量子测量与时空塌缩资料下载.pdf

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量子态公设力学量算符公设量子测量公设量子态演化方程公设全同性原理公设1.1.2量子测量公设对任一（归一）量子态|观测力学量A,相应于将被测态|按A的对应厄米算符A的本征态族|n|A|n=an|n展开|=nCn|n;

（n|Cn|2=1）单次测量中所得A的数值可能不确定,但必为算符A本征值an中的一个;

多次测量所得A的平均值为珔A|A|=n|Cn|2an,其中,A取an值的几率为Pn=|Cn|2.测量完成之后,系统即以塌缩后的态为初态,在测量后的环境中作新一轮演化.1.1.3附加分析a）若|是A的一个本征态,展开结果只有一项,相应测量结果就是确定的.b）测得的所有an和珔A值均是实的;

c）A、B可同时测量的条件为A,B=0此时,力学量A、B之间不存在量子因果关系量子测量互不干扰;

d）|n的完备性与A的可观测性之间的关系:

“（物理实验上）力学量A是可观测的”等价于“（数学上）算符A的本征矢族是完备的”.因为,只当A的本征矢族完备,才可以对任给的被测态作谱分解,如此才谈得上对其进行关于A的观测;

能对任意态进行关于A的观测,才可以说力学量A是可观测的1.1.2量子测量理论纲要1.2.1量子测量过程的三个阶段2:

量子态谱分解（|=nCn|n）;

将被测态按所测力学量算符本征态族展开|781收稿日期:

2000-07-30作者简介:

张永德（1939）,男,安徽人,教授,博士生导师,奥地利科学院外籍通讯院士,中国量子力学研究会理事长.主要从事近代量子理论及其应用和近代量子场论中的数学问题的研究.第9卷第4期2000年10月云南民族学院学报（自然科学版）JournalofYunnanUniversityoftheNationalities（NaturalSciencesEdition）Vol.9No.4Oct.2000相干分解（保持原有相干性）量子态坍缩（Pn=|Cn|2,|n）;

坍缩是一次斩断原有相干性的、随机的“选择”（“投影”）（详细见下）初态制备（|n=|（0）;

坍缩制备初态（在新H下,开始一轮新的演化）;

但制备初态并非必定要通过塌缩1.2.2量子态坍缩（Collapse,reduction）的四大特征34:

a.坍缩结果的随机性（非本征态）单次测量结果的不可预测性.这是原则性的,并非量子力学描述不完备的体现.b.坍缩总是斩断相干性的坍缩不继承位相,坍缩是一种“投影”（VonNeumann）,是一种“选择”（Feynman）它破坏旧的相干性,建立新的相干性.c.坍缩方向的不可逆性是量子理论中唯一体现“量子时间之箭”的场合.坍缩使上一代的熵增加,下一代的熵减少.微观世界的总熵不会因大量不断的量子测量而改变.d.坍缩总是非定域的.因为空间波函数坍缩:

（珋x）（珋x）,由于珋x:

全空间,所以是全空间的同时塌缩.自旋波函数坍缩:

自旋态本来就不含位置变数,当然也是全空间的同时塌缩.虽然量子测量通常是局域的,但它造成的坍缩总是全空间的.1.2.3量子力学因果关系的两种形式34:

a.决定论性的因果关系:

态的第一类变化Schrodinger方程演化:

“初条件|（0）+哈密顿量H”决定论,可预测,可逆,保持相干性,定域性.b.统计性因果关系:

态的第二类变化测量造成的坍缩:

