教案.docx

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教案

综合与实践

平面图形的镶嵌

教学目标：

1．经历探索多边形密密铺（镶嵌）条件的过程，进一步发展学生推理、交流的意识和一定的审美情趣；

2．通过探索平面图形的密铺，知道哪些图形可以密铺；

3．通过本节的学习，进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用。

教学重点：

多边形密铺的条件

教学难点：

运用三角形、四边形成正六边形进行简单的密铺。

教学方法：

议论探索法，实践发现法

第一环节观察在线，直观感知

1．活动内容：

（1）观察工人师傅铺地砖的情境；

（2）观察校园中平面图形密铺的实况录像；（见课件）

2．观察小结：

（1）什么叫平面图形的密铺？

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进形拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称叫做平面图形的镶嵌。

（2）生活中平面图形的密铺随处可见。

3．活动目的：

通过观察平面图形密铺的实例，进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用。

第二环节探索平台，合作研讨

1．活动内容：

四人小组合作研讨

知识介绍：

在平面内，各角相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形；边数为n的多边形的内角和等于（n-2）·180°

探索活动问题1：

[做一做]：

用准备好的学具进行小组合作活动。

用大小相同的正三角形、正六边形能否密铺？

简述你的理由。

能否用正五边形进行密铺？

A．学生动手操作，小组活动观察。

B．介绍正多边形

C．学生小组议论

D．教师展示多媒体动画和学生进一步观察回顾探索活动

思考探索归纳：

（1）用形状、大小完全相同的正三角形可以密铺？

每个拼接点处有6个角，每六个角分别这种三角形的内角，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°。

（2）用同一种正四边形可以密铺，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角，它们的和为360°。

结论：

用同一种正三角形、正四边形、正六边形可以密铺。

2．思考探究：

[议一议]

除正三角形、正四边形、正六边形能密铺外，还能找到其它能密铺的正多边形吗？

正五边形能否密铺？

为什么？

请叙述你的理由？

还能找到其它能密铺的正多边形吗？

A．学生小组同伴研讨、拼接。

B．小组长交流发表小组意见

C．师生归纳总结

正五边形不能密铺∵正五边形的每个内角都是108°360不是108的整数

∴在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°。

∵在每个拼接点处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼接四个，必定有重叠现象。

因此正五边形不能密铺。

除正三角形、正四边形、正六边形外，其它的正多边形都不可以密铺。

∵正N边形每个内角

设在每个拼接点处，有m个内角彼此无重叠，无缝隙拼接在一起。

则

m=360°（m-2）（n-2）=4（m、n正整数）

∴m-2，n-2是4的因式

∴m=6，m=4，m=3，

N=3n=4n=6

∴只有正三角形、正四边形、正六边形，可以密铺，其它正多边形不能密铺。

3．活动研讨小结

1．同一种正多边形是否可以密铺的关键是：

一种正多边形的一个内角的倍数是否360°。

2．用大小相同的正三角形、正四边形、正六边形都可以密铺，其他正多边形都不可以密铺。

4．活动目的和效果。

通过[做一做]、[议一议]实践合作思索研讨，学生从实践层面和理性分析合情推理方面，得到数学事实，正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，其它正多边形不能密铺。

活动效果：

小组能很好合作、配合进行实践活动并思索研讨

合作研讨

除正三角形、正四边形、正六边形能密铺外，

第三环节实践之间探索研讨

1．活动内容：

[做一做]、[议一议]

探索活动问题2：

（1）同一种任意三角形能否密铺？

。

（2）用同种任意四边形可以密铺吗？

与同伴交流；

（3）在用同种三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角，它们与这这种三角形的三个内角有什么关系？

（4）在用同种四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？

拼接摆摆，将你实践探索的结论与同伴交流

2．实践小结归纳：

教师展示多媒体动画和学生进一步观察回顾探索活动。

（1）可以。

（2）可以。

（3）6个，这6个角分别是这种三角形的内角（其中有三组分别相等），它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°。

（4）每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角，它们的和为360°。

归纳：

同一种任意三角形、任意四边形都能密铺各需要6个、4个。

同一种任意三角形取6个，顶点拼接处为360°。

同一种任意四边形取4个，顶点拼接处将为它们的和。

平面图形能密铺的条件是，每个拼接点处的多边形各内角之和能组合成180°或360°。

3．活动目的与效果

由对特殊图形的密铺到一般图形密铺的探索，实践了“实践—认识—再实践—再认识”的研究问题的方法。

意在通过学生的活动，发现多边形可以密铺的条件。

第四环节思考时空理性深化

1．活动内容：

[练一练，想一想]

1．如图，在一个正方形的内部按图示①的方式剪去一个正三角形，并平移，

形成如图②所示的新图案，以这个图案为“基本单位”是否进行密铺？

说说你的理由。

（1）学生练习、思考、交流；

（2）师生交流小结

可以，正方形是可以密铺的，而本题只是在整个密铺图案中，

将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，

因而它也是可以密铺的。

2．活动目的与效果

平面图形的密铺是体现多边形在现实生活中应用价值的一个方面，

也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。

第五环节：

交流乐园，发现归纳

1．活动内容：

如何以下图中的

（1）、

（2）为拼图的“基本单位”，拼出图（3）、（4）、

（5）、（6）？

如果允许图形作轴对称变换，那么还可以拼出怎样的图案？

2．活动目的与效果

意在展示密铺图案的丰富多彩性，同时，为有兴趣的学生研究多种多边形的密铺、不规则图案的密铺提供了范例，增强了学生对密铺的理解。

第六环节：

收获评价，总结提高

1．活动内容：

（1）目标回顾

●本节课你有什么收获和感受？

●本节课你有什么疑惑和问题？

●你能给自己和同伴在本节课的学习作个评价吗？

●学到了什么？

密铺的含义，密铺的条件，密铺的应用，探索平面图形的密铺

思想方法：

观察、实验、探究、合作、比较、归纳、解决问题

（2）欣赏时空：

美丽的密铺图案

综合与实践

生活中的“一次模型”

