《离散数学》试题及答案.docx

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《离散数学》试题及答案

一、填空题

1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝{3};r（A）-r（B）＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.设有限集合A,|A|=n,则|r（A×A）|=

.

3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是1={（a,1）,（b,1）},2={（a,2）,（b,2）},3={（a,1）,（b,2）},4={（a,2）,（b,1）},其中双射的是3,4.

4.已知命题公式G＝Ø（P®Q）∧R，则G的主析取范式是（P∧Q∧R）

5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.

6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AÇB＝{4};AÈB＝{1,2,3,4};

A－B＝{1,2}.

7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性

传递性.

8.设命题公式G＝Ø（P®（QÙR）），则使公式G为真的解释有（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）

9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R2={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则R1·R2={（1,3）,（2,2）,（3,1）},R2·R1={（2,4）,（3,3）,（4,2）}_R12={（2,2）,（3,3）.

10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||r（A´B）|=

.

11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,xÎR},B={x|0≤x<2,xÎR},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1

A∩B={x|0≤x≤1,xR},.

13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式（列举法）记为

{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.

14.设一阶逻辑公式G="xP（x）®$xQ（x），则G的前束范式是x（P（x）∨Q（x））.

15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21条边才能把G变成完全图。

（完全图的边数

，树的边数为n-1）

16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式"xR（x）→$xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是_（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_.

17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。

则RS＝{（1,3）,（2,2）},

R2＝{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.

二、选择题

1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。

（A）{2}ÎA（B）{a}ÍA（C）ÆÍ{{a}}ÍBÍE（D）{{a},1,3,4}ÌB.

2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性

3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。

（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对

4下列语句中，（B）是命题。

（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人

（C）x+5>6（D）下午有会吗？

5设I是如下一个解释：

D＝{a,b},

则在解释I下取真值为1的公式是（D）.

（A）$x"yP（x,y）（B）"x"yP（x,y）（C）"xP（x,x）（D）"x$yP（x,y）.

6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.

（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.

7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝$xP（x）,H＝"xP（x）,则一阶逻辑公式G®H是（C）.

（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.

8设命题公式G＝Ø（P®Q），H＝P®（Q®ØP），则G与H的关系是（A）。

（A）GÞH（B）HÞG（C）G＝H（D）以上都不是.

9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.

（A）A＝B（B）AÍB（C）BÍA（D）A＝B＝Æ.

10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对

11下列关于集合的表示中正确的为（B）。

（A）{a}Î{a,b,c}（B）{a}Í{a,b,c}（C）ÆÎ{a,b,c}（D）{a,b}Î{a,b,c}

12命题"xG（x）取真值1的充分必要条件是（A）.

（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.

（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.

13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.

（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.

14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.

（A）6（B）5（C）10（D）4.

15.设图G的相邻矩阵为

，则G的顶点数与边数分别为（D）.

（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

解：

（1）

（2）B无上界，也无最小上界。

下界1,3;最大下界是3

（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,9;极小元是1

2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,yÎA且x³y},求

（1）画出R的关系图；

（2）写出R的关系矩阵.

解：

（1）

（2）

3.设R是实数集合，,,是R上的三个映射，（x）=x+3,（x）=2x,（x）＝x/4,试求复合映射•，•,•,•，••.

解：

（1）•＝（（x））＝（x）+3＝2x+3＝2x+3.

（2）•＝（（x））＝（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,

（3）•＝（（x））＝（x）+3＝x/4+3,

（4）•＝（（x））＝（x）/4＝2x/4=x/2,

（5）••＝•（•）＝•+3＝2x/4+3＝x/2+3.

▲4.设I是如下一个解释：

D={2,3},

a

b

f

（2）

f（3）

P（2,2）

P（2,3）

P（3,2）

P（3,3）

3

2

3

2

0

0

1

1

试求

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;

（2）"x$yP（y,x）.

解：

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f

（2））

=P（3,2）∧P（2,3）

=1∧0

=0.

（2）"x$yP（y,x）="x（P（2,x）∨P（3,x））

=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））

=（0∨1）∧（0∨1）

=1∧1

=1.

5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

解：

（1）

（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.

（3）B无上界，无最小上界。

下界1,2;最大下界2.

6.设命题公式G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））,求G的主析取范式。

解：

G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））

=Ø（ØP∨Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧ØQ）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧ØQ）∨（Q∧P）∨（Q∧R）

=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）

=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）

=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S（3,4,5,6,7）.

7.（9分）设一阶逻辑公式：

G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x），把G化成前束范式.

解：

G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x）

=Ø（"xP（x）∨$yQ（y））∨"xR（x）

=（Ø"xP（x）∧Ø$yQ（y））∨"xR（x）

=（$xØP（x）∧"yØQ（y））∨"zR（z）

=$x"y"z（（ØP（x）∧ØQ（y））∨R（z））

9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},

（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；

（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.

解：

（1）

r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},

s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},

t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；

（2）关系图:

11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

（1）G=（P∧Q）∨（ØP∧Q∧R）

（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（ØP∧R））

解：

G＝（P∧Q）∨（ØP∧Q∧R）

＝（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）

＝m6∨m7∨m3

＝å（3,6,7）

H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（ØP∧R））

＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（ØP∧Q∧R）

＝（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）

＝（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

＝m6∨m3∨m7

G,H的主析取范式相同，所以G=H.

13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）},S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.