随机性、不可逆性、斩断相干性、非定域性.两者的有机结合构成量子力学的因果论.1.2.4测量的地位:

a.什么情况的相互作用就算作量子测量如果此相互作用的结果是向某一力学量本征态塌缩,这种相互作用过程便可以看作是对这一力学量的量子测量过程.b.把测量仪器也包括进来作统一描述从量子信息论的角度来看,这个“测量仪器”是广义的.它包括被我们（不得不）忽略掉的系统的其余部分（其余方面）或是另外相关的更大系统.统一描述的结果将会产生许多新的情况,所以十分重要.这方面有大量的叙述,其中较早的一个便是下面关于量子测量的VonNeumann模型.c.微观的量子系统宏观的测量仪器1.3VonNeumann正交测量模型5为了测量子系统的可观测量A,要修正“世界哈密顿量”.办法是连通子系统的可观测量A和（作为测量仪器的）指示器X.在A和X之间的这种耦合,在可观测量的本征态和指示器的可区分态之间建立起量子交缠,正是这种量子交缠,使我们能够通过观测指示器变数X去制备可观测量A的本征态.设初始时刻子系统处于A的一个叠加态|=nan|an,而指示器波包的关于X变量的状态为|（x）,它们合成的大系统处于尚未交缠的可分离态,|（x）=nan|an|（x）（1-1）由于“世界哈密顿量”中A和X的耦合项存在,在t时刻后,这个量子态将从可分离态演化成为交缠态,U（t）nan|an|（x）=nan|an|（x-ant）（1-2）这种交缠使指示器的位置变量X的数值和可观测量A的数值（即x和an）关联起来.如果位置变量X的观测精度足以分辨A的全部本征值,就实现了通过测量X的值来给出A的相应本征值.因为,测得数值（x-ant）的同时,将造成关联塌缩并给出A的本征态|an.一个典型例子是Stern-Gerlach装置,为测12自旋粒子的z,使它通过一个z轴方向非均匀磁场:

Bz=z.粒子磁矩珋,它和磁场之间的耦使项（“世界哈密顿量”中的耦合项）为H=-zz.这里是可观测量z和位置z相耦合.由于H中含z,不同z值处附加能数值不同,这产生一个力F=-5H5z=z（1-3）881云南民族学院学报（自然科学版）第9卷它沿z轴,正负视z值而定.于是在测量时间t内P=Ft（1-4）这种耦合将传送一个冲量给粒子指示器.由此,可以通过观察粒子向z轴正向、反向的偏转,来投影给出粒子自旋态|z或|z,从而测知可观测量粒子的自旋.这里U（t）=expizzt,而U（t）2i=1i|i|0位置指示=2i=1i|i|hi位置指示（1-5）这里|hi|PmtFt2m.小结上面VonNeumann模型的基本思想:

正是被测系统和测量仪器的相互作用,造成两者的量子纠缠.于是,由测量仪器读数导致的仪器状态塌缩,会使被测系统关联塌缩并给出被测力学量的一个本征态,从而得到相应的本征值.最后应当指出,VonNeumann模型有其局限性:

它仅限于正交（投影）测量,这只适合于孤立量子系统的测量.如果对一个含有子系统的更大系统进行正交测量,这时在它的某个子系统上所实现的投影操作（或直接对一个大系统的一部分进行测量）称为对这个子系统（一部分）的广义测量.一般说,广义测量不一定是正交（投影）测量.严格说来,所有能够实际实现的量子测量都应当是广义测量.2量子力学的非定域描述与量子态塌缩的非定域性质2.1什么叫非定域性和非定域描述研究微观粒子状态及其运动中,采用时空变数x=（珋x,t）对它们所作的描述,称为对它们的定域描述.一个相互作用物理过程,如果它的进行依赖于时空变数并且只和当时当地的时空变数（至多包含无限小邻域）有关,就称它为定域的物理过程,表明它不仅是一个时空中的过程,而且是一个集合着局域作用的定域过程.比如,电磁波波包在时空中的传播就是一个定域的物理过程,对它有时空传播过程的描述就是定域的描述.再比如,两个粒子a与b的相互作用,按量子场论的观点,正比于它们（与粒子相联系）量子场A（x）和B（x）（或其导数）的乘积.这样一来,在时空点x处的相互作用就只依赖于x点的A（x）与B（x）（及x点的无限小邻域）,而与其他时空点x上的A（x）和B（x）无关.这就是一个定域的相互作用过程,对它的描述也是一个定域的描述.这里面包括了,将粒子a的量子场写为A（x）,使得我们有权利说“在x点上a的场量”等等,这本身就是一种定域的描述.在物理学中,包括在量子理论中,几乎都是定域的描述.有没有非定域的描述呢?

