0A11A2。
同理,齐次变换矩阵0A4为:
0A4=0A11A22A33A42。
当机械手臂全部的连杆坐标系建立好以后,就能够列出各连杆的常量参数,各连杆D-H参数及关节变量,如表1所示。
表1?
机械手臂D-H参数表iai?
idi?
i?
i范围10-90?
0?
1（-?
/2,?
/2）2a200?
2-3?
/4,-?
/43a300?
3-?
/4,?
/64000?
40,?
/2）表1中机械手臂D-H参数的含义如下:
ai定义为从Zi-1轴到Zi轴的距离,沿Xi轴的指向为正;
?
i定义为从Zi-1轴到Zi轴的转角,绕Xi轴的正向转动为正;
di定义为从Xi-1轴到Xi轴的距离,沿Zi-1轴的指向为正;
i定义为从Xi-1轴到Xi轴的转角,绕Zi-1轴的正向转动为正。
从图1和D-H参数表,可以看出,系i-1可以经过以下连续的相对运动变到系i:
第1步,沿Zi-1轴移动di;
第2步,绕Zi-1轴转动?
i;
第3步,沿Xi轴移动ai;
第4步,绕Xi轴转动?
i。
这样矩阵i-1Ai就成为关节变量?
i的函数,一旦求得这些参数,就能确定4个变换矩阵i-1Ai的值。
由连续相对运动时齐次变换矩阵的求法,可得i-1Ai=Transz（di）Rotz（?
i）Transx（ai）Rotx（?
i）=ci-c?
isis?
isiaicisic?
ici-s?
iciaisi0s?
ic?
idi0001
（1）式中:
Transx（di）为沿Z轴移动di;
Rotz（?
i）为绕Z轴转动?
Transx（ai）为沿X轴移动ai;
Rotx（?
i）为绕X轴转动?
i,si=sin?
i,ci=cos?
i,s?
i=sin?
i,c?
i=cos?
由式
（1）,可以得出机械手臂正运动学方程为0A4=0A11A22A33A4=c1c234-c1s234-s1a3c1c23+a2c1c2s1c234-s1s234c1a3s1c23+a2s1c2-s234-c2340-a3s23-a2s20001=nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001
（2）式中:
n=nx,ny,nzT、o=ox,oy,ozT、a=ax,ay,azT和p=px,py,pzT分别为机器人末端坐标系4相对于基坐标系0位姿的4个列向量;
sij=sin（?
i+?
j）,cij=cos（?
j）,sijk=sin（?
j+?
k）,cijk=cos（?
k）,（i=2,3,4;
j=2,3,4）。
式
（2）表示该机械手臂的正运动学变换矩阵,描述了连杆末端坐标系4相对于基坐标系0的位姿,是机械臂运动分析和综合的基础。
2?
逆向运动学分析机器人的逆向运动学,描述的就是由机器人末端的位置和姿态到机器人关节坐标系的坐标之间的映射关系。
通过给出的机械手臂运动学方程求解出各个关节角?
765机械科学与技术第28卷
（1）求解?
1由式
（2）ax=-sin?
1,ay=cos?
1,可得axay=-sin?
1cos?
1=-tan?
1,?
1=-arctanaxay（3）?
（2）求解?
2,?
3由式
（2）pz=-a3sin（?
2+?
3）-a2sin?
2,px=a3cos?
1cos（?
3）+a2cos?
2,ay=cos?
1,可得cos?
3=pxay2+（pz）2-a23-a22a2ax（4）?
由式
（2）,得到1A-20A-10A4=2A33A4（5）?
将等式两端展开,得到1A-20A-10A4=1A-20A-1nxoxaxpxnyoyaypynzozazpz0001=t11t12t13pxcos?
2+pysin?
2-pzsin?
2-k2t21t22t23-pxcos?
1sin?
2-pysin?
2-pzcos?
2t31t32t33-pxsin?
1+pycos?
10001（6）2A4=2A33A4=cos（?
3+?
4）-sin（?
4）0a3cos?
3sin（?
4）cos（?
4）0a3sin?
300100001（7）?
