8A版小学趣味数学百题百讲百练Word文档格式.docx
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老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：
这100个数的和是5050。
原来，小高斯是这样算的：
依次把这100个数的头和尾都加起来，即1＋100，2＋99，3＋98，……，50＋51，共50对，每对都是101，总和就是101×
50=5050。
现在请你算一道题：
从1到1000000这100万个数的数字之和是多少？
注意：
这里说的“100万个数的数字之和”，不是“这100万个数之和”。
例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数的数字之和就是1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。
可以在这100万个数前面加一个“0”，再把这些数两两分组：
999999和0999998和1
999997和2999996和3
依此类推，一共可分为50万组，最后剩下1000000这个数不成对。
各组数的数字之和都是9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最后的1000000数字之和是1。
所以这100万个数的数字之和为：
（54×
500000）+1=27000001
18．完全数
如果整数a能被b整除，那么b就叫做a的一个因数。
例如，1、2、3、4、6都是12的因数。
有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。
例如，6就是最小的一个完全数，因为除6以外的6的因数是1、2、3，而6=1+2＋3。
你能在20至30之间找出第二个完全数吗？
分析与解20至30之间的完全数是28。
因为除28以外的28的因数是1、2、4、7、14，而28=1＋2＋4＋7＋14。
寻找完全数并不是容易的事。
经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了23个完全数。
第三、四个完全数是：
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
奇怪的是，已发现的23个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？
至今无人能回答。
完全数问题还是一个没有解决的问题。
19．有这样的数吗？
小明异想天开地提出：
“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们的差相等。
”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是不可能的。
但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。
小明的想法，后来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗？
告诉你，这样的数还不止一对呢！
分析与解下面举出几个两数的积等于两数的差的实例：
20．两数的积与两数的和能相等吗？
数学课上，小明偶然发现2×
2=2＋2。
下课后，小明问王老师：
“2×
2=2＋2，这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗？
”王老师听后很高兴地拍着小明肩膀说：
“你能在数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝贵的，希望你能保持这个优点。
你提的问题在数学中不是偶然的现
等于这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个数的和。
这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到答案的。
明天我们一起交换看法好吗？
”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们，你们能找出这样的数吗？
分析与解下面是部分例子。
两数积=两数和：
11×
1.1=11+1.1
……
三数积=三数和：
1×
2×
3=1＋2＋3
四数积=四数和：
1×
4=1+1＋2＋4
五数积=五数和：
5=1+1+1+2+5
3×
3=1+1+1+3+3
2=1+1+2+2+2
其中，有关两数积=两数和的例子，可以找出无数组，请再找出一些。
23．一筐苹果
入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果2个、2个地数，余1个；
3个、3个地数，余2个；
4个、4个地数，余3个；
5个、5个地数，余4个；
6个、6个地数，余5个。
你知道这筐苹果至少有多少个吗？
分析与解根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加1，就恰好是2、3、4、5、6的公倍数。
而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个数应该是2、3、4、5、6的最小公倍数减去1。
[2，3，4，5，6]=60
60-1=59
即这筐苹果至少有59个。
24．怎样分？
有44枚棋子，要分装在1O个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？
分析与解无法分。
这道题的具体答案同学们要开动脑筋自己想想哦……
25.不要急于动手
左图是一个正方形，被分成6横行，6纵列。
在每个方格中，可任意填入1、2、3中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？
为什么？
分析与解不可能。
这是因为每行、每列和两条对角线都是由6个方格组成的，那么数字之和最小是1×
6=6，数字之和最大是3×
6=18。
要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同，只能出现6、7、8、9、……、17、18这13种数字和，但实际却需要6（行）＋6（列）＋2（对角线）=14种不同的数字和。
由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的。
26．数字小魔术
新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。
王老师微笑着走到讲台前说：
“我给你们表演一个数字魔术吧！
”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：
“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。
