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镜像法在电磁场中的应用
摘要
若在某区域内有一点电荷,并且边界的形状比较有规则,求解这一点电荷所激发的电场分布。
镜像法即为其中的一种方法，它将在边界所激发的电荷用一个或者多个的象电荷等效的替换,将复杂的边界问题转化为几个电荷共同作用产生场的迭加问题，即利用电势的迭加原理求解电场。
并将此推广到磁场中时,即可以将场的复杂问题转化为几个电流共同作用产生场的问题。
关键词:
镜像法；边值条件；静电场；电势叠加；轴对称非静态场
Abstract
Ifthereisonepointofaregionofcharge，andrelativelysimpleshapeoftheborder,wecansolvethispointtochargetheelectricfielddistributionexcitedimagemethodisamethodinwhichinspiredattheborderwiththechargeasanequivalentreplacementchargewillbethecomplexityofborderissuesintothecombinedeffectofseveralchargesarisingfromtheissueoffieldsuperposition.Andthisextendedtothemagneticfieldwhenthefieldcanbetransformedintothecomplexissuesofacommonroleinseveralcurrentmarket.
Keywords:
mirror-imagemethod；boundaryconditions；electrostaticfield;potentialoverlapping；Axisymmetricnon-staticfield
目录
摘要………………………………………………………………………………Ⅰ
Abstract…………………………………………………………………………Ⅱ
绪论…………………………………………………………………………………1
第一章利用镜像法的解题步骤…………………………………………………2
1.1镜像法及其理论基础……………………………………………………2
1.2镜像法的解题步骤………………………………………………………2
1.3镜像法的适用条件………………………………………………………2
第二章镜像法在静态场中的应用…………………………………………………3
2.1镜像法在静态电场中的应用…………………………………………3
2.2镜像法在静态磁场中的应用…………………………………………8
2.3本章小结……………………………………………………………………11
第三章镜像法在非静态场中的应用……………………………………………13
3.1非静态电磁场…………………………………………………………13
3.2利用镜像法解非静态电磁……………………………………………18
3.3本章小结………………………………………………………………19
结束语……………………………………………………………………………20
致谢……………………………………………………………………………21
参考文献……………………………………………………………………22
绪论
在1848年，W.汤姆孙提出用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场的一种方法，并将此称为电像法[1]。
后来发展到计算某些静磁场的问题，称为磁像法。
无论是电像法还是磁像法它们均为镜像法。
镜像法是电动力学中一种重要的计算方法.许多复杂问题使用该方法求解都会很简便,如在各种电动力学教材教科书中都介绍了利用镜像法求解均匀介质界面,介质柱面,介质球面在静态外场中电场分布情况[2-4]。
也从中我们得到了静像法的基本解题思路[5]:
