第25讲巧用乘法原理与加法原理解题.docx
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第25讲巧用乘法原理与加法原理解题
第25讲巧用乘法原理与加法原理解题
巧点晴——方法和技巧
乘法原理:
如果完成一件事需要n个步骤,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法…做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有m1×m2×…×mn种方法。
由于上述的各个步骤彼此互不影响,因此各个步骤安排的先后顺序不同并不影响结果。
这就使我们可以选择适当顺序来研究它们,以使问题简便地得到解决。
加法原理:
如果所要计数的对象有n类,第一类有m1种,第二类有m2种…第n类有mn种,那么这些对象总计有m1+m2+…+mn种。
应用加法原理的关键是将所有计数的对象依据同一标准,分为不重、不漏的若干类。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】王芳、小华、小花三人约好每人报名参加学校运动的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项比赛中的一项,问报名的结果会出现多少种不同情形?
分析三人报名参加比赛,彼此不受影响,可看做分三步完成。
首先王芳报名,她可以报四个项目的任何一项,有4种不同情形;再由小华报名,仍可报四项中的任何一项,也有4种不同情形;最后小花报名,同样有4种不同情形;再由小华报名,仍可报四项中的任何一项,也有4种不同情形;最后小花报名,同样有4种不同情形。
根据乘法原理,共有不同情形
4×4×4=64(种)
做一做有5件不同的上衣,3条不同的裤子,4顶不同的帽子,从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束,最多有多少种不同的装束?
【例2】从3名男生、2名女生中选出优秀学生干部3人,要求其中至少有一名学生,一共有多少种不同选法?
分析与解所有不同的选法可以分为两类:
第一类是恰好选出一名女生;第二类是选出两名女生。
第一类的选法可以分两步:
首先从2名女生中选出1人,有2种选法;其次再从3名男生中选出2人,有3种选法。
根据乘法原理,第一类方法共有2×3=6(种)。
第二类的选法也可分两步:
首先从2名女生中选2名女生,只有唯一选法;再从3名男生中选出1名,有3种选法。
根据乘法原理,第二类方法共有1×3=3(种)。
当然,第二类方法也可以直接判断出来。
根据加法原理,共有6+3=9(种)不同选法。
做一做23名男生、2名女生排成一行照相,女生不站两头,且女生站在一起,问有多少种不同站法。
【例3】用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少没有重复数字的三位数?
分析与解根据题意,百位上可取1,2,3,4这4个数字,有4种取法;百位数字确定后,十位上的数字可从余下四个数字中任取一个,有4种取法;个位数字从余下的三个数字中任取一个,有3种取法。
根据乘法原理,能组成4×4×3=48(个)没有重复数字的三位数。
做一做3有五张卡片,分别写着数字1,2,4,5,8。
现从中取出3张卡片,并排放在一起,组成一个三位数,如123。
问:
可以组成多少个不同的偶数?
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】地图上有A,B,C,D四个国家,如右图所示。
现用红、蓝、黄、绿四种颜料给地图染色,使相邻国家的颜色不同。
问:
有多少种不同的染色方法?
分析与解对于任一种符合要求的染色方案,
比如,A着红,B着绿,C着黄,D着红,可以看
做是按A,B,C,D的顺序着色的,也就是说第一步给A差红色,第二步给B着绿色,第三步给C着黄色,第四步给D着红色,所以我们可把给地图着色分成四个步骤。
第一步给A着色有4种选择;第二步给B着色,因A,B相邻,只有3种着色方法;第三步给C着色,C与A,B相邻,只能有2种方法;第四步给D着色,D与B,C相邻,也只有2种方法。
根据乘法原理,不同的染色方法共有
4×3×2×2=48(种)
做一做4如右图所示的地区内有六个国家,A,B,C,D,E,F,现对每个国家用红、黄、蓝、绿、紫这五种颜色中的一种进行着色,并使得相邻国家必须着不同颜色,那么一共有多少种不同的着色方法?
【例5】从1到400的所有自然数中,不含数字3的自然数有多少个?
分析从1到400的自然数可分为三类:
一位数、两位数和三位数。
一位数中不含数字3的有72个。
这是因为十位上的数字有1,2,3,5,6,7,8,9这样8种取法,个位上的数字有1,2,4,5,6,7,8,9,0这种9种取法,根据乘法原理应有不含数字3的两位数8×9=72(个)
三位数中不含数字3的有163个。
除去400外,因百位上有1,2两种取法,十位上与个位上均有0,1,2,4,5,6,7,8,9这样9种取法,根据乘法原理,百位是1,2而十位和个位均不含3的三位数共有
2×9×9=162(个)
根据加法原理,从1到400自然数中不含数字3的有
8+72+163=243(个)
这道题还可以这样考虑:
把一位数前面添两个零,两位数前面添一个零,比如2写成002,45写成045,这样一来全变成了“三位数”。
除去400外,考虑不含数字3的这样的“三位数”的个数。
百位上可以取0,1,2有3种情形,十位与个位均可以取0,1,2,4,,5,6,7,8,9,各有9种情形。
根据乘法原理,这样的数共在
3×9×9=243(个)
但是需要特别注意,数“000”不合要求,另外还需要补上符合要求的数字400,这样,恰好仍有243反而不含数字3的“三位数”,再重新删去添加在前面的零,得到的结果仍不变。
做一做5从1到1000自然数中,一共有多少个数字0?