不信，你们每人独立地在纸条上写上任意4个自然数（不重复写），我保证能从你们写的4个数中，找出两个数，它们的差能被3整除。
”
王老师的话音一落，同学们就活跃起来。
有的同学还说：
“我写的数最调皮，就不听王老师的话。
”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的4个数时，奇怪的事果真发生了。
同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被3整除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
分析与解其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是听数学规律的话。
因为任意一个自然数被3除，余数只能有3种可能，即余0、余1、余2。
如果把自然数按被3除后的余数分类，只能分为3类，而王老师让同学们在纸条上写的却是4个数，那么必有两个数的余数相同。
余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差，当然能被3整除。
王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。
所以，只要我们刻苦学习数学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。
27．应该怎样称？
有9个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。
现在要求你用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？
如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗？
这里有规律吗？
分析与解9个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。
第一次：
天平两侧各放3个球。
如果天平平衡，说明较轻的球在下面；
如果不平衡，那么抬起一侧的3个球中必有轻球。
第二次：
从含有轻球的3个球中任选两个，分别放在天平两侧。
如果平衡，下面的球是轻的；
如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。
如果是27个球，至少需要称3次。
天平两侧各放9个球。
如果平衡，说明轻球在下面9个中；
如果不平衡，抬起一侧的9个球中含有轻球。
第二次、第三次与前面所说9个球的称法相同。
在这种用天平确定轻球（或重球）的智力题中，球的总个数与至少称的次数之间的关系是：
若3n＜球的总个数≤3n+1，则（n+1）即为至少称的次数。
例如，设有25个球，因为32＜25＜33，所以至少称3次；
设有81个球，因为33＜81=34，所以至少称4次。
28．最少拿几次？
晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。
打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：
“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？
”小红毫不犹豫地说：
“行，您出吧？
”“好，你听着：
这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的？
听完题后，小红陷入了沉思。
同学们，你们会做这道题吗？
分析与解至少拿7次，才能保证其中有3个棋子同一颜色。
我们可以这样想：
按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第4次开始，将有2个棋子是同一颜色。
到第6次，三种颜色的棋子各有2个。
当第7次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的6个棋子中必有2个与它同色，即出现3个棋子同一颜色的现象。
同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？
如果要求有4个棋子同一颜色，至少要拿几次？
如果要求5个棋子的颜色相同呢？
29．巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块小黑板，上面写着：
“各中队少先队员：
花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。
哪个中队的少先队员能做出下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
①要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬，要求每边都是7盆，应该怎样摆？
②还要在这个花坛四周摆上24盆串红，要求每边也是7盆，应该怎样摆？
同学们，你会摆吗？
请你试试看。
分析与解答案如下图：
31．算算这笔账
小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是990元。
但是甲种收录机是紧俏商品，赚了10％；
乙种收录机是滞销品，赔了10％。
假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？
若赚了，则赚了多少？
若赔了，则赔了多少？
你会算这笔账吗？
分析与解赚了10％后是990元，原价是：
990÷
（1＋10％）=900（元）
赔了10%后是990元，原价是：
（1-10%）=1100（元）
那么两台收录机，原来进价为900＋1100=20RR元，现在卖了990×
2=1980元。
因此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了20RR-1980=20元。
33．谁得优秀？
六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。
加试后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：
“如果我得优，那么乙也得优。
乙说：
“如果我得优，那么丙也得优。
丙说：
“如果我得优，那么丁也得优。
以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。
问这四人中谁得优秀？
分析与解我们可以这样想：
如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀，这与实际不符；
如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。
因此，只能丙、丁得优秀，才符合实际情况。
判断结果是：