如果在原电荷产生的电场中存在着导体或者介质分界面，导体或者介质面则由于静电感应或极化作用将出现感应或极化电荷。
若直接求解这区域的之内的场会较复杂，但若我们可以将导体或介质上的感应或极化电荷在求解区域的影响用求解区域外的假想的电荷代替，但并不改变原来问题的边界条件，则原来求解原电荷与感应或极化电荷在求解区域的问题变成了求解元电荷与感应电荷在求解区域的问题。
这种方法就称为镜像法，假想电荷称为象电荷。
目前，镜像法已不限于静电学范围，它已应用于计算稳恒磁场，稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。
这种方法物理意义明显，可使某些问题的求解大为简化在有点电荷和金属介质的情况下常能凑效。
但是关于镜像法在求解静磁场中的应用却少人提及，全面透彻地叙述更为少见。
的确，镜像法在静磁场中求解比用于求解静电场要难多。
但是只要抓住方法实质，抓住静电场和静磁场的可比性，则可使镜像法用于求解静磁的问题大为简化。
由此推及，讨论镜像法在非静态电磁场中的应用是很有意义。
迄今为止，在教学中还鲜有人将镜像法应用到解非静态问题场，而在下面笔者将根据镜像法在静态场的应用经验上，应用场的边值问题和叠加原理，讨论一下镜像法在非静态场中的应用。
第一章利用镜像法的解题步骤
若点电荷附近有一导体，在点电荷的电场作用下，导体面上出现感应电荷，我们希望求出导体外面空间的电场，这电场包括点电荷激发的电场和导体表面感应电荷所激发的电场，我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部某个或几个假想电荷来代替？
注意我们在作这种代换时并不能改变空间中的电荷分布（在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然只有一个点电荷），因而并不能影响泊松方程，问题是关键在于是否满足边界条件。
如果用这种代换确实能够满足边界条件，则我们所设想是假想电荷就可以用来代替导体表面的感应电荷分布，从而问题的解可以简单的表示出来。
由镜像法求解静态场问题中，我们可以看出场的唯一性定理是解镜像法的基础，在从中应用唯一性定理，解决场的边值问题[6-7]，而在求解过程中我们也常用到理想模型和叠加原理。
1.1镜像法的适用条件
（1）场的唯一性定理是镜像法的基本前提；
（2）所求区域有少数几个或一个点电荷，它所产生的感应电荷一般可以用假想电荷代替，且不改变原空间电荷分布；
（3）导体或者介质的边界形状比较规则（球面，平面，圆柱面），具有一定的对称性；
（4）边界条件给定；
（5）主要应用叠加定理。
1.2镜像法的解题步骤
第一写出微分方程和给定边界条件；
第二根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置；
第三根据电势叠加得出电势的解析形式；
第四求解电场，电荷分布等。
第二章镜像法在静态场中的应用
2.1镜像法在静电场中的应用
镜像法是用假想电荷等效的代替导体（介质）边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷迭加得出空间的电势分布，我们称这样的方法加做电像法。
假想电荷称为象电荷，它要求象电荷的出现不改变原空间的电荷分布。
2.1.1界面为平面[1,6]
例1：
由两电介率分别为和的均匀介质分占上下两半空间，以无限平面为分界面，在介质中距交界面处有一点电荷，求这两种介质中的静电场。
Q
Q1
（b）
Q
（a）
ε1
ε1
ε1
ε2
图（3-1-1）
解：
当求解区域为介质时，在边界之外设有一镜像电荷，且整个空间区域充满介质，则为和共同产生的。
如图（b）所示；
当求解区域时候,假设区域充满介质,此时有和共同产生,在和的分界面上满足边界条件
。
所以，
。
2.1.2界面为柱面
例2：
半径为的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷，密度为，与圆柱的轴相距为，求镜像电荷的大小和位置。
Q
y
M
a
0
x
b
b
d
图（3-1-2）
