an丿
（5）F{n、（sinnx）}；（6）Fy）/a:
°
2.3求x和xf（2x）的傅里叶变换。
2.4求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。
H（）=tri
（1）trk（G（）=rect（/3）rec
2.5证明下列傅里叶变换定理：
（1）在所在f（x,y）连续的点上FF{f（x,y）}=F'{f（x,y）}=f（-x,-y）；
（2）F{f（x,y）h（x,y）=F{f（x,y）}*F（g（x,y）}°
2.6证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：
（1）若fr（r）-（r-r。
），则B{fr（r）}=2n。
」。
（2n。
「）;
（2）若a^r釘时fr（r）=1，而在其他地方为零，贝UB{fr（r）}=」1（2n）—aj1（2启）；
*1fP）
（3）若B{fr（r）}=F（P），贝VB{fr（r）}=p—;
ala丿
⑷B{e-n,eY
2.7设g（r^）在极坐标中可分离变量。
证明若f（r户）二f「（r）e叫，则：
F{f（rj）}=（T）meimHm{fr（r）}
其中Hm{}为m阶汉克尔变换：
Hm{fr（r）}=2rfr（r）Jm（2n'）dr。
而（'，）空间频率中的极坐
标。
（提示：
eiasinx八二
—：
Jk（a）e
ikx
fx—1\p
i'x+3'
（1）recti*6（2x—3）
（2）rect1
12丿
12丿
计算下列各式的一维卷积。
x-1
（3）rect*comb（x）
*、（x-4）*、（x-1）
ITOC'
（4）sinrect（x）
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
试用卷积定理计算下列各式。
用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布
f（x）=2cos（2n0x）
扫描，在狭缝后用光电探测器记录。
求输出强度分布。
利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。
假定缝宽为
计算下面函数的相关。
应用傅里叶定理求下面积分。
7n2
（1）ecos（2^ax）dx
002
（2）sine（x）sin（nx）dx
求函数f（x）=rect（x）和f（x）
=tri（x）的一阶和二阶导数。
试求下图所示函数的一维自相关。
试计算函数f（x）二rect（x-3）的一阶矩。
证明实函数f（x,y）的自相关是实的偶函数，即：
Rff（x,y）二Rff（-x,-y）。
求下列广义函数的傅里叶变换。
（1）step（x）
（2）sgn（x）（3）sin（2n0x）
求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。
⑴H（x）二tri（x1）「tri（x-1）
（2）G（x）二rect（x/3）「rect（x）
2.20表达式
comb
p（x,y）二g（x,y）*comb三（
_x
定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为
X，它在y方向上的周期为Y。
⑻证明p的傅里叶变换可以写为:
其中G是g的傅里叶变换。
（b）
P（,）。
习题3
3.1设在一线性系统上加一个正弦输入：
g（x,y）=cos[2nx•y）]，在什么充分条件下，输出是一个
空间频率与输入相同的实数值正弦函数？
用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。
3.2证明零阶贝塞尔函数2J°（2n°r）是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。
对应的本
征值是什么？
3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。
试
问：
（a）这个系统是线性的吗？
（b）你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？
如果能够，它是什么？
如果不能，为什么不能？
3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布U°（x,y）,其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场
分布Ui（x,y）。
可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间
「亞Bx,|FBy之外恒等于零。
证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体Uo（x,y）,
它与真实物体Uo产生完全一样的像Ui，并且等产供效物体的场分布可写成：
OCIOdr
U°（x,y）=\'Uo（,）sinc（n-2Bx）sinc（m-2BY）dd
joo
3.5定义:
0fif（x,y）dxdy
0HF（今）d®
f（o,o）假
F（0,0厂二
分别为原函数f（x,y）及其频谱函数F（】）的“等效面积”和“等效带宽”
「xy
nm
x_臥,y_2BY
，试证明:
.；xyL「二1
上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。
3.6已知线性不变系统的输入为：
f（x）二comb（x）。
系统的传递函数为rect（/b）。
当b=1和b=3时,
求系统的输出g（x），并画出函数及其频谱。
3.7对一个线性不变系统，脉冲响应为：
h（x）=7sinc（7x）
用频率域方法对下列的每一个输入fi（x），求其输出gi（x）（必要时，可取合理近似）:
（1）f|（x）=cos4n
（2）f2（x）二cos（4n（）rect（x/75）
⑶f3（x）=[1cos（8n）]rect（x/75）（4）f4（x）二comb（x）*rect（2x）
3.8给定正实常数0和实常数a和b，求证:
（1）
若|b|—，则—sinc（x/b）*cos（2
2-0|b|
n0x）二cos（2n0x）
若|b|丄，则—sinc（x/b）*cos（2
2-0|b|
noX）=O
若|b|：
：
|a|，则sinc（x/b）*sinc（x/a）
=|b|sinc（x/a）
（4）若|b|：
：
回，则sinc（x/b）*sinc2（x/a）=|b|sinc2（x/a）
2
1
3.9若限带函数f（x）的傅里叶变换在带宽w之外恒为零，
（1）如果|a|，证明:
w
1
|a|
sin（x（a/）叹=（f）x
（）
（2）如果|a|•丄，上面的等式还成立吗?