丙、丁得优秀。
34．排名次
学校举办排球比赛，进入决赛的是五
（1）班、五
（2）班、六
（1）班、六
（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？
甲、乙、丙三人做如下的猜测：
“五
（1）班第一，五
（2）班第二。
“六
（1）班第二，六
（2）班第四。
“六
（2）班第三，五
（1）班第二。
比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。
你能根据上面情况排出1～4名的名次吗？
分析与解这类题用列表法进行推理比较简捷。
上表第一行，是假设甲说的“五
（1）班第一”是错的，“五
（2）班第二”是对的；
由此推向乙、丙，因为“五
（2）班第二”是对的，则乙说的“六
（1）班第二”就是错的，丙说的“五
（1）班第二”也是错的，那么乙说的“六
（2）班第四”与丙说的“六
（2）班第三都是对的，这显然矛盾。
因此可以断定，甲说的“五
（2）班第二”是错的，而甲说“五
（1）班第一”是对的。
进而我们用下表可推出正确结论来：
推理过程是：
甲说“五
（1）班第一”是对的，丙说“五
（1）班第二”是错的；
那么，丙说“六
（2）班第三”是对的。
由此又推出，乙说“六
（2）班第四”是错的，当然乙说“六
（1）班第二”是对的。
前三名已有了，第四名只能是五
（2）班了。
35．要赛多少盘？
六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛。
根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解一共要赛66盘。
要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。
假如2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；
假如3个人（A、B、C）参赛，那么A—B、A—C、B—C要赛3盘；
假如4个人参赛，要赛6盘，……
于是我们可以发现：
2人参赛，要赛1盘，即1；
3人参赛，要赛3盘，即1+2；
4个参赛，要赛6盘，即1+2+3；
5人参赛，要赛10盘，即1+2+3+4；
那么，12人参赛就要赛1+2+3+……+11=66盘。
我们还可以这样想：
这12个人，每个人都要与另外11个人各赛1盘，共11×
12=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如A—B赛一盘，B—A又算了一盘）,所以实际一共要赛132÷
2=66（盘）。
36．获第三名的得几分？
A、B、C、D、E五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘。
规定胜者得2分，负者得0分。
现在知道比赛结果是：
A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名。
那么C得几分？
分析与解获第三名的学生C得4分。
因为每盘得分不是2分就是0分，所以每个人的得分一定是偶数，根据比赛规则，五个学生一共要赛10盘，每盘胜者得2分，共得了20分。
每名学生只赛4盘，最多得8分。
我们知道，并列第一名的两个学生不能都得8分，因为他们两人之间比赛的负者最多只能得6分，由此可知，并列第一的两个学生每人最多各得6分。
同样道理，并列第四的两个学生也不可能都得0分，因此他们两人最少各得2分。
这样，我们可得出获第三名的学生C不可能得6分或2分，只能得4分。
37．五个好朋友
A、B、C、D、E五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作，这四科是语文、数学、地理、历史。
另一个人是中队长。
请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。
（1）语文课代表不是C，也不是D；
（2）历史课代表不是D，也不是A；
（3）C和E住在同一楼里，中队长和他们是邻居；
（4）C问数学课代表问题时，B也在一旁听着；
（5）A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；
（6）D、E常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。
分析与解A是数学课代表，B是中队长，C是历史课代表，D是地理课代表，E是语文课代表。
题中
（1）、
（2）是直接条件，而（3）～（6）就不像
（1）、
（2）那样将条件直接写明。
只要我们把（3）～（6）转换成直接条件，再把这些条件填入下表，就会得到正确的判断。
条件（3）中，“C和E住在同一楼里，中队长和他们是邻居”，这就是说，中队长不是C，也不是E。
条件（4）就是说，数学课代表不是C也不是B。
条件（5）就是说，地理课代表、语文课代表不是A，也不是C。
条件（6）就是说，数学课代表、中队长不是D或E。
将以上
（1）～（6）条件填入下表。
38．过队日
六
（1）中队共43名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。
中队长宣布，大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。
活动结束时，中队长说：
“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题：
“全中队至少有多少人参加的活动完全相同？
你能替六
（1）中队的同学找到正确答案吗？
分析与解全中队至少有7人参加的活动相同。
这是一道根据实际活动编得很有趣的数学题。
解答这道题首先要弄明白同学们参加游乐活动共有几种可能情况。
我们把各种情况分别列出如下：
（1）只参加“激流勇进”；
（2）只参加“观览车”；
（3）只参加“单轨火车”；
（4）既参加“激流勇进”，又参加“观览车”；
（5）既参加“激流勇进”，又参加“单轨火车”；
（6）既参加“观览车”，又参加“单轨火车”；
（7）三种活动都参加。
由于可能的情况共有7种，去游乐场的有43名少先队员，43÷
7=6……1（人），即如果每种可能的情况有6名队员参加的话，那么还余1名队员，不管这1名队员参加活动属于哪种“情况”，则至少有7人参加的活动相同。
39.放硬币游戏
参加人：
2人，也可以有裁判1人。
用具：
一张纸（方形、圆形都可以），1分硬币若干枚。
游戏规则：
①2人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；
②放在桌上的硬币不能重叠；
③最后在纸上无处可放者为负。
同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个很简单的原理。
你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗?
