鸽巢问题教学设计及反思.docx

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《鸽巢问题》教学设计

执教人：

梁四新

教学内容：

人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。

教材分析：

鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。

这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。

学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。

学情分析：

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。

但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。

设计理念：

在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。

教学目标：

1、知识与技能：

通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。

2、过程与方法：

在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。

3、情感态度：

通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。

教学重点：

理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：

理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

教学过程：

一、谈话引入：

1、谈话：

你们知道“料事如神”这个词是什么意思吗？

今天老师也能做到“料事如神”，你们信不信？

现在老师任意点13位同学，我就可以肯定，至少有2个同学的生日在同一个月。

你们信吗？

2、验证：

学生报出生月份。

根据所报的月份，统计13人中生日在同一个月的学生人数。

适时引导：

“至少2个同学”是什么意思？

（也就是2人或2人以上，反过来，生日在同一个月的可能有2人，可能3人、4人、5人……，也可以用一句话概括就是“至少有2人”）

3、设疑：

你们想知道这是为什么吗？

通过今天的学习，你就能解释这个现象了。

下面我们就来研究这类问题，我们先从简单的情况入手研究。

二、合作探究

（一）初步感知

1、出示题目：

有3支铅笔，2个笔筒（把实物摆放在讲桌上），把3支铅笔放进2个笔筒，怎么放？

有几种不同的放法？

谁愿意上来试一试。

2、学生上台实物演示。

可能有两种情况：

一个放3支，另一个不放；一个放2支，另一个放1支。

教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果。

（3，0）、（2、1）

3、提出问题：

“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗？

学生尝试回答，师引导：

这句话里“总有一个笔筒”是什么意思？

（一定有，不确定是哪个笔筒，最多的笔筒）。

这句话里“至少有2支”是什么意思？

（最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上）

4、得到结论：

从刚才的实验中，我们可以看到3支铅笔放进2个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支笔。

（二）列举法过渡：

如果现在有4支铅笔放进3个笔筒，还会出现这样的结论吗？

1、小组合作：

（1）画一画：

借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来；

（2）找一找：

每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出；（3）我们发现：

总有一个笔筒至少放进了（  ）支铅笔。

2、学生汇报，展台展示。

交流后明确：

（1）四种情况：

（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）

（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：

4支、3支、2支。

（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。

3、小结：

刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论，这种方法叫“列举法”，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？

（三）假设法

1、学生尝试回答。

（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法”的截图）

2、学生操作演示，教师图示。

3、语言描述：

把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。

（指名说，互相说）

4、引导发现：

（1）这种分法的实质就是先怎么分的？

（平均分）

（2）为什么要一开始就平均分？

（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”），余下的1支，怎么放？

（放进哪个笔筒都行）

（3）怎样用算式表示这种方法？

（4÷3=1支……1支  1+1＝2支）算式中的两个“1”是什么意思？

5、引伸拓展：

（1）5支笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进（  ）支笔。

（2）26支笔放进25个笔筒，总有一个笔筒至少放进（  ）支笔。

（3）100支笔放进99个笔筒，总有一个笔筒至少放进（  ）支笔。

学生列出算式，依据算式说理。

6、发现规律：

刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”，我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了，现在会用简便方法求“至少数”吗？

（四）建立模型

1、出示题目：

5支笔放进3支笔筒，5÷3=1支……2支

学生可能有两种意见：

总有一个笔筒里至少有2支，至少3支。

针对两种结果，各自说说自己的想法。

2、小组讨论，突破难点：

至少2只还是3只？

3、学生说理，边摆边说：

先平均分每个笔筒放进1支笔，余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里，所以至少2只。

（指名说，互相说）

4、质疑：

为什么第二次平均分？

（保证“至少”）

5、强化：

如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢？

（1）10支笔放进7个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？

10÷7＝1（支）…3（支）  1+1＝2（支）

（2）14支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？

14÷4＝3（支）…2（支）  3+1＝4（支）

（3）23支笔放进4个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？

23÷4＝5（支）…3（支）  5+1＝6（支）

6、对比算式，发现规律：

先平均分，再用所得的“商+1”

7、强调：

和余数有没有关系？

学生交流，明确：

与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以就是加1.

8、引申拓展：

刚才我们研究了笔放入笔筒的问题，那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗？

把苹果放入抽屉，把书放入书架，高速路口同时有4辆车通过3个收费口……，类似的问题我们都可以用这种方法解答。

三、鸽巢原理的由来

微视频：

同学们从数学的角度分析了这些事情，同时根据数据特征，发现了这些规律。

你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样，只不过他是在150多年前发现的，你们知道他是谁吗？

——德国数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新，所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”，它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。

四、解决问题

1、老师上课时提出的生日问题，现在你能解释吗？

2、随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。

为什么？

3、11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。

为什么？

4、5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。

为什么？

5、把15本书放进4个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少有4本书，为什么？

教学反思：

鸽巢原理是一个重要而又基本的数学原理，通过本课教学向学生介绍抽屉原理的由来，并通过对一些简单实际问题进行模型化地研究，使学生理解抽屉原理。

掌握一些研究问题的方法，达到会证明生活中的某些现象，会解决生活中的某些问题的目的。

本课教学时主要分以下几个层次：

一、创设情境，巧设悬念

通过猜月份相同这个情境引入，一是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是调动和激发学生学习的主动性和探究欲望；三是为今天的探究埋下伏笔，初步理解“至少”的含义。

二、合作探究，建立模型

引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模”思想。

通过学生独立证明、小组交流、汇报展示，使学生相互学习解决问题的不同方法。

通过说理，沟通比较不同的方法，让学生理解：

为什么只研究一种方法（平均分的思路）就能断定一定有“至少2只笔放进同一个笔筒中”这个过程主要解决对“至少”、“总有”“平均分”这些词的理解。

再通过摆或假设法继续发现规律，在这个过程中抽象出算式，并在观察比较中全面概括、总结抽屉原理，建立起此类问题的模型。

三、鸽巢原理的由来

数学小知识鸽巢原理、抽屉原理的由来，采用了微课的方式呈现，向学生介绍了德国数学家——“狄里克雷”和他的“抽屉原理”。

使学生感受到我们本课所发现的规律和150多年前科学家发现的一模一样，增加探究的成就感。

同时了解到鸽巢原理最初的模型和在生活中的广泛应用，增加一些数学文化气息。

四、解决问题

通过举例、解决问题，开阔学生视野，回归课前，回归生活，通过不同类型题的设计，让学生灵活运用此原理解释生活现象。