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级注册结构工程师基础考试结构力学教程

一级注册结构工程师基础考试结构力学教程

第一节平面体系的几何组成分析

按照机械运动及几何学的观点，对平面结构或体系的组成情况进行分析，称为平面体系的几何组成分析。

一、名词定义

（一）刚片和刚片系

不会产生变形的刚性平面体称为刚片。

在体系的几何组成分析中，不考虑杆件微小的应变，这种不计应变的平面杆件就是刚片，由刚片组成的体系称为刚片系。

（二）几何可变体系和几何不变体系

当不考虑材料的应变时，体系中各杆的相对位置或体系的形状可以改变的体系称为几何可变体系。

否则，体系就称为几何不变体系。

一般的实际结构，都必须是几何不变体系。

（三）自由度、约束和对象

物体运动时的独立几何参数数目称为自由度。

例如一个点在平面内的自由度为2，一个刚片在平面内的自由度为3。

减少体系独立运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。

使体系减少一个独立运动参数的装置称为一个约束。

例如一根链杆相当于一个约束；一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束；一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束；一个连接n个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。

一个平面体系的自由度w可按下式确定

W＝3n—2H—R

其中n为体系中的刚片总数，H、R分别为体系中的单铰总数和支杆总数。

例如图1－1所示体系的自由度分别为1和0。

自由度大于零的体系一定是几何可变的。

自由度等于零及小于零的体系，可能是几何不变的也可能是几何可变的，要根据体系中的约束布置情况确定。

（a）（b）

图1－1

（四）必要约束和多余约束

如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。

如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。

平面内一个无铰的刚性闭合杆（或称单闭合杆）具有三个多余约束。

（五）等效代替

1．等效刚片

几何组成分析时，一个内部几何不变的平面体系，可用一个相应的刚片来代替，此刚片称为等效刚片。

2．等效链杆

几何组成分析时，一根两端为铰的非直线形杆件，可用一根相应的两端为铰的直线形链杆来代替，此直线形链杆称为等效链杆。

3．虚铰

连接两个刚片的两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为虚铰（如图1－2）。

两根链杆对两个刚片运动的约束效果与相应的虚铰是等效的。

（a）（b）

图1－2

二、平面体系的几何组成分析

（一）平面几何不变体系的基本组成规则及瞬变体系、常变体系

判定体系是否满足几何不变的充分条件是几何不变体系的基本组成规则。

1．两刚片连接规则

两个刚片用不相交于一点或不互相平行的三根链杆连接成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。

2．三刚片连接规则

三个刚片用三个不在一条直线上的单铰（虚铰或实铰）两两相连而成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。

两刚片、三刚片连接规则实际上是可以相互变换沟通的。

3．两元片和一元片规则

由上述两刚片、三刚片连接规则可得如下的两元片和一元片规则。

由两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的装置称为两元片；由三根不相交于一点的链杆连接一个刚片的装置称为一元片。

在一个体系上增加或去除两元片、一元片，不影响原体系的几何不变性或可变性。

4．瞬变体系和常变体系

只能作微小运动的体系称为瞬变体系。

例如图1－3所示的体系均为瞬变体系。

能作非常微小运动的体系称为常变体系。

如一个实铰连接两个刚片的体系及用三根等长且都平行的链杆连接两个刚片的体系都是常变体系。

（a）（b）（c）

图1－3

（二）几何组成分析例题

[例1－1]分析图1－4（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

图1－4

[解]体系的自由度W＝3×3-2×2-5＝0。

根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片Ⅱ（图1－4（b）），刚片I和Ⅱ由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。

[例1－2]分析图1－5（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

图1－5

[解]体系的自由度W=3×10—2×12—6＝0。

将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片Ⅱ、Ⅲ（图1－5（b）），则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由三个虚铰（IⅡ）、（IⅢ）、（ⅡⅢ）两两相连，其中虚铰（ⅡⅢ）由一组平行链杆形成，而虚铰（IⅡ）、（IⅢ）的连接线平行于形成虚铰（ⅡⅢ）的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。

