实验四线性系统时域响应分析.docx
《实验四线性系统时域响应分析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实验四线性系统时域响应分析.docx(18页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
实验四线性系统时域响应分析
实验四线性系统时域响应分析
一、实验目的
1.熟练掌握step()函数和impulse()函数的使用方法,研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。
2.通过响应曲线观测特征参量
和
对二阶系统性能的影响。
3.熟练掌握系统的稳定性的判断方法。
二、基础知识及MATLAB函数
(一)基础知识
时域分析法直接在时间域中对系统进行分析,可以提供系统时间响应的全部信息,具有直观、准确的特点。
为了研究控制系统的时域特性,经常采用瞬态响应(如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应)。
本次实验从分析系统的性能指标出发,给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。
用MATLAB求系统的瞬态响应时,将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。
由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n,所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐,不足部分用零补齐,缺项系数也用零补上。
1.用MATLAB求控制系统的瞬态响应
1)阶跃响应
求系统阶跃响应的指令有:
step(num,den)时间向量t的范围由软件自动设定,阶跃响应曲线随即绘出
step(num,den,t)时间向量t的范围可以由人工给定(例如t=0:
0.1:
10)
[y,x]=step(num,den)返回变量y为输出向量,x为状态向量
在MATLAB程序中,先定义num,den数组,并调用上述指令,即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。
考虑下列系统:
该系统可以表示为两个数组,每一个数组由相应的多项式系数组成,并且以s的降幂排列。
则matlab的调用语句:
num=[0025];%定义分子多项式
den=[1425];%定义分母多项式
step(num,den)%调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线
grid%画网格标度线
xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’)%给坐标轴加上说明
title(‘Unit-stepRespinseofG(s)=25/(s^2+4s+25)’)%给图形加上标题名
则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示:
为了在图形屏幕上书写文本,可以用text命令在图上的任何位置加标注。
例如:
text(3.4,-0.06,’Y1’)和text(3.4,1.4,’Y2’)
第一个语句告诉计算机,在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。
类似地,第二个语句告诉计算机,在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。
若要绘制系统t在指定时间(0-10s)内的响应曲线,则用以下语句:
num=[0025];
den=[1425];
t=0:
0.1:
10;
step(num,den,t)
即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分,如图2-2所示。
2)脉冲响应
①求系统脉冲响应的指令有:
impulse(num,den)时间向量t的范围由软件自动设定,阶跃响应曲线随即绘出
impulse(num,den,t)时间向量t的范围可以由人工给定(例如t=0:
0.1:
10)
[y,x]=impulse(num,den)返回变量y为输出向量,x为状态向量
[y,x,t]=impulse(num,den,t)向量t表示脉冲响应进行计算的时间
例:
试求下列系统的单位脉冲响应:
在matlab中可表示为
num=[001];
den=[10.21];
impulse(num,den)
grid
title(‘Unit-impulseResponseofG(s)=1/(s^2+0.2s+1)’)
由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3所示:
②求脉冲响应的另一种方法
应当指出,当初始条件为零时,G(s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。
考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应,因为对于单位脉冲输入量,R(s)=1所以
因此,可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。
向MATLAB输入下列num和den,给出阶跃响应命令,可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图2-4所示。
num=[010];
den=[10.21];
step(num,den)
grid
title(‘Unit-stepResponseof
sG(s)=s/(s^2+0.2s+1)’)
3)斜坡响应
MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。
