中考数学总复习练习25.docx
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中考数学总复习练习25
第25课时 图形的相似
一、考题集粹试做
1.
（2013安徽,13）如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=.
2.（2013安徽,23）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中∠B=∠C.
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）;
（2）如图2,在“准等腰梯形”ABCD中,∠B=∠C,E为边BC上一点,若AB∥DE,AE∥DC,求证:
;
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中,∠BAD与∠ADC的平分线交于点E.若EB=EC,请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形）,四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么?
若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?
写出你的结论.（不必说明理由）
3.（2012安徽,22）如图1,在△ABC中,D,E,F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC=a,AC=b,AB=c.
图1
图2
（1）求线段BG的长;
（2）求证:
DG平分∠EDF;
（3）连接CG,如图2,若△BDG与△DFG相似,求证:
BG⊥CG.
4.（2011安徽,17）如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
（1）把△ABC先向右平移4个单位,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;
（2）以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.
5.（2010安徽,23）如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k（k>1）,且△ABC的三边长分别为a,b,c（a>b>c）,△A1B1C1的三边长分别为a1,b1,c1.
（1）若c=a1,求证:
a=kc;
（2）若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a,b,c和a1,b1,c1都是正整数,并加以说明;
（3）若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2?
请说明理由.
二、考点考法集训
1.如图所示,△ABC中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为（）
A.9B.6C.3D.4
2.（2014甘肃白银）如图,边长为1的正方形ABCD中,点E在CB延长线上,连接ED交AB于点F,AF=x（0.2≤x≤0.8）,EC=y.则在下面函数图象中,大致能反映y与x之间函数关系的是（）
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC=.
4.如图,身高AB=1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处,测得自己的影子AM长为5米,则路灯距离地面的高为米.
5.如图,△ABC的顶点坐标分别为A（1,3）,B（4,2）,C（2,1）.
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标;
（2）以原点O为位似中心,在原点的另一侧画出△A2B2C2,使
.
6.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.
（1）求证:
;
（2）求这个矩形EFGH的周长.
7.（2014四川巴中）如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的☉O交BC于点D,过D作MN⊥AC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG⊥MN于G.
（1）求证:
△BGD∽△DMA;
（2）求证:
直线MN是☉O的切线.
##
一、考题集粹试做
1.8 解析:
过P作PQ∥DC交BC于点Q,由DC∥AB,得到PQ∥AB,
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形,
∴△PDC≌△CQP,△ABP≌△QPB,
∴S△PDC=S△CQP,S△ABP=S△QPB.
∵EF为△PCB的中位线,∴EF∥BC,EF=
BC,
∴△PEF∽△PBC,且相似比为1∶2,
∴S△PEF∶S△PBC=1∶4.
又∵S△PEF=2,
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8.
2.解:
（1）如图,过点D作DE∥BC交PB于点E,则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE.
（2）证明:
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC.
∵AE∥DC,∴∠AEB=∠C.∵∠B=∠C,
∴∠B=∠AEB,∴AB=AE.
∵在△ABE和△DEC中,
∴△ABE∽△DEC,∴
∴
.
（3）如图①,作EF⊥AB于F,EG⊥AD于G,EH⊥CD于H,∴∠BFE=∠CHE=90°.
∵AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,
∴EF=EG=EH.
在Rt△EFB和Rt△EHC中,
∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL）,∴∠3=∠4.
∵BE=CE,
∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.
当点E不在四边形ABCD的内部时,有两种情况:
如图②,当点E在BC边上时,同理可以证明△EFB≌△EHC,
∴∠B=∠C,∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.
如图③,当点E在四边形ABCD的外部时,同理可以证明△EFB≌△EHC,
∴∠EBF=∠ECH.∵BE=CE,∴∠3=∠4,
∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4,
即∠1=∠2,∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.
图①
图②
图③
3.解:
（1）∵D,E,F分别是△ABC三边中点,
∴DE
AB,DF
AC.
又∵△BDG与四边形ACDG周长相等,
即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,
∴BG=AC+AG,
又∵BG=AB-AG,∴BG=
.
（2）证明:
∵BG=
∴FG=BG-BF=
.
∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD.
又∵DE∥AB,∴∠EDG=∠FGD,
从而∠FDG=∠EDG,∴DG平分∠EDF.
（3）证明:
在△DFG中,∠FDG=∠FGD,△DFG是等腰三角形.
∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,
∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,
则CD=BD=DG,∴B,C,G三点共圆,
∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG.
4.解:
如下图:
5.解:
（1）证明:
∵△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k（k>1）,
∴
=k,∴a=ka1.又∵c=a1,∴a=kc.
（2）答案不唯一,如:
取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2,此时
=2,∴△ABC∽△A1B1C1,且c=a1.
（3）不存在这样的△ABC和△A1B1C1,理由如下:
若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1,
又∵b=a1,c=b1,∴a=2a1=2b=4b1=4c,∴b=2c,
∴b+c=2c+c+3c<4c=a,而b+c>a,故不存在这样的△ABC和△A1B1C1,使得k=2.
二、考点考法集训
1.B 解析:
∵DE∥BC,∴
所以
解得CE=6.
2.C 解析:
根据题意知,BF=1-x,BE=y-1,且△EFB∽△EDC,
则
即
所以y=
（0.2≤x≤0.8）,该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分.A,D的图象都是直线的一部分,B的图象显然不符合题意,C的图象是双曲线的一部分.故选C.
3.1∶2 解析:
在平行四边形ABCD中,AB∥DC,则△DFE∽△BAE,∴
.
∵O为对角线的交点,∴DO=BO.
又∵E为OD的中点,∴DE=
DB,
则DE∶EB=1∶3,∴DF∶AB=1∶3.
∵DC=AB,∴DF∶DC=1∶3,∴DF∶FC=1∶2.
4.8 解析:
设路灯的高为h,由题意AB与路灯平行,所以
解得h=8.
5.解:
（1）如图,A1（1,-3）,B1（4,-2）,C1（2,-1）.
（2）如图.
6.解:
（1）证明:
∵四边形EFGH为矩形,
∴EF∥GH,∴∠AHG=∠ABC.
又∵∠HAG=∠BAC,∴△AHG∽△ABC.
又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,∴
.
（2）由
（1）知
.
设HE=x,则HG=2x,AM=AD-DM=AD-HE=30-x,可得
解得x=12,2x=24,
∴矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72（cm）.
7.解:
证明:
（1）∵MN⊥AC于点M,BG⊥MN于点G,
∴∠BGD=∠DMA=90°.
∵以AB为直径的☉O交BC于点D,
∴AD⊥BC,∠ADC=90°,
∴∠ADM+∠CDM=90°.∵∠DBG+∠BDG=90°,∠CDM=∠BDG,∴∠DBG=∠ADM.
在△BGD与△DMA中,
∴△BGD∽△DMA.
（2）连接OD.∵BO=OA,BD=DC,
∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.
∵MN⊥AC,BG⊥MN,∴AC∥BG,∴OD∥BG.
∵BG⊥MN,∴OD⊥MN,∴直线MN是☉O的切线.
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