届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案Word格式.docx
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解
（1）假设098是它的项，则存在正整数n,满足=098，∴n2=098n2+098
∵n=7时成立，∴098是它的项
（2）an+1-an=
=＞0
∴此数列为递增数列
例3（14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0（n≥2）,a1=,求an
解∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1,
∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，
即-=2，4分
∴数列是公差为2的等差数列6分
又S1=a1=，∴=2，
∴=2+（n-1）&
2=2n，
∴Sn=10分
∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2&
&
=-，12分
∴an=14分
1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3），，，，，…
（4），0，-，0，，0，-，0，…
（）1，3，7，1，31，…
解
（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×
3，3×
，×
7，7×
9，9×
11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式
an=
（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：
，，，，，…，
可得通项公式an=
（3）联想=10n-1,
则an===（10n-1）,
即an=（10n-1）
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则an=sin
（）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1
2已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（lg2an）=-2n
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
数列{an}是递减数列
（1）解∵f（x）=2x-2-x，
∴f（lg2an）=2-2=-2n，
即an-=-2n
∴a+2n&
an-1=0
∴an=，又an＞0，∴an=-n
（2）证明∵an＞0，且an=-n,
∴=
=＜1
∴an+1＜an即{an}为递减数列
3已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an
解∵2=an+1,
∴Sn=（a+2an+1）,
∴Sn-1=（a+2an-1+1）,
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=［（a-a）+2（an-an-1）］，
整理可得：
（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
当n=1时，a1=1,
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴an=2n-1（n∈N*）
一、填空题
1数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，，…的第100项是
答案14
2数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1&
a2&
a3&
…&
an=n2，则a3+a=
答案
3数列-1,，-，，…的一个通项公式是
答案an=（-1）n
4下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）答案4n+8
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第项满足＜a＜8，则=
答案8
6若数列{an}的通项公式an=，记f（n）=2（1-a1）（1-a2）…（1-an），试通过计算f
（1）,f
（2）,f（3）的值，推测出f（n）=（用含n的代数式表示）
7（2008&
沈阳模拟）数列{an}满足an+1=
a1=，则数列的第2008项为
8已知数列{an}中,a1=1,（n+1）an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=
答案n
二、解答题
9已知数列{an}的前n项和为Sn，满足lg2（1+Sn）=n+1,求数列的通项公式
解Sn满足lg2（1+Sn）=n+1,∴1+Sn=2n+1,
∴Sn=2n+1-1
∴a1=3,an=Sn-Sn-1=（2n+1-1）-（2n-1）=2n（n≥2）,
∴{an}的通项公式为an=
10已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn-4,an,2-总成等差数列
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）求通项公式an
解
（1）当n≥2时，3Sn-4,an,2-成等差数列，
∴2an=3Sn-4+2-Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）
由a1=1,得a2=3（1+a2）-4,
∴a2=,a3=3-4,
∴a3=-,a4=3-4,∴a4=
∴a2=，a3=-，a4=
（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,
∴,可得:
3an+1=an+1-an,
∴=-，∴a2，a3，…，an成等比数列，
∴an=a2&
qn-2=&
=-，
∴an=
11在数列{an}中，a1=，an=1-（n≥2,n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn
（1）求证：
an+3=an;
（2）求a2008
（1）证明an+3=1-=1-
=1-=
=1-=1-
=1-=1-（1-an）=an
∴an+3=an
（2）解由
（1）知数列{an}的周期T=3，
a1=，a2=-1，a3=2
又∵a2008=a3×
669+1=a1=∴a2008=
12已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；
②在定义域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f（x1）＞f（x2）成立设数列{an}的前n项和Sn=f（n）
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式
解
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2,使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0,+∞）上递增，
故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，
综上，得a=4,f（x）=x2-4x+4
（2）由
（1）可知Sn=n2-4n+4,