在求取斜坡响应时,通常利用阶跃响应的指令。
基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s,而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。
因此,当求系统G(s)的单位斜坡响应时,可以先用s除G(s),再利用阶跃响应命令,就能求出系统的斜坡响应。
例如,试求下列闭环系统的单位斜坡响应。
对于单位斜坡输入量,R(s)=1/s2,因此
在MATLAB中输入以下命令,得到如图2-5所示的响应曲线:
num=[0001];
den=[1110];
step(num,den)
title(‘Unit-RampResponseCuveforSystemG(s)=1/(s^2+s+1)’)
2.特征参量
和
对二阶系统性能的影响
标准二阶系统的闭环传递函数为:
二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
1)
对二阶系统性能的影响
设定无阻尼自然振荡频率
,考虑5种不同的
值:
=0,0.25,0.5,1.0和2.0,利用MATLAB对每一种
求取单位阶跃响应曲线,分析参数
对系统的影响。
为便于观测和比较,在一幅图上绘出5条响应曲线(采用“hold”命令实现)。
num=[001];den1=[101];den2=[10.51];
den3=[111];den4=[121];den5=[141];
t=0:
0.1:
10;step(num,den1,t)
grid
text(4,1.7,'Zeta=0');hold
step(num,den2,t)
text(3.3,1.5,'0.25')
step(num,den3,t)
text(3.5,1.2,'0.5')
step(num,den4,t)
text(3.3,0.9,'1.0')
step(num,den5,t)
text(3.3,0.6,'2.0')
title('Step-ResponseCurvesforG(s)=1/[s^2+2(zeta)s+1]')
由此得到的响应曲线如图2-6所示:
2)
对二阶系统性能的影响
同理,设定阻尼比
时,当
分别取1,2,3时,利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线,分析参数
对系统的影响。
num1=[001];den1=[10.51];
t=0:
0.1:
10;step(num1,den1,t);
grid;holdon
text(3.1,1.4,'wn=1')
num2=[004];den2=[114];
step(num2,den2,t);holdon
text(1.7,1.4,'wn=2')
num3=[009];den3=[11.59];
step(num3,den3,t);holdon
text(0.5,1.4,'wn=3')
由此得到的响应曲线如图2-7所示:
3.系统稳定性判断
1)直接求根判稳roots()
控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。
因此,为了判别系统的稳定性,就要求出系统特征方程的根,并检验它们是否都具有负实部。
MATLAB中对多项式求根的函数为roots()函数。
若求以下多项式的根
,则所用的MATLAB指令为:
>>roots([1,10,35,50,24])
ans=
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
特征方程的根都具有负实部,因而系统为稳定的。
2)劳斯稳定判据routh()
劳斯判据的调用格式为:
[r,info]=routh(den)
该函数的功能是构造系统的劳斯表。
其中,den为系统的分母多项式系数向量,r为返回的routh表矩阵,info为返回的routh表的附加信息。
以上述多项式为例,由routh判据判定系统的稳定性。
den=[1,10,35,50,24];
[r,info]=routh(den)
r=
13524
10500
30240
4200
2400
info=
[]
由系统返回的routh表可以看出,其第一列没有符号的变化,系统是稳定的。
注意:
routh()不是MATLAB中自带的功能函数,须自编一个routh()函数,即将下面函数保存为routh.m文件,在commandWindow窗口输入“den=[1,10,35,50,24];[r,info]=routh(den)”上述命令即可运行成功。
function[rtab,info]=routh(den)
info=[];
vec1=den(1:
2:
length(den));nrT=length(vec1);
vec2=den(2:
2:
length(den)-1);
rtab=[vec1;vec2,zeros(1,nrT-length(vec2))];
fork=1:
length(den)-2,
alpha(k)=vec1
(1)/vec2
(1);
fori=1:
length(vec2),
a3(i)=rtab(k,i+1)-alpha(k)*rtab(k+1,i+1);
end
ifsum(abs(a3))==0
a3=polyder(vec2);
info=[info,'Allelementsinrow',...
int2str(k+2)'arezeros;'];
elseifabs(a3
(1))a3
(1)=1e-6;
info=[info,'Replacedfirstelement;'];
end
rtab=[rtab;a3,zeros(1,nrT-length(a3))];
vec1=vec2;vec2=a3;
end
三、实验内容
1.观察函数step()和impulse()的调用格式,假设系统的传递函数模型为
可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线?