分析：
用位于圆柱导体内，距圆柱轴线处的镜像电荷,代替导体柱面的感应电荷，边界条件维持不变，即导体圆柱面为零电位面，去掉导体圆柱，原线电荷和镜像线电荷求解导体圆柱外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体圆柱内区域场。
解:
我们用的关系进行试探求解。
用同样在圆周上两点（通过镜像电荷的直径的两个端点），因圆柱接地，它们的点位必须为零即
，
。
代入的关系后，上面两方程解得
求解电位得圆柱体外任一点的电位为
，
其中,分别为，到场点的距离。
讨论：
若圆柱体不接地时，则导体圆柱面不在为零电位面，此时其边界条件为常数，即
=常数。
2.1.3界面为球面[1,7]
例3：
在半径为的接地导体球面外，距球心为处（）有一点电荷，求解球外任意一点的电位。
图（3-1-3）
解：
假设可以用球内一假想电荷来代替球面的感应电荷对空间电场的作用，由于对称性，应在的连线上，关键是能否选择的大小和位置使得球面上的条件得到满足
考虑球面上任意一点，如图（3-1-3）所示，边界条件要求
（为到的距离，为到距离）
若选择的的位置使则
=常数
设的位置距球心的距离为，则三角形相似的条件为
由上两式子确定了假想电荷的位置和大小。
由和所激发的总电场能够满足在导体面上的边界条件，所以是空间电场的正确解答，球外任意一点的电势为
式中到到的距离，为到的距离，为由球心到点的距离，为与的夹角
讨论：
（1）若球不接地，则边界条件为常数
a:
导体不带电，即边界满足电中性条件
所以象电荷必须放在球心处，则
b:
导体带电为，则满足边界条件为常数
所以象电荷必须放在球心处，则
（2）自由电荷在球内，即a，
其中、，即
2.1.4界面为劈形
Q
图（3-1-4
（1））
例4：
有两相交的接地导体平面，其夹角为。
若所夹的区域内有一点电荷，求下例情况的电势分布（其中）。
解：
由导体平面接地，即。
得到其象电荷如图（3-1-4
（1））所示
根据边界条件有
讨论：
当，时我们可以得到这样一个结论，即当为偶数时，其象电荷个数为个（如图（3-1-4
（2））所示）。
（a）
Q
（b）
图（3-1-4
（2））
Q
π/3
2.2磁像法
磁像法就是将电像法解决电场问题的思想应用到解磁场相关问题的方法，我们将所求磁场外部适当位置上，设想有一条象电流，同样在不改变所求磁场区域内的电流分布，使象电流在所求区域中产生的磁场与边界面磁化电流所产生的磁场等效，也就是用象电流取代界面磁化电流后任保持边界条件不变，我们称此方法为磁像法。
下面通过例题说明磁像法的具体应用[8-10]。
2.2.1平面半空间介质与线电流体系
例1：
由磁导率为和的两种均匀磁介质分占平面的上下两半空间，以无限平面为交界面。
在介质中，距交界面处有一无限长直线电流，求解磁场分布
图（3-2-1）
解：
当Z>0时，设想全空间充满均匀介质，其中只有两条互相平行的长直导线电流与，与对称，但未知，为像电流，得
（3-1）
为的磁场方向的单位矢量，为的磁场方向的单位矢量
当Z<0时，设想全空间充满均匀介质，其中只有两条相互平行在同一位置的长直导线电流与，未知，为像电流。
而下半空间的磁场是由与产生的,
（3-2）
由两半空间的磁场的边值条件，在z=0的面上有
可得
将（3-1），（3-2）式代入上三式中有
式中为平面z上的与的夹角，及与的夹角，即
解上方程组为
故有
式中为磁像电流到所求点的距离，为传导电流到所求点的距离，在介质图中，像电流为与，在真空中，像电流变成为，。
所以像电流的选取不是唯一的，但求得的磁感应强度时是唯一的。
2.2.2线电流与介质柱体系
例2：
设有磁导率为，半径为的无限长均匀直圆柱体，轴线沿轴，柱外距主轴处一与轴平行的线电流，求解磁场分布。
x
a
0
b
I
r
d
r
图（3-2-2）
解：
求柱外场时，如图（a）所示，假想全空间为，其中有三条长直线电流，和-距轴分别为d,和0.求柱内场时，假想全空间为，如图（b）所示，只有一条长直线电流.距轴为d，则失势为
其中,。
由边值关系处，，得
，
，
解上方程，得
