矩阵的特征值和特征向量的应用研究资料下载.pdf

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若?

是n阶矩阵A的特征值,非零向量x为A对应于特征值?

的特征向量,则k?

a?

+b,?

m,1/?

A/?

f（?

）是kA,aA+bI,Am,A-1,A*,f（A）的特征值;

非零向量x是kA,aA+bI,Am,A-1,A*,f（A）对应于特征值k?

）的特征向量.证?

由于?

是A的特征值,x是A对应于?

的特征向量,则有Ax=?

x,

（1）那么:

1）在

（1）式两端同时左乘系数k得kAx=k?

x,即（kA）x=（k?

）x.所以k?

是方阵kA的特征值,且向量x是方阵kA对应于特征值k?

的特征向量.2）由于（aA+bI）x=aAx+bx=a?

x+bx=（a?

+b）x,所以a?

+b是方阵aA+bI的特征值,且向量x是方阵aA+bI对应于特征值a?

+b的特征向量.3）由于A2x=A（Ax）=A（?

x）=?

（Ax）=?

（?

2x,A3x=A（A2x）=A（?

2x）=?

2（Ax）=?

2（?

3x,?

Amx=A（Am-1x）=A（?

m-1x）=?

m-1（Ax）=?

m-1（?

mx.所以?

m是方阵Am的特征值,且向量x是方阵Am对应于特征值?

m的特征向量.4）在

（1）式两端同时左乘A-1得A-1Ax=A-1?

x,即x=?

（A-1x）,有A-1x=1?

x成立.所以1?

是方阵A-1的特征值,且向量x是方阵A-1对应于特征值1?

的特征向量.5）在

（1）式两端同时左乘A*得A*Ax=A*?

x,由于A*=AA-1,那么A*Ax=Ax=?

（A*x）,即有A*x=A?

x成立.所以A?

是方阵Am的特征值,且向量x是方阵Am对应于特征值A?

的特征向量.202006年?

菏泽学院学报?

第5期?

收稿日期:

2006-03-20作者简介:

邵丽丽（1979-）,女,山东曹县人,硕士,研究方向:

软件工程与人工智能.?

6）设f（x）=anxn+an-1xn-1+?

+a1x+a0,则f（A）=anAn+an-1An-1+?

+a1A+a0,?

f（A）x=anAnx+an-1An-1x+?

+a1Ax+a0x=an?

nx+an-1?

n-1x+?

+a1?

x+a0x=an?

n+an-1?

n-1+?

+a0x=f（?

）x.上面的证明用到了3）的结论,由f（A）x=f（?

）x可知f（?

）是f（A）的特征值,且向量x是f（A）对应于特征值f（?

）的特征向量.例1?

已知矩阵A=122212221,求:

A5-4A4-2A+I的特征值和特征向量.分析?

本题是求矩阵A的多项式的特征值和特征向量,若按一般思路求解,则需计算A的5次幂并进行多项式运算,再求其特征值和特征向量,计算量非常大;

但若利用6）的结论,计算变的很简单.解?

矩阵A的特征多项式det（A-?

I）为:

A-?

I=1-?

2221-?

=（5-?

）（1+?

）2.令det（A-?

I）=0,得矩阵A的特征值为?

1=5,?

2=?

3=-1.当?

=5时,解齐次方程（A-5I）x=0,即-4222-4222-4x1x2x3=000.得其通解为x1,x2,x3T=t1,1,1T,其基础解系中只含有一个解向量x1=1,1,1T,x1即为特征值?

=5所对应的特征向量.当?

=-1时,解齐次方程（A+Ix）=0,即222222222x1x2x3=000.得通解为x1,x2,x3T=t1-1,1,0T+t2-1,0,1T,其基础解系中含有两个线性无关的解向量:

x2=-1,1,0T,x3=-1,0,1T,即为特征值?

3=-1所对应的特征向量.设?

f（A）=A5-4A4-2A+I,则f（?

）=?

5-4?

4-2?

+1,即为f（A）的特征值.当?

1=5时,f（?

）1=616;

当?

3=-1时,f（?

）2,3=-2于是A5-4A4-2A+I的特征值为616,-2,-2,对应的特征向量为仍然是x1,x2,x3.2?

n阶矩阵的高次幂的求解?

当n阶矩阵A可对角化时,即矩阵A可与对角阵相似时,计算其高次幂Ak有简单的方法,当n阶矩阵A满足下面的四个条件之一时,即可对角化,即A=P?

P-1,?

n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量;

n阶矩阵A有n个互不相等的特征值;

n阶矩阵A的每个特征值?

均有?

=m?

即特征值的几何常数等于其代数常数;

A为实对称矩阵.对于A=P?

