可控性与可观测性分析资料下载.pdf

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由上一节的内容可知，该线性连续时间系统的解为：

00t（）（）（0）（）tAtAtoxtexeBud利用状态可控性的定义，可得dBuexetxtotAAt）（）0（0）（111）（1或10）（）0（tAdBuexAe10）（nkkkAAe1001）（）（）0（nktkkduaBAx6定常系统状态可控性的代数判据定常系统状态可控性的代数判据记，则10）（）（tkkdua110110）0（nnnkkkBAABBBAx如果系统是状态可控的，那么给定任一初始状态x（0），都应满足上式。

这就要求nn维矩阵的秩为n。

BABAABBPnc121001）（）（）0（nktkkduaBAx7定常系统状态可控性的代数判据定常系统状态可控性的代数判据上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。

此时，如果系统的状态方程为BuAxx式中，那么可以证明，状态可控性的条件为nnr维矩阵rnnnrnRBRARtuRtx,）（,）（的秩为n，或者说其中的n个列向量是线性无关的。

通常称该矩阵为可控性矩阵可控性矩阵。

21ncPBABABAB8定常系统状态可控性定常系统状态可控性例例1【例】考虑由下式确定的系统：

【解】由于00011detdetABBQuxxxx0110112121即Q为奇异，所以该系统是状态不可控的。

【例】考虑由下式确定的系统：

uxxxx1012112121【解】由于01110detdetABBQ即Q为非奇异，因此系统是状态可控的。

9传递函数矩阵表达的状态可控性条件传递函数矩阵表达的状态可控性条件状态可控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。

状态可控性的充要条件状态可控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。

如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不可控。

【例】比如下列传递函数：

）1）（5.2（5.2）（）（ssssUsX10输出可控性输出可控性考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统ABCDxxuyxu,nrmnnnrmnmrxRuRyRARBRCRDR其中如果能找到一个无约束的控制向量,在有限的时间间隔内，使任一给定的初始输出转移到任一最终输出,那么称由上式所描述的系统为输出可控输出可控的。

系统输出可控的充要条件输出可控的充要条件为：

当且仅当m（n+1）r维输出可控性矩阵（）ut01ttt0（）yt1（）yt21nQCBCABCABCABD的秩为m时，由上式所描述的系统为输出可控的。

注意，在输出方程中存在D项，对确定输出可控性是有帮助的。

11线性定常连续系统的可观测性线性定常连续系统的可观测性可观性定义可观性的判断定常系统状态可观性的代数判据用传递函数矩阵表达的可观测性条件12如果系统的某一个状态，可通过在有限时间间隔内，由观测值确定，则称状态为在在时刻是可观测时刻是可观测的。

若状态在所有时刻都是可观测的，则称该状态为一致可观测的。

如果系统的状态空间中每一个状态都是可观测的，则称该系统是状态完全可观测状态完全可观测的。

本节仅讨论线性定常系统。

不失一般性，设。

可观性定义可观性定义0（）xt0t考虑零输入时的状态空间表达式ACxxyx式中nmnnmnRCRARyRx,01ttt0（）xt（）yt00t0（）xt13为何只需考虑零输入系统（u=0）？

原因：

若采用如下状态空间表达式ABCDxxuyxu（）（）（0）（）tAtAtoteeBdxxu则从而（）（）（0）（）tAtAtotCeCeBdDyxuu由于矩阵A、B、C和D均为已知，u（t）也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被测量值y（t）中消去。

因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑零输入系统就可以了。

14定常系统状态可观测性的代数判据定常系统状态可观测性的代数判据考虑以下线性定常系统ACxxyx易知，其输出向量为（）（0）AttCeyx将写为A的有限项的形式，即Ate10）（nkkkAtAte因而10（）（）（0）nkkkttCAyx或1011（）（）（0）（）（0）（）（0）nnttCtCAtCAyxxx显然，如果系统是可观测的，那么在时间间隔内，给定输出y（t），就可由上式唯一地确定出x（0）。