有.通常所说的,对某种性质的非定域描述,区分为两层不同的含义.其一,带某种弥散性的描述:

对过程的描述还是借助时空变数进行,只是此时的描述是对时空变数的某种弥散（比如,相互作用带某种积分核的时空积分变换）,使得在x处的相互作用也以一定方式在一定程度上依赖于别处x的场量.其二,拓扑性描述:

在一个势场中,粒子所受的力常常以势场的各类微分量来表示,微分量的计算总是在局域范围内进行的,只能涉及场的局域性质;

但这个势场也许还有非平庸的整体性质,这是场的非局域性质,是一类难以用定域描述方式确切表达的拓扑性质.例如双缝干涉实验中,设想紧靠缝屏之后放置一根无穷长细螺旋管,管中产生一束细磁弦,其作用是改变屏后空间矢势场的整体拓扑性质:

从曲面单连通区域变为曲面多连通区域.这使相因子只依赖于从磁弦的上方还是下方绕过,而不依赖于上方或下方路径的种种具体变形,因为在磁场强度为零的区域,路径可以连续变形,而不会影响位相.再比如,粒子的自旋态,由于它直接依赖于联立的量子场方程的旋量结构而并不直接依赖于空间变数（在非相对论量子力学中,由于常常可以直接分离出自旋波函数,对此看得更为清楚）,从而它表现出是旋量场的一种非定域的性质,这是一种我们尚未从实质上把握的拓扑性质,简单说就是一种未知的超空间的性质（尽管我们早已知晓它的运动规律）.还可参见下节讨论.2.2自旋态及其塌缩的非定域性质EPR佯谬的分析清楚显示,构成自旋EPR对的两个反飞行的粒子,经过足够长的时间之后,它们的空间波包肯定已不再交叠,但它们的自旋态依然彼此关联,各自的自旋取向均依赖于对方而处于一种不确定的状态上.这种关联是一种不依赖于空间变数的关联,一种非定域的关联,一种超空间的关联.一旦对其中某一粒子进行自旋取向测量,使其产生塌缩,比如塌缩向上,则另一粒子虽处于遥远而未知的地方,也将瞬时地发生自旋态朝下的塌缩.这里不存在什么“自旋态塌缩波”的“空间传播”,而是发生着一种瞬时的、非定域的、不可阻断的、也就是超空间的关联塌缩.上面已经指出,这种非定域的关联塌缩揭示出自旋态的拓扑性质.它最清楚地表明了,自旋和自旋态是该粒子的量子场的一种整体拓扑性981第4期张永德:

量子测量与时空塌缩质,是不能以定域的方式加以描写的.从空间定域的观点来看,由于测量导致非定域自旋态的塌缩,它把空间的广延性也塌缩掉了.2.3空间波函数塌缩的非定域性质如果说,自旋态及其塌缩的空间非定域性质早已为人们所注意的话,空间波函数塌缩的非定域性质还远未引起人们应有的重视.事实是,当人们对一个粒子的空间波函数进行某种测量时,塌缩将导致其空间波函数的改变,比如从（x）（x）.显然,这是涉及整个空间分布的改变,而不是局域变化和局域变化在空间中的传播.就是说,这里同样也不存在局域发生的“空间波函数的塌缩波”的“空间传播”,而是一种全空间的、瞬时的、不可阻断的、也就是超空间的突变.据此完全可以说,空间波函数测量所产生的塌缩同样也具有非定域的性质.3量子Zeno效应和量子力学公设之间的关连时间均匀流淌性的停滞3.1含时系统初始衰变率的一个普遍结论2对于包括粒子衰变在内的任何含时系统,一般可写成（=1）id|（t）dt=H（t）|（t）|（t）|t=0=|（0）（3-1）可以普遍证明:

