数值分析第六章学习小结.doc

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第六章数值积分

--------学习小结

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一、本章学习体会

本章主要讲授了数值积分的一些求积公式及各种求积公式的代数精度，重点应掌握插值型求积公式，什么样的求积公式可以被称为插值型求积公式，Newton-Cotes求积公式及其收敛性与数值稳定性，复化求积公式和高斯求积公式，在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种求积公式，来达到最精确的结果。

二、本章知识梳理

6.1求积公式及其代数精度

代数精度的概念：

如果求积公式（6.1）当f（x）为任何次数不高于m的多项式时都成为等式,而当f（x）为某个m+1次多项式时（6.1）不能成为等式,则称求积公式（6.1）具有m次代数精度。

6.2插值型求积公式

（1）求积公式：

（2）重要的定理：

n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数度。

（3）求积系数：

6.3Newton-Cotes求积公式及其收敛性与数值稳定性

（1）公式：

（2）截断误差：

（3）重要的定理：

当n为偶数时,n+1个节点的Newton-Cotes求积公式至少具有n+1次代数精度。

（4）常用的Newton-Cotes求积公式

n=1梯形公式：

余项：

，具有一次精度。

n=2Simpson公式：

余项：

，具有三次精度。

6.4复化求积法

（1）复化梯形公式：

截断误差：

（2）复化Simpson公式：

截断误差：

6.5Gauss型求积公式

（1）定义：

若n个节点的插值型求积公式（6.23）具有2n-1

次代数精度,则称它为Gauss型求积公式。

（2）定理：

n个节点的Gauss型求积公式的代数精度为2n-1。

（3）定理：

设是区间[a,b]上带权的正交多项式系,则求积公式（6.23）、式（6.24）是Gauss型求积公式的充分必要条件是它的求积节点是n次正交多项式的n个零点。

（4）求积系数

公式：

性质：

1.

2.

（5）求积公式的构造

第一步：

找高斯点

1）待定系数法：

设由正交性确定待定系数a,b,c,…..

2）利用递推公式

第二步：

确定求积系数

1）解线性方程组

2）

三、本章思考题

1.插值型求积公式有何特点？

答：

插值型求积公式主要用于计算定积分的值。

数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。

（n+1）个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n。

用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。

在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。

2.复化求积公式的误差是如何估计的？

答：

对于复化梯形公式可根据其截断误差公式，首先求得，然后求的二阶倒数，判断的二阶倒数的单调性，然后在积分区间上求得的二阶倒数的最大值就可以估计复化求积公式的误差，利用估计出的复化求积公式的误差还可以求得用复化梯形公式近似求解某一积分的有效数字有多少位。

对于复化Simpson公式方法同估计复化梯形公式的误差，只是截断误差公式有所改变，此时需求出的四阶倒数然后判断其最大值。

四、本章测验题

问题：

如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差不超过，试问n至少取多少？

解：

复化的梯形公式的截断误差为：

，而，

将以上各式代入可得：

解上述方程得，取，所以n至少取41。