（1）试写出R和S的关系矩阵；

（2）计算R•S,R∪S,R－1,S－1•R－1.

解：

（1）

（2）R•S＝{（a,b）,（c,d）},

R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},

R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},

S－1•R－1＝{（b,a）,（d,c）}.

四、证明题

1.利用形式演绎法证明：

{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。

解：

（1）P∨RP

（2）ØR→PQ

（1）

（3）P→QP

（4）ØR→QQ

（2）（3）

（5）ØQ→RQ（4）

（6）R→SP

（7）ØQ→SQ（5）（6）

（8）Q∨SQ（7）

2.设A,B为任意集合，证明：

（A-B）-C=A-（B∪C）.

解：

（A-B）-C=

3.（本题10分）利用形式演绎法证明：

{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D。

解：

（1）AD（附加）

（2）ØA∨BP

（3）BQ

（1）

（2）

（4）ØC→ØBP

（5）B→CQ（4）

（6）CQ（3）（5）

（7）C→DP

（8）DQ（6）（7）

（9）A→DD

（1）（8）

所以{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D.

4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.

解：

4.A－（A∩B）

=A∩~（A∩B）

＝A∩（~A∪~B）

＝（A∩~A）∪（A∩~B）

＝Æ∪（A∩~B）

＝（A∩~B）

＝A－B

而（A∪B）－B

=（A∪B）∩~B

=（A∩~B）∪（B∩~B）

=（A∩~B）∪Æ

=A－B

所以：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.

参考答案

一、填空题

1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.

.

3.a1={（a,1）,（b,1）},a2={（a,2）,（b,2）},a3={（a,1）,（b,2）},a4={（a,2）,（b,1）};a3,a4.

4.（P∧ØQ∧R）.

5.12,3.

6.{4},{1,2,3,4},{1,2}.

7.自反性；对称性；传递性.

8.（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）.

9.{（1,3）,（2,2）,（3,1）};{（2,4）,（3,3）,（4,2）};{（2,2）,（3,3）}.

10.2mn.

11.{x|-1≤x<0,xÎR};{x|1

12.12;6.

13.{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.

14.$x（ØP（x）∨Q（x））.

15.21.

16.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.

17.{（1,3）,（2,2）};{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.

二、选择题

1.C.2.D.3.B.4.B.

5.D.6.C.7.C.

8.A.9.D.10.B.11.B.

13.A.14.A.15.D

三、计算证明题

1.

（1）

（2）B无上界，也无最小上界。

下界1,3;最大下界是3.

（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;极小元是1.

2.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.

（1）

（2）

3.

（1）•＝（（x））＝（x）+3＝2x+3＝2x+3.

（2）•＝（（x））＝（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,

（3）•＝（（x））＝（x）+3＝x/4+3,

（4）•＝（（x））＝（x）/4＝2x/4=x/2,

（5）••＝•（•）＝•+3＝2x/4+3＝x/2+3.

4.

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f

（2））

=P（3,2）∧P（2,3）

=1∧0

=0.

（2）"x$yP（y,x）="x（P（2,x）∨P（3,x））

=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））

=（0∨1）∧（0∨1）

=1∧1

=1.

5.

（1）

（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.

（3）B无上界，无最小上界。

下界1,2;最大下界2.

6.G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））

=Ø（ØP∨Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧ØQ）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧ØQ）∨（Q∧P）∨（Q∧R）

=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）

=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）

=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S（3,4,5,6,7）.

7.G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x）

=Ø（"xP（x）∨$yQ（y））∨"xR（x）

=（Ø"xP（x）∧Ø$yQ（y））∨"xR（x）

=（$xØP（x）∧"yØQ（y））∨"zR（z）

=$x"y"z（（ØP（x）∧ØQ（y））∨R（z））

9.

（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},

s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},

t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；

（2）关系图:

11.G＝（P∧Q）∨（ØP∧Q∧R）

＝（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）

＝m6∨m7∨m3

＝å（3,6,7）

H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（ØP∧R））

＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（ØP∧Q∧R）

＝（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）

＝（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

＝m6∨m3∨m7

＝å（3,6,7）

G,H的主析取范式相同，所以G=H.

13.

（1）

（2）R•S＝{（a,b）,（c,d）},

R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},

R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},

S－1•R－1＝{（b,a）,（d,c）}.

四证明题

1.证明：

{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S

（1）P∨RP

（2）ØR→PQ

（1）

（3）P→QP

（4）ØR→QQ

（2）（3）

（5）ØQ→RQ（4）

（6）R→SP

（7）ØQ→SQ（5）（6）

（8）Q∨SQ（7）

2.证明：

（A-B）-C=（A∩~B）∩~C

=A∩（~B∩~C）

=A∩~（B∪C）

=A-（B∪C）

3.证明：

{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D

（1）AD（附加）

（2）ØA∨BP

（3）BQ

（1）

（2）

（4）ØC→ØBP

（5）B→CQ（4）

（6）CQ（3）（5）

（7）C→DP

（8）DQ（6）（7）

（9）A→DD

（1）（8）

所以{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D.

5.证明：

A－（A∩B）

=A∩~（A∩B）

＝A∩（~A∪~B）

＝（A∩~A）∪（A∩~B）

＝Æ∪（A∩~B）

＝（A∩~B）

＝A－B

而（A∪B）－B

=（A∪B）∩~B

=（A∩~B）∪（B∩~B）

=（A∩~B）∪Æ

=A－B

所以：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.