任一含时系统初始时刻的衰变（或跃迁）速率必为零.就是说,有dP（t）dt|t=0=0P（t）=|2（3-2）这里,P（t）是演化到t时刻系统仍存活（或保持）在初态的几率.证:

由于d|（t）dt=1iH（t）|（t）和d（t）|dt=-（t）|1iH（t）于是dP（t）dt=+dd=1i-1i令t0取极限,即得dP（t）dt|r=0=0（3-3）这是含时系统的一个普遍结论,当然也是各类含时微扰论的共同特征.从表面上看,这里的量子力学结论和放射源负指数衰减的统计规律互相抵触.然而,后者是描述处于统计平衡的量子系统（在时间上“先先后后”被制备出的大量同一种不稳定粒子）,因而在dt时间内的衰变数dN必定正比于当时的粒子数N,并且可以认为这个比例系数（一般它应当与该粒子已存活的时间无关,但对长长短短的存活时间作了统计平均后可以假定它为常数）与t无关,这样一来对t积分自然就得到负指数衰减的统计规律;

与此相对照,前者是假定“在同一时刻”被制备出的（大量同一种不稳定）粒子的衰变规律,每一时刻粒子的衰变几率（也即这个比例系数）一般和它已经存活的时间有关.由于两者研究的量子系统不同,并不相互矛盾.3.2量子Zeno效应存在性的理论论证2理论研究发现,频繁地对一个不稳定系统进行量子测量将会抑制或阻止它的衰变（或跃迁）.极端而言,连续的量子测量将使不稳定系统稳定地保持在它的初态上,完全不发生衰变或跃迁.这种不稳定初态的存活几率随测量频率增加而增加的现象就是量子Zeno效应6.这个效应其实就是量子测量理论的Schrdinger方程的一个直接推论,是一个不存在经典对应的纯量子现象.应当强调指出,这里的量子测量是完整意义上的量子测量,也即上一节所论述的那一类可以分解为谱分解、随机坍缩和初态演化三个阶段的量子测量.设一个含时量子系统的初态为|（0）,按照Riemann-Lebesque定理,随着这个不稳定系统的演化,其初态的存活几率P（t）=|2将越来越小.当然,这个P（t）按它的物理含义应当只适用于自t=0开始演化之后,直到t时刻才执行检验初态存活与否的量子测量,在（0,t）时间间隔内不另进行任何这类量子测量.现在问:

如果在（0,t）之间再附加若干次这类量子测量,到t时刻初态存活几率的实测值会不会发生变化?

下面根据量子测量理论所作的分析表明,这时初态存活几率的实测值应当增加.具体如下:

将0,t区间等分为N份,在每一时刻tn=ntN进行一次量子测量,以确认体系是否仍在|（0）上.按上面关于P（t）含义的叙述,第一次在tN时刻测量时,初态存活几率为P（tN）.按测量理论,除跃091云南民族学院学报（自然科学版）第9卷迁或衰变掉的已经不予计入以外,剩下的这P（tN）部分将坍缩成为初态|（0）,并以此时刻tN为初始时刻再次重新开始演化,演化到2tN时刻,再次作类似测量,于是,经两次测量后到2tN时刻,总计的初态存活几率成为P（tN）2.如此继续推论下去,最后可得:

在0,t内经受N次等时间隔的测量后,初态|（0）的存活几率为PN（t）=P（tN）N（3-4）当N足够大时tN足够小,可将P（tN）展开并保留到一阶项P（tN）1+P（0）tN如果令N,就过渡到在0,t内为连续测量的理想极限情况.设这时存活几率为Pc,有Pc=limN（1+P（0）tN）N=eP（0）t（3-5）利用上面1中的结论:

P（0）=0,最后得到Pc=1（3-6）这就是说,一个不稳体系在经受连续量子测量时,会一直处于它的初态而不发生（本应发生的）衰变或跃迁.当然,尽管连续测量在原则上是存在的,但实验上常常不易实现,因此应当给出有限次测量情况下的结果.为此,将上面P的展开式近似到二阶项,P（tN）1+12P（0）t2N2注意P（0）=-20|H（0）2|00）在物理的条件下是单调上升的,即可得知:

关于存活几率与测量次数之间有如下不等式关系,PN2（t）PN1（t）,（当N2N1）（3-7）于是,实验检验此效应是否存在只需做到:

对于给定的区间0,t,用不同分次的实验来检验这个不等式即可.应当指出,以上关于量子测量及相关的讨论当然是理想化的、概念性的.尽管如此,上面叙述还是足以令人相信:

量子Zeno效应揭示,在量子测量过程中时间实际上是停滞了,就是说,量子测量导致时间的塌缩7!

这一深邃而难以捉摸的现象竟然直接蕴含在量子理论的公设,特别是第三公设（测量公设）、第四公设（Schrdinger方程公设）这两个公设之中,这是令人兴奋而又使人费解的.4量子态的超空间传送（量子Teleportation及Swapping）空间均匀广延性的塌缩4.1QuantumTeleportation的六人方案81993年Bennett等六人开创性的提出了量子态的Teleportation这一概念,并设计了如下的单个两能级量子态的teleportation方案.Alice和Bob两人分开不定的一段距离.a.现状是:

Alice有粒子1和粒子2.其中粒子1处于信息态:

|1=|01+|11,（,）（4-1）、是Alice本人也不知道的任意两个未知的复系数（满足归一条件）需要传送的信息.Bob有粒子2.这里,粒子2与粒子3组成一个纠缠态Bell基中的|-23,它们构成Alice和Bob之间的一条量子通道,|-23=12（|02|13-|12|03）于是,这三个粒子的总状态为|123=2（|01|02|13-|01|12|03）+2（|11|02|13-|11|12|03）（4-2）现在的任务是:

Alice要将粒子1的|1量子态（信息态,实质是、两个系数）传给Bob,使他手中的粒子3的状态成为|3|03+|13.b.开始动作是:

Alice对手中的粒子1和2作关于Bell基的联合测量,这相当于用下面的粒子1和2的完备基|12=12（|01|12|11|02）|12=12（|01|02|11|12）对|123作展开,可得|123的展开式为|123=12|-12（-|03-|13）+|+12（-|03+|13）+|-12（|13+|03）+|+12（|13-|03）并产生态的塌缩.这些随机塌缩（投影）的结果有四种,它们的几率相等.c.接下来,Alice用经典办法广播测量结果.d.Bob根据Alice的广播,来选择对手中粒子3所作的幺正变换,最终实现未知量子态的转移:

|1|3.这四种情况是:

第一种情况,若Alice宣布她得到|-12（即|191第4期张永德:

量子测量与时空塌缩123坍缩到展式的第一项）,与此相应,Bob手上粒子3的态必定关联坍缩为（|03+|13）.这时Bob无须作任何操作即可获得（Alice手上粒子1原先所处的）信息态.第二种情况,若Alice宣布测得|+12（即|123坍缩到展式的第二项）,则粒子3的态必定关联坍缩为（-|03+|13）.这时Bob只要对手中的粒子3施以z变换,z（-|03+|13）=100-1-3=|03+|13,他就可以获得Alice手中的信息态.第三种情况,若Alice宣布测得|-12（即|123坍缩到展式的第三项）,则粒子3的态必为（|13+|03）.这时Bob对粒子3施以z变换,x（|13+|03）=01103=|03+|13Bob就能得到信息态.第四种情况,Alice宣布测得|+12（即|123坍缩到展式的第四项）,粒子3的态必为（|13-|03）.这时Bob对粒子3施以y变换y（|13-|03）=0-ii0-3=i（|03+|13）即可获得信息态.4.2QuantumTeleportation的几点注记:

a.过程不违背非克隆定理9.Alice手上的粒子1在测量后已不处于原来状态.过程只是原来信息态的转移（1#3#）,不是信息态的复制.b.不存在信息的瞬时传递Bob必须等候收听Alice测量的结果.所以不违背狭义相对论原理.这一过程中信息分为两部分:

量子信息（瞬时的超空间的传递,见下）和经典信息（光速）.最终信息传递速度光速.注意,Bob在收听之前,甚至不知道Alice做了测量与否,更谈不上知道Alice的测量结果（或自己手中粒子的状态）如何.c.借助交缠态传送量子信息,这是量子交缠的重要实际应用之一.d.贝尔基测量:

Hadamard门加C-NOT操作.目前只能实验证认两个Bell基.此实验首次于1997年由Bowmeester、潘建伟和Zeilinger等人所实现10.e.这个Teleportation方案可以从理论上推广.对于n个粒子每个粒子有s个能级的普遍情况,以及受控的Teleportation方案均已拟出11.4.3量子纠缠交换（EntanglementSwapping）实验量子纠缠是量子理论中又一个具有基本特征性的实验现象.从前以为,只有通过相互作用才能产生它.现在,这个实验表明,它既可以在无直接相互作用的情况下以间接方式产生,又可以通过超空间方式来制造和传递.众所周知,在给定一组基矢之后,任一量子态的基本特征是展开式中各项系数以及各项间的纠缠方式这两点（后者还依赖于前者）.因此,任一量子态的超空间传送也就归结为这两种内容的传送.关于这一点,最简单的原型是量子Teleportation实验;

关于第二点,最简单的原型便是Sweapping实验.由于量子纠缠的形式有无限多种,所以量子纠缠的超空间传送也就有无限多种.最简单的一种就是现在常说的entanglementswapping.这个方案的原理很简单,如下:

Alice是发送者,她与两个可能相距很远（并且可能也不知道他们在何处）的接收者Bob和Charlie分别共享两对EPR粒子（1和2）和（3和4）.其中粒子1为Bob所有,粒子2和3为Alice所有,粒子4为Charlie所有.于是构成了Alice-Bob和Alice-Char2lie两个量子通道.由于态|-便于实验辩认（见下面叙述）,选取两个EPR对均为态|-.于是系统的初始态矢为|1234=|-12|-34=12（|01|12-|11|02）（|03|14-|13|04）（4-4）对于光子情况,这里的|0和|1分别表示极化方向为垂直|V和水平|H的态.此时Alice对手中粒子2和3执行Bell基的联合测量.这相当于将（4-4）式按粒子2和3的Bell基|23和|23展开|1234=12+14|+23-|-14|-23-|+14|+23+|-14|-23并且向四项中的任一项作等几率的随机塌缩（投影）.如果粒子2和3的状态塌缩向|+23,粒子1和4便塌缩向|+14;

|-是四个基中唯一一个极化状态为反对称的基,其余均为对称的.由于光子是玻色子,双光子态的总波函数必定是对称的,既然总自旋态是反对称的,总的空间波函数就必定也是反对称的.当两个入射光子入射到分束器（beamsplitter）时,出射的两个光子必定分开出现在分束器的两个不同的出射端.于是,在分束器后的不同出射端放置两个探测器并计录它们的符合计数,这样的实验安排就等于只探测四个Bell中的|-.在此基础上,按理整个实验是对|-23和|-14态中的两对光子进行四重符合计数.但由于他们的实验是着重说明:

在对光子2

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