像电流求出后，根据磁场公式求。
2.3本章小结
通过以上讨论，将电像法与磁像法对照比较可看出，利用镜像法都是根据的唯一性定理，在不改变场内电流、电荷分布且满足边界条件的情况下，用场外的象电流或象电荷所产生的等效代替边界面上的电流、电荷所产生的场，将解静场边值问题改为求解在无界空间中少数几个电流，电荷所产生的场，从而简化求解过程，但这类方法只限于求解在形状比较简单的边界附近，有少数形状比较简单的电流与电荷产生的场。
除此以外，我们也从中可以看出像电流应具有什么样的形状，原则上没有任何限制，即对确定的元电荷不必要求像电荷有与之对应的形式，对应的个数，对应的大小，等等。
只要像电流能等效的代替面电荷在求解区域内的场，又不改变原来边界的条件即可，如元电荷是一个点电荷，像电荷可以是线，面，体电荷，也可以是多个，还可以与元电荷量不等等等。
综上所述我们可以看出镜像法的应用与静电场的情形，一般为简单对称图形。
第三章镜像法在非静态场的应用
我们知道变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场激发磁场，所以首先讨论含不稳定电荷的对称非静态场，含不稳定电流源的对称非静态场[12-15]，再由改非静态场的特点，结合镜像法的适用条讨论镜像法是否适用于非静态场。
那笔者猜想在满足适用镜像法的条件的情况下，将镜像法推广到轴对称的非静态场中，利用矢量迭加原理，得到轴外场强度。
下面我们具体举例讨论：
3.1含不稳定电流源的轴对称非静态场的计算
设在真空中有不稳定对称电流分布,如图（4-1）所示，为高斯面，闭合回路，，由于磁场分布对称性，任一方向由径向场强分量变化而激发是电场都会被其他方向的径向场强分量所产生的电场所抵消，所以只需要考虑轴向电场分量变化产生的电场，沿着切向方向。
为切向的单位矢量。
若高斯面上，下底面是半径为，高为,则上下底面各点的轴向场强分布和径向场强分量的大小可以分别表示、、、。
磁感应强度分别可以表示为和。
高斯面侧面各点的轴向电场强度分量和径向电场强度分量的大小可以表示为和；磁感应强度为；轴向上的场量为;;;显然对高斯面的上下底面只有轴向分量可以产生磁通量，对于侧面只有径向场强分量可以产生电通量。
根据，
取闭合回路,根据
取高斯面下底面，由有
将轴线上的作为初值，代入上各式，进行多级修正得
由上，我们可以看出在整个含不稳定电流源的轴对称非静态场中只有轴向电场分量变化产生电场，方向沿着切向方向。
由含有不稳定电流源的对称非静态场中产生的也只有轴向的电场强度，根据同样的道理，当平面半空间介质与点电荷体系、点电荷与导体球体系等放入其中时，我们也可以先求解出该场在静态场中的电场强度，再与非静态场所产生的进行矢量的叠加，得到我们所求电磁场。
3.2含不稳定电荷源非静态场的计算
y
x
0
z
图（3-2）
如图（3-2）所示，取为高斯面，闭合回路，
设在真空中有限区域内存在轴对称电荷分
布，在区域中变化但总量不变，则
任意一点的场强可表示为
其中和分别表示为轴向单位矢量和径向单
位矢量。
这两个方向的变化都会产生感应磁场都会被其他径向场强分量变化产生的磁场沿着切线方向，表示为，为切向方向的单位矢量。
若高斯面上下底面的半径为r，高为，则上下底面各点轴向场强和径向场强分量可以表示为、和,。
磁感应强度可以表示为和;高斯面侧面各点的轴向场强分量和径向电场强度分量的大小可表示为和；磁感应强度为；轴线上的场量为；，。
显然对于高斯面的上下底面积只有轴向场强分量可以产生电通量。
对于侧面则有径向的场强分量可以产生电通量。
根据高斯定理有
取闭合回路，根据
取高斯面下底面,由
将轴线上的场强值作为的初值，由步积分、修正得
由上可以看出在含不稳定电荷源的轴对称非静态场中，只有轴向的变化的电场产生磁场。
3.3本章小结
本章主要讨论了在满足在区域中含有一个或几个电荷（电流），边界形状比较规则，且非静态电流源或电荷源具有轴对称性。
也正是它们具有轴对称性，使得它们产生的磁场或电场只有在切向方向，又因为场为矢量，满足叠加原理。