可观性判据（充要条件）可观性判据（充要条件）当且仅当nnm维可观测性矩阵01ttt1TnTTTTTCACACR）（的秩为n，即时，上面线性定常系统是可观测的。

nrankRT也见书（7-44）式15定常系统状态可观测性定常系统状态可观测性例例1【例】试判断由下式所描述的系统的可控性和可观测性。

21212101101211xxyuxxxx【解】由于可控性矩阵可控性矩阵1110ABBQ秩为2，即，故该系统是状态可控的。

由于输出可控性矩阵输出可控性矩阵nrankQ210CABCBQ的秩为1，即，故该系统是输出可控的。

由于可观测性矩阵可观测性矩阵mQrank11011TTTTCACR的秩为2，故此系统是可观测的。

nrankRT2这里D=0.16用传递函数矩阵表达的可观测性条件用传递函数矩阵表达的可观测性条件可观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。

可观测性的充要条件可观测性的充要条件是：

在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。

如果存在相约，则约去的模态其输出就不可观测了。

当且仅当系统是状态可控和可观测时，其传递函数才没有相约因子。

这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。

17定常系统状态可观测性定常系统状态可观测性例例2【例】证明下列系统是不可观测的。

xAxBuyCx1230100,001,0,45161161xxxABCx【解】方法一方法一由于可观测性矩阵111575664）（2TTTTTTCACACR其行列式值为0，故该系统是不可观测的。

18（了解了解）方法二方法二:

在该系统的传递函数中存在相约因子。

由于和之间的传递函数为）3）

（2）（1

（1）（）（1ssssUsX1（）Xs（）Us又和之间的传递函数为）4）（1（）（）（1sssXsY）3）

（2）（1（）4）（1（）（）（ssssssUsY显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。

则该系统是不可观测的，一些不为零的初始状态x（0）不能由y（t）的量测值确定。

故Y（s）与U（s）之间的传递函数为（）Ys1（）Xs19对偶原理对偶原理下面介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理，该原理揭示了可控性和可观测性之间的关系。

考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：

xAxBuyCxnmrnnnmrnRCRBRARyRuRx,以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：

TTTzAzCvnBznrTmnTnnTrmnRBRCRARnRvRz,对偶原理对偶原理当且仅当系统S1状态可观测（状态可控）时，系统S2才是状态可控（状态可观测）的。

20对偶原理对偶原理证明证明对于系统S1：

状态可控的充要条件是nnr维可控性矩阵的秩为n。

状态可观测的充要条件是nnm维可观测性矩阵的秩为n。

对于系统S2：

状态可控的充要条件是nnm维可控性矩阵的秩为n。

状态可观测的充要条件是nnr维可观测性矩阵的秩为n。

对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性。

利用此原理，一个给定一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断。

简单地说，对偶性有如下关系：

1BAABBn）（1TnTTTTCACAC）（1TnTTTTCACAC1BAABBnTTTBCCBAA,21单输入单输入/单输出系统状态空间描述的标准形单输出系统状态空间描述的标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示1011111（）（）nnnnnnnnYsbsbsbsbUssasasa可控标准形可控标准形（书书P174,7-8）1122111210100000100000101nnnnnnnxxxxuxxaaaaxx1211110nnonnoonxxybabbabbabbux22可观测标准形可观测标准形1122111111000100001nnnonnononnaxxbabxxbabaubabxxa1210001onnxxybuxx设单输入/单输出系统的传递函数如下所示1011111（）（）nnnnnnnnYsbsbsbsbUssasasa可观测标准形可观测标准形（书书p176,7-12）23对角线标准形对角线标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示，考虑分母多项式只含相异根的情况：

1011111（）（）nnnnnnnnYsbsbsbsbUssasasa对角线标准形对角线标准形11112（）（）（）（）（）nnonnnYsbsbsbsbUsspspspnnopscpscpscb221111122201110nnnxpxxpxuxpx1212nonxxycccbux24Jordan标准形标准形设单输入/单输出系统的传递函数如下所示，考虑分母多项式含有重根的情况：

）（）（）（）（）（54311110nnnnnpspspspsbsbsbsbsUsYnnpscpscpscpscpscbsUsY442123110）（）（）（）（）（13Jordan标准形标准形（书书p175,上上）111212313444100000100000100010001nnnxpxxpxxpxxpxxpx1212nonxxycccbuxu,25状态空间标准形状态空间标准形例例1【例】考虑由下式确定的系统，试求其状态空间表达式之可控标准形、可观测标准形和对角线标准形。