[例1－3]分析图1－6（a）所示体系的几何组成。

[解]体系的自由度W＝3×8—2×10-4=0。

根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片Ⅱ，DB杆作为刚片Ⅲ，这三个刚片由三个虚铰（IⅡ）、（IⅢ）、（ⅡⅢ）两两相连，如图1－6（b）所示。

因形成无穷远处的两个虚铰（IⅢ）、（ⅡⅢ）的两组平行链杆不相互平行，故体系是无多余约束的几何不变体。

（a）（b）

图1－6

[例1－4]分析图1－7（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

图1－7

[解]体系的自由度W＝3×9—2×12—3＝0。

根据一元片规则，去除图1－7（a）所示体系的一元片，得图1－7（b）所示体系。

再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、Ⅱ、ⅡⅢ，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰（IⅡ）、（IⅢ）、（ⅡⅢ）两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系（无穷远处的三个点在一广义直线上）。

第二节静定结构受力分析和特性

一、静定结构的定义

静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

在任意荷载作用下，其全部支座反力和内力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力的解答是唯一的。

但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。

二、计算静定结构反力和内力的基本方法

在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都作为刚体看待。

静定结构受力分析的基本方法有以下三种。

（一）数解法

将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。

（二）图解法

静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。

其中闭合力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平衡方程。

据此即可用图解法确定静定结构的支座反力和内力。

（三）基于刚体系虚位移原理的方法

受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的虚功总和等于零。

据此，如欲求静定结构上某约束力（反力或内力）时，可去除相应的约束，使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。

三、直杆弯矩图的叠加法

绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。

直杆弯矩图的叠加法可叙述为：

任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2－1所示。

作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。

（a）（b）

图2－1

四、直杆内力图的特征

在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV／dx＝q，dM／dx＝V、d2M／dx2＝q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征（表2—1）。

表2—1

梁上情况

无外力区段

均布力q作用区段

集中力P作用处

集小力偶M。

作用处

铰处

剪力图

水平线

斜直线

为零处

有突变（突变值＝P）

如变号

无变化

弯矩图

一般为斜直线

抛物线（凸出方向同q指向）

有极值

有尖角（尖角指向同P指向）

有极值

有突变（突变值—M。

）

为零

注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。

熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。

五、静定多跨梁

（一）静定多跨梁的组成

由中间铰将若干根单跨梁相连，并用若干支座与地基连接而成的静定梁，称为静定多跨梁。

图2—2（a）、图2—3（a）所示为静定多跨梁的两种基本形式，也可由这两种基本形式组成混合形式。

图2—2（a）中的AB杆与基础组成的几何不变体能单独承受荷载，称为基本部分。

而其余的CD、EF部分，则必须依靠基本部分才能保持为几何不变，称为附属部分。

图11—2-2（b）为表示这种基本部分与附属部分关系的层叠图。

图2－2

图2—3（a）所示的梁，在竖向荷载作用下，AB、EF部分为基本部分，CD则为附属部分，其层叠图如图2—3（b）所示。

图2－3

静定多跨梁的支座反力数等于三个整体静力平衡方程数与连接杆件的单铰数之和。

（二）静定多跨梁的计算

因为作用在基本部分上的荷载对附属部分的内力不产生影响，而作用在附属部分上的荷载，对支撑它的基本部分要产生内力，因此，静定多跨梁的内力计算，一般可按以下步骤计算。

1．区分基本部分和附属部分，绘出层叠图。

2．根据层叠图，从最上层的附属部分开始，依次计算各单跨梁的支座反力井绘制内力图。

在计算中要将附属部分的反力传至支撑它的基本部分。

3．对反力和内力图进行校核。

支座反力一般可根据静定多跨梁的整体平衡条件校核。

弯矩图、剪力图一般可根据表2－1中M图与y图的形状特征进行校核，也可以从梁中截取任一隔离体由平衡条件校核。

[例2－1]求作图2－4（a）所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。

图2－4

[解]层叠图如图2－4（b）所示。

各附属部分、基本部分的计算过程如图2－4（c）所示。

弯矩图和剪力图分别如图2－4（d）所示。

其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。

容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。

但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。

六、静定平面刚架

部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。

各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。

静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接处的约束力，再由截面法求出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。