所以在满足镜像法的使用条件下，在轴对称的非静态场的中，引入稳定电流源，根据在第三章的结论中与（4.1）、（4.2）中的轴对称的对应场量叠加，从而得到我们的轴对称的非静态场分布。
若我们加入一点电荷时，它不仅仅受到附加场的影响，它还会受到感应场的对其产生库伦力和洛仑兹力的影响。
所以在这样的非静态场中，镜像法并不适用。
若我们加入一稳恒的线电流时，且与源电流相垂直，这样排除电流与电流间的安培力的影响。
在作出这样的假设及近似时，镜像法可以适用。
结束语
我们利用镜像法求解静电场中的场分布时，根据场的唯一性定理，在不改变原电场分布的情况下，用一个或多个假想电荷等效的代替规则导体表面的感应电荷分布，再利用边界条件解出场的分布。
此方法将复杂的边界问题简化为几个电荷间的场的叠加问题。
由此类推，将镜像法应用到静磁场中，通过第四章的讨论，我们可以看出，磁像法与静电场镜像法有相似的地方，但也有更细致和困难的地方，更有不能相比较的地方（介质中的场）。
所以讨论这些问题很有必要。
磁像法讨论了静磁场B的唯一性定理及其应用，同样也是解静磁场边值问题的方法[15]。
应用唯一性定理，对静电磁场的边值问题采用各种不同的法求解，得出的结果都是相同的[1,4,9]。
也在此基础上,研究发现解导体表面比较规则（平面、球形、柱形）时，将表面有无传导面电流情况下的或导体接地时的边界条件写出来时得到。
当然，用镜像法求解时，还要注意相关基本规律的成立。
例如．用镜像法求解稳恒磁场还应保证安培环路定理的成立，所以在确定像电流的位置时，不能将镜像电流放在求解区[16]。
同样根据在第四章中对镜像法在非静态场中的应用的讨论，我们可以看出轴对称的电流或电荷分布的产生的感应场具有一定的方向性，在克服这方向场的影响，即假定其他方向的场为静态的，将电荷或电流在静态场中产生的场与非静态场的场进行场的矢量的迭加，从而得出轴对称非静态场的磁场或电场的分布。
参考文献
1郭硕鸿.电动力学[M].第二版.北京高等教育出版社，1997：
50-313
2赵凯华、陈熙谋.电磁学[M].高等教育出版社，2003：
59-63
3朱永远.纵场和横场的边值问题[J].大学物理，1992（9）.12
4王广泰.磁像法在解静磁场边值问题中的应用[J].大学物理，2004：
23（6）.29-30
5崔雪梅.导体边界问题的可视化研究[J],西南民族大学学报：
自然科学版2008年第3期
6文盛乐.关于稳定磁场唯一性定理的在讨论[J].大学物理，1991：
10（10）.23
7文盛乐．关于稳定磁场唯一性定理的再讨论[J]．大学物理，1991：
10（10）：
8罗世彬、宋福.矢量场唯一性定理.大学物理，1994年第13卷第7期，5－8
9臧学平,运用镜像法求解电磁场问题的探讨<<池州师专学报>>,2003年第17卷第05期
10姚尚锋.电象选择的唯一性[J]．大学物理，2001：
20
11李子军.电像法的选择的不唯一性[J].大学物理，2004：
26（6）.18
12油罐防腐接地系统的接地电阻和电流场的计算[J].华东电力，2005：
1
13欧阳金华、韩玲玲、宗明吉.用虚位移法计算静磁场.《枣庄学院学报》2008年第2期
14邓先金.祁向军.含不稳定电流源轴对称非静态场的计算[J].西南科技大学学报，2007：
4
15祁向军.含不稳定源轴对称非静态场的计算[J].大学物理，2006：
25（10）
致谢
本学位论文是在我的指导老师黄永平的亲切关怀和悉心指导下完成的。
在此我非常感谢她能在百忙之中花费宝贵时间和精力指导培养我们，对我们所犯错误悉心指正，帮助我们更加地完善毕业论文，从中也使我学到了写论文方面的一些知识和解决问题的方法，以及认识到遇到困难时要有不骄不躁的态度。
同时感谢我们小组同学的帮助。
在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。
最后，我要特别感谢我的家人，没有你们的支持，就没有今天的我。
愿把我的幸福和快乐都送给关心和支持过我的人，也愿他们一切如意。
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