当n=1时，a1=S1=1,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=（n2-4n+4）-［（n-1）2-4（n-1）+4］=2n-,
62等差数列及其前n项和
1（2008&
广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=
答案48
2（2008&
陕西理，4）已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10=
答案100
全国Ⅰ理，）已知等差数列满足a2+a4=4，a3+a=10，则它的前10项的和S10=
答案9
4已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是个
（2009&
姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a12+a17+a19=8，则S2的值为
答案0
例1已知数列{an}满足a1=4,an=4-（n≥2）,令bn=求证：
数列{bn}是等差数列
证明∵an+1-2=2-=
∴===+
∴-=，
∴bn+1-bn=
∴数列{bn}是等差数列
例2在等差数列{an}中，
（1）已知a1=33,a4=13,求a61;
（2）已知a6=10,S=，求a8和S8；
（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1
解
（1）方法一设首项为a1,公差为d,依条得
解方程组得
∴a61=-23+（61-1）×
4=217
方法二由d=,得d===4,
由an=a+（n-）d,
得a61=a4+16d=13+16×
（2）∵a6=10,S=,∴
解方程组得a1=-,d=3,
∴a8=a6+2d=10+2×
3=16,S8=8×
=44
（3）设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有：
∴,∴
∵d＞0,∴d=2,a-d=2∴首项为2∴a1=2
例3（14分）在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S1，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最
大值
解方法一∵a1=20，S10=S1，
∴10×
20+d=1×
20+d，
∴d=-4分
∴an=20+（n-1）×
（-）=-n+8分
∴a13=010分
即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0
∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为
S12=S13=12×
20+（-）=13014分
方法二同方法一求得d=-4分
∴Sn=20n+&
（-）
=-n2+n
=-+8分
∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，
且最大值为S12=S13=13014分
方法三同方法一得d=-4分
又由S10=S1,得a11+a12+a13+a14+a1=08分
∴a13=0,即a13=010分
∴当n=12或13时，Sn有最大值，
1设两个数列{an},{bn}满足bn=，若{bn}为等差数列，求证：
{an}也为等差数列
证明由题意有
a1+2a2+3a3+…+nan=bn，①
从而有a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1
=bn-1（n≥2）,②
由①-②，得nan=bn-bn-1,
整理得an=,
其中d为{bn}的公差（n≥2）
从而an+1-an=-
==（n≥2）
又a1=b1，a2=
∴a2-a1=-b1==
综上，an+1-an=d（n∈N*）
所以{an}是等差数列
2设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S1=7,Tn为数列的前n项和,求Tn
解设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+n（n-1）d,
∵S7=7,S1=7,
∴,
即,解得,
∴=a1+（n-1）d=-2+（n-1）,
∵-=,
∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,
∴Tn=n2-n
3等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？
解由条S9=S12可得
9a1+d=12a1+d，即d=-a1
由a1＜0知d＞0,即数列{an}为递增数列
方法一由，
得,解得10≤n≤11
∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小
方法二∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0
又∵a1＜0,∴公差d＞0，从而前10项或前11项和最小
方法三∵S9=S12，
∴Sn的图象所在抛物线的对称轴为x==10,
又n∈N*，a1＜0,∴{an}的前10项或前11项和最小
方法四由Sn=na1+d=+n，
结合d=-a1得
Sn=&
n2+&
n
=-+a1（a1＜0），
由二次函数的性质可知n==10时，Sn最小
又n∈N*，故n=10或11时Sn取得最小值
1等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4=
2在等差数列{an}中，已知a=2,a2+a3=13,则a4+a+a6=
答案42
3已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为1，偶数项之和为30，则其公差为
答案3
4已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为
答案an=4n-3
东海高级中学月考）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=1,a1a2a3=80，则a11+a12+a13=
答案10
6（2009&
兴化市板桥高级中学12月月考）数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn，则数列的前11项和为
答案-66
重庆理，14）设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=
答案-72
8已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=，a1、b1∈N*设n=a（n∈N*）,则数列{n}的前10项和等于
9已知数列{an}中，a1=，an=2-（n≥2,n∈N*）,数列{bn}满足bn=（n∈N*）
数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由
（1）证明因为an=2-（n≥2,n∈N*）,bn=
所以当n≥2时，bn-bn-1=-
=-=-=1
又b1==-所以，数列{bn}是以-为首项，以1为公差的等差数列
（2）解由
（1）知，bn=n-,则an=1+=1+
设函数f（x）=1+,易知f（x）在区间（-∞,）和（,+∞）内为减函数
所以，当n=3时，an取得最小值-1；
当n=4时，an取得最大值3
10等差数列{an}的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式
解设等差数列{an}的项数为2+1,公差为d,
则数列的中间项为a+1,奇数项有+1项，偶数项有项