分析与解这个游戏对参加的两个人来说是不平等的，如果知道了游戏的奥妙，那么先放硬币的一方会稳操胜券。
游戏的奥妙是利用平面几何中的中心对称原理。
先放者，首先抢占“对称中心”，即纸的中心。
然后，不论对方把硬币放在什么位置，你每次都根据中心对称原理，把硬币放到对方硬币的对称位置上。
这样，只要对方有地方放，你就必定有放的地方，直到你占满最后一处空白，逼得对方无处可放，你就获胜了。
40．一本书的页数
我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。
例如15，就要用2个铅字；
158，就要用3个铅字。
现在知道有一本书在排版时，光是排出所有的页数就用了6869个铅字，你知道这本书共有多少页吗？
（封面、封底、扉页不算在内）
分析与解仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、……。
一位数有9个，使用1×
9=9个铅字；
两位数有（99-9）个，使用2×
90=180个铅字；
三位数有（999-90-9）个，使用3×
900=2700个铅字；
依此类推。
我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。
因为从1到999共需用9＋2×
90+3×
900=2889个铅字，从1到9999共需用9＋2×
90＋3×
900＋4×
9000=38889个铅字，而2889＜6869＜38889，所以这本书的页数用到四位数。
排满三位数的页数共用了2889个铅字，排四位数使用的铅字应有6869-2889=3980（个），那么四位数的页数共有3980÷
4=995（页）。
因此这本书共有999+995=1994（页）。
43．换个角度想
在所有的三位数中，有很多数能同时被2、5、3整除，那么不能同时被2、5、3整除的三位数的和是多少？
要解答这个问题，最好换个角度想。
分析与解解答这道题时，要是把不能同时被2、5、3整除的三位数都挑出来，再进行计算，那就太费时间了。
因为在三位数中，能同时被2、5、3整除的数的个数是不多的，这样我们只要从所有的三位数的总和中减去能同时被2、5、3整除的数的和，得到的就是不能同时被2、5、3整除的数的总和。
能同时被2、5、3整除的三位数是：
120、150、180、210、……、960、990。
因此，不能同时被2、5、3整除的三位数的总和是494550-16650=477900。
44．从后往前想
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共72支。
现在华华从自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。
这时，明明手中的铅笔支数正好是华华手中铅笔支数的8倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
分析与解有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想比较方便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。
根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72支）是不变的；
又知道最后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的8倍。
这样我们可以求出最后两人手中铅笔的支数。
华华最后手中铅笔的支数是：
72÷
（8＋1）=8（支）
明明最后手中铅笔的支数是：
8×
8=64（支）
接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。
答案是：
明明最初有铅笔26支，华华最初有铅笔46支。
45、缺少条件吗？
46．丢番图的墓志铭
古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元前246年到公元330年之间，距现在有二千年左右了。
他对代数学的发展做出过巨大贡献。
丢番图著有《算术》一书，共十三卷。
这些书收集了许多有趣的问题，每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，以致后人把这类题目叫做丢番图问题。
但是，对于丢番图的生平知道得非常少。
他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的。
这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。
“墓志铭”是用诗歌形式写成的：
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，
他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，
不料儿子竟先其父四年而终，
只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？
请你算一算，丢番图到底活到多少岁？
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