[例2－2]绘制图2－5（a）所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。

图2－5

[解]

（1）计算支座反力

根据刚架的整体平衡条件，由

ΣX＝0，得HA＝4qa；

ΣMA＝0，得VB＝2qa；

ΣY＝0，得VA＝2qa。

（2）计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。

由截面法可得各杆端截面的内力值为：

AC杆：

MAC＝0，MCA＝16qa2（左侧受拉）；VAC＝4qa，VCA＝—12qa；NAC＝2qa，

NCA＝2qa（轴力以拉力为正）。

BE杆：

MBD＝0，MDB＝18qa2（右侧受拉）；VBD＝—1.2qa，VDB＝8.4qa；NBD＝—1.6qa，NDB＝—8.8qa。

CD杆：

MCD=16qa2（上侧受拉），MDC=24qa2（上侧受拉）；VCD＝—2qa，VDC＝—2qa；

NCD＝—12qa，NDC＝—12qa。

（3）作弯矩、剪力、轴力图

根据上述计算结果及各杆的荷载情况，应用直杆弯矩图的叠加法，并按照内力图的特征，就可作出刚架的M、V、N图，分别如图2

—5（b）、（c）、（d）所示。

（4）校核

为校核平衡条件，可任取刚架的某些局部为隔离体，如图2－5（e）所示的隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：

ΣX＝0；

ΣM＝0；

ΣY＝0。

图2—5（f）所示结点D隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：

ΣX＝0；

ΣMD＝0；

ΣY＝0。

七、三铰拱和三铰刚架的内力计算

图2—6（a）所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为拱形结构。

而图2—6（b）所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结构称为曲梁。

图2—6（c）所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它是工程中常用的静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故有时做成图2—6（d）所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。

图2－6

三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。

与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。

三铰拱的有关术语表示在图2—6（c）中，工程中常用的矢跨比f／l=0.5～1，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。

（一）三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算

拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。

支座反力

由图2—7（a）所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰C处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为

VA＝VA0（2—1）

VB＝VB0（2—2）

HA＝HB＝H＝MC0／f（2—3）

式中VA0、VB0、MC0分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁（简称为三铰拱的代梁，图2—7b）支座A、B处的支座反力及截面C的弯矩。

式（2—3）表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。

当荷载与拱跨不变时，推力H与矢高f成反比，f愈大即拱愈高时H愈小，f愈小即拱愈平时H愈大。

若f＝0，则H为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。

取图2—7c所示的隔离体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面D的弯矩、剪力、轴力计算公式为

MD＝MD0—HyD（2—4）

VD＝VD0cosφD－HsinφD（2—5）

ND＝VD0sinφD＋HcosφD（2—6）

式中MD、VD、ND的正方向如图2—7c所示，MD0、VD0为代梁D截面的弯矩、剪力，yD、φD的含意如图2—7a所示。

在图示坐标系中，φD在左半拱内为正，在右半拱内为负。

三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多边形及压力线（索多边形）来确定其内力。

图2－7

（二）三铰拱的合理拱轴

在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。

图2－8

三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式（2—4）等于零，得合理拱轴方程为

y＝M0／H（2—7）

图2—8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式（2－7）推导如下：

按图2—8a所示坐标系，将代梁（图2—8b）的弯矩方程

M0＝qx（l－x）／2

及拱的水平推力

H＝MC0／f＝ql2／8f

代人式（2—7）得拱的合理拱轴方程为

y＝4fx（l－x）／l2（2—8）

顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线；在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。