w
3.10给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波:
g（x）二1comb（x/3）rect（x/100）*rect（x）
若系统脉冲响应：
h（x）二rect（x—1）。
求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的
图形。
3.11
给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波
g（x）二-comb（x/2）rect（x/50）*tri（x）IL2
对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出:
（1）H（）二rect（/2）
（2）H（）二rect（/4）-rect（/2）
2
3.12若对函数：
h（x）=asinc（ax）抽样，求允许的最大抽样间隔。
3.13证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定
理：
g（x,y）W£glX工匸J
12B2B.丿42n/2B）2+（y-m/2B）2
习题4
4.1尺寸为ab的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：
（1）t（x°,y。
）=circ（Jx：
+y：
）⑵t（X0,y°）=J1,:
科x°+y0，
10,其它
4.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：
t（x0）=abcos（2二x0/d）
式中，d为光栅的周期，ab0。
观察平面与光栅相距z。
当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。
⑶zg
面上，坐标为（0,b）。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强
度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
位于夫琅禾费区，也孔径相距为z。
求衍射图样的强度分布。
用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强
度分布。
单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图
样的强度分布并画出沿y方向截面图。
4.8参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在
（,）点。
采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾
费射图样的光场分布。
画出x'y'O时，孔径频谱在x方向上的截面图。
4.9下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。
采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
假定b=4a及d=1.5a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。
4.10下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即:
t（xo）=step（xo）
采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图
样的复振幅分布。
画出沿x方向的振幅分布曲线。
4.11下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差n。
采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。
画出沿x方向的截面图。
4.12线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。
试对下述条件，分别确定a和d之间的关系：
（1）光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。
（2）光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。
4.13衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：
t（x,y））=combx（a/）coynbb/）comb[aa0.1）y）bcomb（/）
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强
度分布。
画出沿x方向的截面图。
4.14如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。
其折射率为n，齿宽为a，齿形角为：
•，光栅的
整体孔径为边长为L的正方形。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，:
角应如何选择？
4.15衍射零是由mn个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a，其中心在xo方向间距为
dx，在y。
方向间距为dy，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观
察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.16在透明玻璃板上有大量（N）无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a。
采用单
位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
古希腊哲学大师亚里士多德说：
人有两种，一种即吃饭是为了活着”一种是活着是为了吃饭”一个人之所以伟大，首先是因为他有超于常人的心。
志当存高远”，风物长宜放眼量”这些古语皆鼓舞人们要树立雄无数个自
己，万千种模样，万千愫情怀。
有的和你心手相牵，有的和你对抗，有的给你雪中送炭，有的给你烦忧……
与其说人的一生是同命运抗争，与性格妥协，不如说是与自己抗争，与自己妥协。
人最终要寻找的，就是最爱的那个自己。
只是这个自己，有人终其一生也未找到；有人只揭开了冰山的一角，有人有幸会晤一次，却已用尽一生。
人生最难抵达的其实就是自己。
我不敢恭维我所有的自己都是美好的，因为总有个对抗的声音：
你还没有这样的底气。
很惭愧，坦白说，自己就是这个样子：
卑微过，像一棵草，像一只蚁，甚至像一粒土块，但拒绝猥琐！
懦弱过，像掉落下来的果实，被人掸掉的灰尘，但拒绝屈膝，宁可以卵击石，以渺小决战强大。
自私过，比如遇到喜欢的人或物，也想不择手段，据为己有。
贪婪过，比如面对名利、金钱、豪宅名车，风花雪月，也会心旌摇摇，浮想联翩。
倔强过，比如面对误解、轻蔑，有泪也待到无人处再流，有委屈也不诉说，不申辩，直到做好，给自己证明，给自己看!
温柔过，当爱如春风袭来，当情如花朵芳醇，黄昏月下，你侬我侬。
强大过，内刚外柔，和风雨搏击，和坎坷宣战，不失初心，不忘梦想，虽败犹荣。
庸俗的自己，逐流的自己，又兼点若仙的自己，美的自己，丑的自己，千篇一律的自己，独一无二的自己。
我们总想寻一座庙宇，来安放尘世的疲惫，寻一种宗教，来稀释灵魂里的荒凉。
到头来，却发现，苦苦向往的湖光山色，原来一直在自己的心里，我就是自己的庙宇，我就是自己的信仰。
渺小如己，伟大如己!
王是自己，囚是自己。
庙堂是自己，陋室是自己。
上帝是自己，庶民是自己。
别人身上或多或少都投射着一个自己，易被影响又不为所动的自己。
万物的折痕里都会逢到一个缩小版的自己，恍如隔世相逢，因此，会痴爱某一物，也会痛恨某一物的自己。
万事的细节里都会找到自己的影子，或喜或忧的自己。
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