【例6】从19,20,21……,92,93,94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少?
解从19到94共计76个不同的整数,其中有38个奇数,38个偶数。
若选取两数之和为偶数,必须且只需选取的两个数有相同的奇偶性,所以选取的方法数分为两类:
第一类,选取两个不同偶数的方法数;第二类,选取两个不同奇数的方法数。
依加法原理,这两类方法数的总和即为所求的方法数。
第一类是从38个偶数中选取两个不同偶数的方法数,先取第一个偶数有38中方法,从其余37个偶数中选择第二个有37中方法,依乘法原理,共有(38×37)中不同的方法。
但注意选取第一个数比如30,选取第二个数比如32,与选第一个数32,再选第二个数30,是同一组,所以总的选法数应该折半,即共有
种不同的选法。
第二类是从38个奇数中选取两个不同奇数的方法数,与上述方法相同,也有
种不同的选法。
所以,选法总数是
+
=38×37=1406(种)
做一做6有大小两个正方体,每个正方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6。
将两个正方体投掷在桌面上。
向上的一面数字之和为偶数的情形有多少种?
C级勇夺冠军
【例7】假如电子计时器所显示的十个数子是“0126093028”这样一串数,所表示的是1月26日9时30分28秒。
在这串数里,“0”出现了3次,“2”出现了2次,“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次,而“4”、“5”、“7”没有出现。
如果在电子计时器所显示的这串数里,“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次,称它所表示的时刻为“十全时”,那么2003年一共有个这样的“十全时”。
解
(1)容易验证在1、2、10、11、12月内没有“十全时”。
(2)3月中只有形式0321□□符合条件。
其中两个方格中可以填入4或5,四条横线上可以填6、7、8、9中的一个,于是共有2×(4×3×2×1)=48(个)“十全时”。
同理4、5月内也分别各有48个“十全时”。
(3)6月里有两种形式符合条件:
061□□①,0621□□②
对于形式①,两个方格中可以填4或5,三条横线上可以填7或8或9,于是共有2×(3×2×1)=12(个)“十全时”。
形式②两个方格中可以填3或4或5中的任意两个数,三条横线上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一个数。
于是共有(3×2)×(4×3×2×1)=144(个)“十全时”。
所以6月里共有“十全时”12+144=156(个)。
同理7、8、9月内也分别各有156个“十全时”。
综上所述,2003年一共有48×3+156×4=768(个)“十全时”。
做一做7在1,2,3……,100这100个自然数中,取两个不同的数,使得它们的和是7的倍数,共有种不同的取法。
巧练习——温故知新(二十五)
A级冲刺名校·基础点晴
1.四个好朋友去看电影,电影院有3个入口,他们进入电影院有多少种走法?
2.一次作文竞赛有20篇范文,老师要从中选出两篇寄到《小学生作文》杂志社去,有多少种选法?
3.从3,5,7,11,13,17这六个数中,取两个数构成真分数,这样的真分数有多少个?
4.12321,90009,41014有一共同的特征,它们倒过来还是原来的数。
这样的五位偶数有多少个?
5.从1到500的数中,不含数字0和1的数有多少个?
B级培优竞赛·更上层楼
6.将一个正方形分割成4个小正方形,用5种颜色染色,要求每个小正方形染同一种颜色,相邻(即有公共边的)小正方形染不同的颜色。
问:
有多少种不同的染色方法?
7.自然数115中含有两个数字1,那么从1到1000这1000个自然数中一共有多少个数字1?
8.数1447,1005,1231有一些共同的特征,它们都以1开头,含有两个相同数字,且都是四位数。
问:
这样的数共有多少个?
9.今有壹角币、贰角币、伍角币各1张,壹元币4张,伍元币2张,用这些纸币任意付款,可以付出多少种不同的金额?
10.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.如图,一块圆形的纸片分成4个相同的扇形,用红、黄两种颜色分别涂满各扇形,共有几种不同的涂法?
12.平面上有7个不同直线上的点,任意三点都不在同一直线上。
以这7个点为顶点作三角形,使得任何两个三角形至多只有一个公共顶点,问:
最多可以作出多少个满足条件的三角形?
13.李明有壹角人币4张,贰角人民币2张,壹元人民币3张。
如果李明从中至少取一张(至多取9张),那么他取出的总钱数可有多少种不同情形?
14.甲、乙两地相距999千米,沿路设有标志着距甲地及乙地路程的里程碑。
试问:
有多少个里程碑上只有两个不同的数码?
15.在8×8的棋盘上剪下一个由四方小方格组成的凸字形(如下图),有多少种不同的剪法?
巧总结
本节我的收获是:
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不足之处有:
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