（三）三铰刚架的内力计算

分析图2—9a所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。

1．计算支座反力

计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰C处弯矩等于零的条件。

经计算得

HA＝1.33qa；VA＝24qa

HB＝13.33qa；VB＝46qa

2．计算各杆端截面内力并绘制内力图

支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方法都是相同的，得出的M、V、N图，分别如图2－9b、c、d所示。

（d）

图2－9

八、静定平面桁架

（一）理想平面桁架的假定及其按几何组成的分类。

理想桁架应满足下面三个假定：

1．各结点均为无摩擦的理想铰；2．各杆件轴线均为直杆，且各通过铰的几何中心；3．荷载都作用在结点上。

如图2—l0a、b、c所示平面桁架均为理想桁架。

符合上述假定的理想桁架的各杆只承受轴向力，横截面上只产生均匀的法向应力，与梁相比，受力合理，用料经济，自重较轻，可跨越较大的跨度。

不符合上述假定的桁架，在杆件中会产生弯曲次应力，理论分析和实验表明，当桁架的杆件比较细长时，这种次应力与由轴力引起的应力相比所占比例不大。

桁架按其几何组成可分为：

简单桁架——从仅由三根杆件组成的三角形铰接单元出发，根据两元片规则，逐次扩展形成的桁架，如图2－10a所示。

联合桁架——由两个或两个以上的简单桁架联合组成的桁架，如图2－10b所示。

复杂桁架——不属于上述两类的桁架，如图2－10c所示。

桁架的有关术语表示在图2－10a中。

（a）

（b）

（c）

图2－10

（二）平面桁架的内力计算

1．节点法

取桁架的节点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件求解各杆内力的方法。

从理论上讲，任何静定平面桁架都可利用节点法求出全部杆件的内力，但为了避免求解联立方程，在每次截取的节点上不应超过两个未知内力。

在简单桁架中，只要按两元片规则，循着各节点形成的顺序或相反的顺序，逐次应用节点法，在每个结点的平衡方程中，最多不会超过两个未知力。

在计算中，有时可利用下面几种节点平衡的特殊情况。

（1）两杆节点上无荷载，两杆内力均为零（图2—11a）；

（2）三杆节点上无荷载，其中在同一直线上的两杆内力相等而方向相反，另一杆内力为零（图2—11b）；

（3）四杆节点上无荷载，且四杆相交成两直线，则处在同一直线上的两杆内力相等，但方向相反（图2—11c）；

（4）四杆节点上无荷载，其中两杆共线而另两杆处于此线的同侧且倾角相同，则处于共线杆同侧的两杆内力等值而反向（图2—11d）。

图2－11

应用上述识别零杆的方法，容易看出图2—12a所示桁架中虚线所示的各杆均为零杆。

图2—12b、c分别为对称桁架承受对称荷载和反对称荷载作用。

根据对称结构在对称荷载（或反对称荷载）作用下，其内力为对称（或反对称）的特点，再根据上述识别零杆的方法，可知图中虚线所示的杆件为零杆。

图2－12

在建立节点平衡方程时，对于斜杆轴力N，常可用其水平分力X或竖向分力Y作为未知数。

再设斜杆长为l，其水平和竖向投影长度分别为lx和ly，则可得

N／l＝X／lx＝Y／ly（2—9）

由上式可从任一分力X或Y求出轴力N，也可由一个分力算出另一分力，以简化计算。

[例2－3]用节点法求图2—13a所示桁架各杆轴力。

图2－13

[解]