由于只关心矩阵中的第四列,所以在式（6）中未列出具体的计算结果。
利用式（6）和式（7）对应元素相等,则得cos?
2px+sin?
2py-sin?
2pz-k2=a3cos?
3（8）-cos?
2px-sin?
2py-cos?
2pz=a3sin?
3（9）?
因为,角度?
2的范围是-3?
/4,则有sin?
2=-1-cos2?
2（10）?
再将式（4）和式（10）代入式（8）可得cos?
2（aypx-axpy）+1-cos2?
2pz=a3cos?
3+a2（11）?
令k1=aypx-axpy,k2=pz,k3=a3cos?
3+a2,可得cos?
2的解式为cos?
2=-12k2k1（k2?
k22+4k21-4k1k3）-k3k1（12）故有?
2=arccos-12k2k1（k2?
k22+4k21-4k1k3）-k3k1-?
（13）?
由式
（2）已知,ax=-sin?
1,将式（13）代入式（9）中,并除以式（8）有tan?
3=（axpy-aypx）sin?
2（aypx-axpy）cos?
2-a2（14）?
由此可求得?
3为?
3=arctan（axpy-aypx）sin?
2-a2（15）?
（3）求解?
4由式
（2）nz=-sin（?
4）,oz=-cos（?
4）,可得nzoz=tan（?
4）（16）所以,则有?
4=arctannzoz-?
2-?
3（17）?
通过上述分析,即可获得机械手臂3个关节变量?
3和?
4的大小。
机械臂雅可比矩阵求解机械手的笛卡尔空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换,称之为雅可比矩阵（Jacobianma-trix）。
雅可比矩阵是关节空间速度向笛卡尔空间速度的传动比。
即V=X?
=J（q）q?
（18）式中:
q?
为关节速度矢量;
X?
是操作速度矢量。
雅可比矩阵的行数等于机器人在操作空间运动的维数,列数等于关节数。
因此,四自由度机械手臂雅可比矩阵是一个6?
4矩阵。
构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变换法,本文用微分变换法推算该机器人的雅可比矩阵。
雅可比矩阵第i列的求解为Ji=（p?
n）z,（p?
o）z,（p?
a）z,nz,oz,azT（19）766第6期吴?
四自由度机械手臂运动学分析及雅可比矩阵求解式中:
n,o和a矢量构成第i连杆坐标系到机器人末端坐标系之间变换的旋转变换矩阵,p是第i连杆坐标系到机器人末端坐标系之间变换的位置矢量。
由于3A4=cos?
4-sin?
400sin?
4cos?
40000100001（20）1A4=1A22A33A4=cos（?
4）0a3cos（?
2sin（?
4）0a3sin（?
3）+a2sin?
200100001?
（21）?
对于第4个关节,式（20）就是该关节的连杆坐标系到末端坐标系的变换矩阵。
将式（20）中的n,o,a和p代入式（19）,得到雅可比的列矢量J4。
J4=0,0,0,0,0,1T（22）?
对于第3个关节,将式（7）中的n,o,a和p代入式（19）,得到雅可比的列矢量J3。
J3=0,0,0,0,0,1T（23）?
对于第2个关节,将式（21）中的n,o,a和p代入式（19）,得到雅可比的列矢量J2。
J2=0,0,0,0,0,1T（24）?
对于第1个关节,将式
（2）中的n,o,a和p代入式（19）,得到雅可比的列矢量J1。
J1=sin（?
4）（a3sin（?
2）cos（?
2）0-sin（?
4）-cos（?
4）0（25）故J=J1,J2,J3,J4?
即为本机器人的雅可比矩阵。
已知关节的速度即式（18）中的q?
可以借助雅可比矩阵J求出操作空间的速度,即式（18）中的X?
。
3?
结论
（1）这种优化的建立坐标系方法,减少了数学建模中的计算参数,简化了四自由度机械手臂正、逆运动学方程求解过程。
（2）以此为依据,求出了雅可比矩阵,为仿真机械手臂的运动特性和设计控制器奠定了基础。
（3）这种分析方法也适用于其他类似的更多自由度关节型串联机械臂正、逆运动学求解以及雅可比矩阵求解。
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