P-1,P=x1,x2,?

xn是由A的n个特征向量组成的矩阵.?

=diag（?

1,?

2,?

?

n）是由A的n个特征值构成的对角阵.那么有:

Ak=（P?

P-1）k=P?

P-1?

P?

P-1=P?

（P-1P）?

kP-1,其中?

k=diag?

k1,?

k2,?

kn,故Ak=Pdiag?

knP-1.例2?

已知矩阵A=122212221,求Ak（其中k为正整数）.212006年?

邵丽丽:

矩阵的特征值和特征向量的应用研究?

第5期?

分析?

矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的,这里因矩阵A为实对称矩阵,故可对角化,可按上面讨论的方法求之.解?

因为AT=A,所以矩阵A为实对称矩阵,故矩阵A可对角化为?

.由例1知:

矩阵A的3个特征值为?

1=?

2=-1,?

3=5,其对应的特征向量为x1,x2,x3.故对角阵?

=diag（-1,-1,5）,P=x?

x2?

x3=101011-1-10,且P-1=132-11-12-1111.又P-1AP=?

=diag（-1,-1,5）,那么有A=P?

P-1,则?

Ak=P?

kP-1=13101011-1-11（-1）k000（-1）k0005k2-1-1-12-1111=132（-1）k+5k（-1）k+1+5k（-1）k+1+5k（-1）k+1+5k2（-1）k+5k（-1）k+1+5k（-1）k+1+5k（-1）k+1+5k2（-1）k+5k.3?

矩阵特征值反问题的求解?

矩阵特征值反问题的求解2,即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵A有n个互不相等的特征值时,A必有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A必可对角化,故A=P?

P-1,其中相似变换矩阵P由A的n个线性无关的特征向量组成.例3?

设3阶方阵A的特征值为?

1=1,?

2=0,?

3=-1,对应的特征向量分别是:

x1=1?

2?

2T,x2=2?

-2?

1T,x3=-2?

-1?

2T,求A.分析?

此题给出了矩阵的3个不相同的特征值及其对应的特征向量,那么矩阵可对角化,显然是矩阵特征值的反问题,可按上面讨论的方法求之.解?

由于xi（i=1,2,3）是方阵A对应于特征值?

i（i=1,2,3）的特征向量,于是有:

Axi=?

xi,令P=x1?

x3=12-22-2-1212,那么P-1=191222-21-2-12,则有AP=P?

其中?

=10-1.由上式可得A=P?

P-1=13-102012220,即为所求.4?

结语?

矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便地求得n阶矩阵A的逆矩阵、伴随矩阵、及A的多项式等的特征值和特征向量,并可巧妙地求出A的高次幂.关于矩阵特征值的反问题,本文仅做了初步探讨,但确是一个重要的研究方向,在数学物理反问题的离散化,粒子物理的核光谱学、振动反问题等领域上都有着具体的应用.222006年?

参考文献:

1?

谢国瑞.线性代数及应用M.北京:

高等教育出版社,1999.2?

戴华.矩阵特征值反问题的若干进展J.南京航空航天大学学报,1995,27（3）:

400-413.AResearchontheApplicationofEigenvalueandEigenvectorofMatrixSHAOLi?

li（ComputerandInformationEngineeringDepartment,HezeUniversity,Heze,Shandong,274015China）Abstract:

Bythestudyingofeigenvalueandeigenvectorofmatrix,thisarticlediscussestheapplicationoftheirthreeas?

pectsduetoeigenvalueandeigenvectorofmatrix.Andalso,thedemonstrationofinterrelatedpropositionandtherelevantexamplesareintroduced.Keywords:

matrix;

eigenvalue;

eigenvector（上接第14页）AStudyonProgrammingModelofHumanResourcesinReservoirManagementSONGJie?

kun1,ZHANGZai?

xu1,ZHANGYu2（1.SchoolofEconomicsandManagement,UniversityofPetroleumofChina,Dongying,Shandong257061,China;

2.FinancialAssetsCenterofDongxinProductionUnit,ShengliOilfield,Dongying,Shandong257091,China）Abstract:

Humanresourcesprogramisthekeytoreservoirmanagement.Astochasticchance-constrainedprogrammingmodelisputforwardforhumanresourcesprogram,whichusesthemaximumofoiloutputasobjectiveandtakesbothcostandhumanrequirementintoaccount,andtheprocessofitshybridintelligentalgorithmisprovidedatthesametime.Arealexampletestifiestheefficiencyofthismethod,whichprovidesascientificdecisionbasisforhumanresourcesprograminreservoirmanagement.Keywords:

reservoirmanagement;

humanresources;

stochasticchance-constrainedprogramming232006年?

第5期