（1）求支座反力

由整体平衡条件，得VA＝80kN，HA＝0，VB＝100kN。

（2）求桁架各杆轴力

从只含两个未知力的节点A（或节点B）开始，再依次分析邻近节点。

节点A（图2—13b），设未知轴力为拉力，并采用NA2的水平分力XA2或竖向分力YA2作为未知数，则由

ΣY＝0，得YA2＝－VA＝—80kN

再由式（2—9）得

XA2＝－60kN

NA2＝—100kN

再由ΣX＝0，得NAl＝60kN

节点1（图2—13c），由该节点的平衡条件可得N14＝60kN（拉力），N12＝40kN（拉力）。

依次再考虑节点2、3、4、5、6、7，每—结点不超过两个未知力。

至最后节点B时，各杆轴力均为已知，可据此节点是否满足平衡条件作为内力计算的校核。

各杆轴力计算的结果标注在图2—13a上，拉力为正，压力为负。

2．截面法

截取包含两个节点以上的隔离体，利用平面一般力系的平衡条件求解各杆轴力的方法。

截面法中的一个隔离体，一般只能求解三个未知内力，但如果在一个截面中，除一杆外，其余各杆均相交于一点或相互平行，则该杆轴力仍可在该隔离体中求出。

[例2－4]用截面法求图2—14a所示桁架中a、b、c、d、e各杆的内力。

[解]

（1）求支座反力

由桁架的整体平衡条件得VA＝VB＝1.5P，HA＝0。

（2）求Na、Nb

作截面I—I，取图2—14b所示隔离体，由ΣY＝0，得Na＝—0.5P（压力）；由ΣM2=0，得Nb=2.25P（拉力）。

（3）求NC

在结间34内作竖向截面，取右隔离体，由ΣY＝0，得YC＝0.5P，即NC=0.625P（拉力）。

（4）求Nd、Ne。

作截面Ⅱ—Ⅱ，取图2—14c所示隔离体，由ΣMk＝0，得Nd＝0.25P（拉力）。

再由ΣM4＝0，得Ne＝—2.37P（压力）。

图2－14

图2－15

对于图2—15a所示的桁架，求出支座反力后，再根据其几何组成关系，可知EDCB与E'D'C'A两部分之间，由三根不相交于一点的链杆AE、BE'、CC'相连，故可通过该三杆作截面取图2—15b所示隔离体，由力矩平衡方程先求出NEA（或NBE'或NCC'），进而再求其他各杆轴力。

3．节点法与截面法的联合应用

在桁架内力计算中，有时联合应用节点法和截面法，可使计算得到简化。

图2－16

如拟求图2—16所示桁架斜杆轴力N1，求出支座反力后，可先由节点C的ΣX＝0，得N1与N1'的第一关系式。

再用截面法，由I—I截面一侧隔离体的ΣY＝0，得N1

与N1'的第二关系式。

联立求解两个关系式就可求出Nl。

九、静定组合结构

由轴力杆和受弯杆组成的结构称为组合结构。

计算组合结构内力时，应注意区分轴力杆和受弯杆。

在隔离体上，轴力杆的截面上只有轴力，受弯杆的截面上，一般有弯矩、剪力和轴力。

[例2－5]求作图2—17a所示组合结构的弯矩、剪力、轴力图。

图2－17

[解]此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。

（1）求支座反力

由整体平衡条件，得VA＝VB＝75kN，HA＝0。

（2）通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE＝135kN（拉力）；由ΣY=0，Qc＝—15kN；由ΣX=0，得NC＝—135kN（压力）。

（3）分别由结点D、E的平衡条件，得NDA＝NEB＝151kN（拉力），NDF＝NEG＝67.5kN（压力）。

（4）根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。

（5）M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。

十、静定结构的特性

各种形式的静定结构，具有下述五点共同的特性。

（一）满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力解答是唯一的。

（二）温度改变、支座位移、构件制造误差、材料收缩等因素，在静定结构中均不引起反力和内力。

（三）平衡力系作用在静定结构的某一内部几何不变部分时，只在该几何不变部分产生反力和内力，在其余部分都不产生反力和