233）（）（2ssssUsY【解】可控标准形为：

）（）（13）（）（10）（）（3210）（）（212121txtxtytutxtxtxtx可观测标准形为：

）（）（10）（）（13）（）（3120）（）（212121txtxtytutxtxtxtx对角线标准形为：

）（）（12）（）（11）（）（2001）（）（212121txtxtytutxtxtxtx26基于系统标准型的可控可观判据基于系统标准型的可控可观判据状态可控性条件的标准形判据状态可观测性条件的标准形判据27定义，则可将上式重写为状态可控性条件的标准形状态可控性条件的标准形判据判据考虑如下的线性系统ABxxurnnnrnRBRARtuRtx,）（,）（如果如果A的特征值互不相同的特征值互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P，使得ndiagAPP,211注意，如果A的特征值相异，那么A的特征向量也互不相同。

设x=Pz并代入上面线性系统中，可得11PAPPBzzu1（）ijPBf111111122122221122221122rrrrnnnnnnrrzzfufufuzzfufufuzzfufufu当且仅当输入矩阵没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态可控的输入矩阵没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态可控的。

注意注意矩阵矩阵P必须将矩阵必须将矩阵A转换成对角线形式转换成对角线形式。

详细见书详细见书p174-17528状态可控性条件的标准形判据状态可控性条件的标准形判据如果矩阵A不具有互异的特征向量，则无法化为对角线形式，此时可将A化为Jordan标准形，假设能找到一个变换矩阵S，使得JASS1利用x=Sz定义一个新的状态向量z，并代入线性系统中，可得到ABxxuuJzBuSASzSz11则系统的状态可控性条件状态可控性条件为：

当且仅当Jordan标准形J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；

与每个Jordan块最后一行相对应的的一行元素不全为零；

对应于不同特征值的每一行的元素不全为零。

1SB1SB29Jordan标准形标准形nJ0010010001644111其中，在主对角线上的33和22子矩阵称为Jordan块块。

30状态可控的标准形判据状态可控的标准形判据例例1【例】下列系统是状态可控的：

uxxxx52200121212154321543213213211200030010500152001200012340200010011uuxxxxxxxxxxuxxxxxx31状态可控的标准形判据状态可控的标准形判据例例2【例】下列系统是状态不可控的：

112211122233112345102020110420100000230210002100251005xxuxxxxuxxuxxxxxxxx234542130xxuxx32状态可观测性条件的标准形判据状态可观测性条件的标准形判据考虑线性定常系统xAxyCx设非奇异线性变换矩阵P可将A化为对角线矩阵，ndiagAPP,211设x=Pz并代入上面线性系统中，可得1zPAPzzyCPz）0（）（zCPetyt则或）0（）0（）0（）0（00）（212121nttttttzezezeCPzeeeCPtynn如果mn维矩阵CP的任一列中都不含全为零的元素，则系统是可观测的。

该判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式化为对角线标准形的情况。

详细见书详细见书p176-17733从而则系统可观测的充要条件可观测的充要条件为：

J中没有两个Jordan块与同一特征值有关；

与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵CS列中，没有一列元素全为零；

与相异特征值对应的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。

状态可观测性条件的标准形判据状态可观测性条件的标准形判据如果不能将系统的状态空间表达式化为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵S将系统矩阵A变换为Jordan标准形JASS1定义x=Sz，则可将原线性系统写为如下Jordan标准形1zSASzJzyCSz）0（）（zCSetyJt34状态可观测性的标准形判据状态可观测性的标准形判据例例1【例】下列系统是可观测的：

54321215432154321321213213212121210111000111,300132001200012004003,20012001231,2001xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxyxxxx35状态可观测性的标准形判据状态可观测性的标准形判据例例2【例】下列系统是不可观测的：

111222111122223331234510,0102210013021,02400221000021000020000031xxxyxxxxxxyxxxyxxxxxxxx121324511100,0110000003xxyxyxx