试分别绘制。
(一)MATLAB程序如下:
num=[137];
den=[14641];
step(num,den)
grid
xlabel('t/s'),ylabel('c(t)')
title('Unit-stepRespinseofG(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)')
程序结果如图一:
图一:
二阶系统的单位阶跃响应波形图
(二)MATLAB程序如下:
num=[137];
den=[146410];
t=0:
0.1:
15;
impulse(num,den,t)
grid
xlabel('t/s'),ylabel('c(t)')
title('Unit-stepRespinseof(s)/s=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)s')
程序结果如图二:
图二:
二阶系统的单位阶跃响应波形图
2.对典型二阶系统
1)分别绘出
,
分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线,分析参数
对系统的影响,并计算
=0.25时的时域性能指标
。
MATLAB程序如下:
num=[004];den1=[104];den2=[114];
den3=[124];den4=[144];den5=[184];
t=0:
0.1:
10;step(num,den1,t)
grid
text(2,1.7,'Zeta=0');hold
step(num,den2,t)
text(1.5,1.5,'0.25')
step(num,den3,t)
text(1.5,1.15,'0.5')
step(num,den4,t)
text(1.5,0.85,'1.0')
step(num,den5,t)
text(2,0.65,'2.0')
title('Step-ResponseCurvesforG(s)=4/[s^2+2(zeta)s+4]')
当
取不同值时系统的响应曲线:
图三:
取不同值时系统的响应曲线波形图
当
=0.25时,
=69.1%,
=0.95,
=1.59,
=6.88.
2)绘制出当
=0.25,
分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线,分析参数
对系统的影响。
MATLAB程序如下:
num1=[001];num2=[004];num3=[0016];num4=[0036];
den1=[10.51];den2=[114];den3=[1216];den4=[1336];
t=0:
0.1:
10;step(num1,den1,t)
grid
text(1.4,1.4,'0');hold
step(num2,den2,t)
text(1.2,1.3,'0.25')
step(num3,den3,t)
text(1.15,1.15,'0.5')
step(num4,den4,t)
text(1.25,0.85,'1.0')
title('Step-ResponseCurvesforG(s)=4/[s^2+2(zeta)s+4]')
当
取不同值时系统的响应曲线:
图四:
取不同值时系统的响应曲线
2.系统的特征方程式为
,试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。
MATLAB程序如下:
roots([2,1,3,5,10])
ans=
0.7555+1.4444i
0.7555-1.4444i
-1.0055+0.9331i
-1.0055-0.9331i
特征方程的根都有正实部,因而系统是不稳定的。
Routh判据程序及结果如下:
den=[2,1,3,5,10];[r,info]=routh(den)
r=
2.00003.000010.0000
1.00005.00000
-7.000010.00000
6.428600
10.000000
info=
[]
4.单位负反馈系统的开环模型为
试分别用劳斯稳定判据判断系统的稳定性,并求出使得闭环系统稳定的K值范围。
MATLAB程序如下:
(取K=200)
den=[1,12,69,198,200];
[r,info]=routh(den)
r =
1.0000 69.0000 200.0000
12.0000 198.0000 0
52.5000 200.0000 0
152.2857 0 0
200.0000 0 0
info =
[]
所以该系统稳定。
继续取值,直到系统刚好不稳定时,其值为866.25,所以k值得取值范围为0四、实验报告
1.根据内容要求,写出调试好的MATLAB语言程序,及对应的MATLAB运算结果。
2.记录各种输出波形,根据实验结果分析参数变化对系统的影响。
3.总结判断闭环系统稳定的方法,说明增益K对系统稳定性的影响。
k大于临界k值时系统不稳定,小于临界k值时系统稳定。
4.写出实验的心得与体会。
通过本次实验,我熟练地掌握step()函数和impulse()函数的使用方法,并了解了线性系统在单位阶跃信号、单位脉冲信号及单位斜坡信号作用下的响应。
同时,还明白了特征参量
和
对二阶系统性能的影响,以及如何用多种方法来判断系统的稳定性。
五、预习要求
1.预习实验中基础知识,运行编制好的MATLAB语句,熟悉MATLAB指令及step()和impulse()函数。
2.结合实验内容,提前编制相应的程序。
3.思考特征参量
和
对二阶系统性能的影响。
4.熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。