依题意，有
S奇=（+1）a+1=216①
S偶=a+1=192②
①÷
②,得=，解得,=8,
∴数列共有2+1=17项，把=8代入②，得a9=24,
又∵a1+a17=2a9，
∴a17=2a9-a1=47，且d==
an=1+（n-1）×
=（n∈N*,n≤17）
11设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S;
S3，S4的等差中项为1，求数列{an}的通项
公式
解方法一设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，
则Sn=na+d，依题意，有整理得
∴a=1，d=0或a=4，d=-
∴an=1或an=，
经检验，an=1和an=均合题意
∴所求等差数列的通项公式为an=1或an=
方法二因Sn是等差数列的前n项和，易知数列是等差数列依题意得
解得或
由此得a4=S4-S3=1，a=S-S4=1，
或a4=-，a=-，
∴d=0或d=-
∴an=a4+（n-4）×
0=1
或an=a4+（n-4）×
（-）=-n
故所求等差数列的通项公式an=1或an=-n
12已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：
a4=117,a2+a=22
（1）求通项an;
（2）若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数使得{bn}为等差数列？
若存在，求出的值；
若不存在，请说明理由
解
（1）由等差数列的性质得，a2+a=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13
易知a1=1,d=4,故通项为an=1+（n-1）×
4=4n-3
（2）由
（1）知Sn==2n2-n,
所以bn==
方法一所以b1=,b2=,b3=（≠0）
令2b2=b1+b3,解得=-
当=-时，bn==2n,
当n≥2时，bn-bn-1=2
故当=-时，数列{bn}为等差数列
方法二当n≥2时，
bn-bn-1=
=,
欲使{bn}为等差数列，
只需4-2=2（2-1）且-3=2（-1）（≠0）
解得=-
63等比数列及其前n项和
海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=
2等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为
答案1或-
3如果-1,a,b,,-9成等比数列,那么b=,a=
答案-39
4在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8=
答案4
浙江理，6）已知{an}是等比数列,a2=2,a=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=
答案（1-4-n）
例1已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式
解方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，
a2==，a4=a3q=2q，
∴+2q=
解得q1=，q2=3
①当q=时，a1=18，
∴an=18×
（）n-1==2×
33-n
②当q=3时，a1=，
∴an=×
3n-1=2×
3n-3
∴an=2×
33-n或an=2×
方法二由a3=2,得a2a4=4，
又a2+a4=，
则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，
①当a2=时,q=3,an=a3&
qn-3=2×
②当a2=6时，q=,an=2×
3n-3或an=2×
例2（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n
（1）设bn=an-1,求证：
数列{bn}是等比数列；
（2）设1=a1且n=an-an-1（n≥2），求{n}的通项公式
（1）证明由a1+S1=1及a1=S1得a1=
又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得
an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1
∴2（an+1-1）=an-1,即2bn+1=bn
∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项，
为公比的等比数列6分
（2）解方法一由
（1）知2an+1=an+1
∴2an=an-1+1（n≥2）,8分
∴2an+1-2an=an-an-1,
∴2n+1=n（n≥2）
又1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=
∴2=-=,即2=1
∴数列{n}是首项为，公比为的等比数列12分
∴n=&
（）n-1=（）n14分
方法二由
（1）bn=（-）&
（）n-1=-（）n
∴an=-（）n+1
∴n=-（）+1-
=-=
=（n≥2）12分
又1=a1=也适合上式，∴n=14分
例3在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a=8且++++=2,求a3
解方法一设公比为q,显然q≠1,
∵{an}是等比数列，∴也是等比数列，公比为
由已知条得,解得aq=4,
∴a=（a1q2）2=4，∴a3=±
2
方法二由已知得：
++
===2
∴a=4∴a3=±
例4某林场有荒320亩，每年春季在荒上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树0亩（全部成活）
（1）问需要几年，可将此全部绿化完？
（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒全部绿化后的年底的木材总量为S求S约为多少万立方米？
（精确到01）
解
（1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=0的等差数列，其和即为荒的总亩数
设需要n年可将此全部绿化，则
Sn=a1n+（n-1）d=100n+×
0=320
解此方程，得n=10（年）
（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+01）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+01）9，
……，
第10年种植的树在年底的木材量为2a10（1+01）,
第10年后的木材量依次构成数列{bn}，则其和为
T=b1+b2+…+b10
=200×
1110+300×
119+…+1100×
11
≈10（万立方米）
答需要10年可将此全部绿化，10年后木材总量约为10万立方米
1已知等比数列{an}中，a3=,S3=4,求a1
解当q=1时，a1=a2=a3=,满足S3=4,
当q≠1时，依题意有,
解得q2=,a1=6综上可得：
a1=或a1=6
2设数列{an}是等差数列，a=6
（1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项a,使得a3,a,a成等比数列；
（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,…（t∈N*）满足＜n1＜n2＜…＜nt＜…使得a3,a,,,…,,…是等比数列，求数列{nt}的通
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