教学目标：

⒈经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。

⒉综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系。

⒊会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。

第一课时

教学过程展示：

第一环节：

知识回顾，建立联系

1.举例说明一元一次方程（组）、一次函数、一元一次不等式（组）之间有什么样的关系？

2.举例说明生活中常见的用一元一次方程（组）或一次函数或一元一次不等式（组）相关知识解决的实际问题。

设计意图：

在问题的求解过程中，教师引导学生切身体会并探究三者之间的内在联系，为后续建立数学模型并求解实际问题奠定基础。

第二环节：

讨论交流，提出问题

在学生提出的实际问题基础之上，汇总出几个有价值的研究材料供学生选择。

材料1探索出租车如何计价

1.日间出租车价与里程数之间的函数关系；

2.夜间出租车价与里程数之间的函数关系；

3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等。

材料2探索商场促销现象

节假日商场经常打出打折的牌子,在各种以打折名义进行的促销活动中，如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题。

调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式，列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析，用你得到的结论，指导周围的人理性消费。

材料3关于集资活动的调查

1.学校的社团常常需要筹措资金，如果你是某个组织中的成员，请列出一张清单，写出你所需要的资金项目。

2.在1的基础上，计划一下资金增长的方式，当你完成你的计划时，同时考虑一下为了增长资金是否还需要一些必要的开销，用方程、不等式和函数表示你的计划及盈利情况。

3.将你筹措资金的情况展示给大家，做一个报告叙述你的观点，并与同伴交流，报告中要用到2中的方程、不等式和函数。

材料4：

关于教育开销的调查

1.计算一下自己从现在起到参加工作，总共需要多少教育资金。

2.考虑你如何支付这些费用，帮家长写一个储蓄计划。

3.用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量。

4.将你的调查与同学交流一下，让大家看看你的调查是否可行？

如果可能请他们提供改进的建议。

材料5：

伴着人类电子行业的迅速发展，手机的用途越来越广，越来越被我们青睐，因此话费问题也经常会被纳入家庭经济核算.如今的话费收取种类众多，如何选取最适合自己的一套方案也被人们所重视.我们就对话费的选取这方面进行研究与调查.

首先提供一张王先生10月份话费清单：

移动公司出来两种话费计费方式：

月租

本地主叫限定时长/min

主叫超时费/（元/min）

被叫

方式一

20

120

0.20

免费

方式二

50

200

0.10

免费

请根据所学一元一次方程、一元一次不等式或一次函数等知识，构造相应数学模型，结合实际情况帮助王先生选择一种较合适的话费方案.

设计意图：

由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。

这时，需要教师依据学生的学习水平，给予恰到好处的帮助，在数学模型的建立，方程、不等式、函数关系的构造等方面，可以让不同认知水平及能力层次的学生都经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的研究过程。

在深度上，不同认识层次的学生可以选择不同的问题情境，又可以不同程度地融合数学知识，让不同的学生在数学上得到不同的发展

第三环节：

组建小组，确定方案

1.在教师的指导下，学生根据自己的情况选择合适的研究内容组成研究小组。

组内人员进行明确分工。

2.组内讨论，形成完整的调查研究方案。

第四环节：

交流评价，完善方案

1.分小组在班上交流调查方案，并对每个方案进行评价提出修改建议。

2.组内完善方案。

利用可与时间进行实地调查，完成调查报告。

设计意图：

学生通过经历这样的数学活动，体会数学学习不仅仅是做习题，而且要学会用数学的视角分析现实问题，揭示并理解现实问题。

必要时，教师可以提供一些背景，提出研究方向，给出一些具体的问题等。

评价建议：

1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程。

2.关注学生自主参与，培养合作能力和反思意识。

3.关注学生模型思想的建立，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题。

对于问题研究的深度，可以让不同认识层次的学生选择不同的问题情境，也可以不同程度的融合数学知识，让不同的学生得到不同的发展。

5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力，研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精练、准确程度。

生活中的“一次模型”

第二课时

课题素材：

家庭用电成本如何节约？

案例说明：

本案例以追求家庭最低用电成本为主线贯穿，从家庭峰谷用电量的实际数据、峰谷电价的差异，到家用电器功率以及用电时间的调查、整理分析，反馈课题活动小组的研究课题选题的意义、研究方向的正确性、研究方法的合理性以及研究结论的实用性。

当然，类似的，教师还可以指导学生做水表费用和煤气表费用的调查。

学生作品：

一个小组的课题报告

一元一次不等式与一元一次方程、一次函数问题的调查

今天,我们小组正在路皓家讨论数学活动.突然,一阵敲门声打断了我们的谈论,原来是小区的物管人员来查电表.一位同学建议:

为什么不以小区内的用电方案作为我们的活动主题呢?

收集数据

南京现在有两种用电收费方法:

分时电表

普通电表

峰时（8:

00~21:

00）

谷时（21:

00到次日8:

00）

电价0.55元/千瓦·时

电价0.35元/千瓦·时

电价0.52元/千瓦·时

路皓家所在的小区用的电表都换成了分时电表.

问题：

家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？

解决问题

解：

设某家庭某月用电总量为a千瓦·时（a为常数）：

谷时用电x千瓦·时,峰时用电（a-x）千瓦·时,分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元.

则函数关系式为：

y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a.

1.当0.35x+0.55（a-x）=0.52a时,解得x=0.15a.此时,y1=y2.

说明如果一个家庭把每月的用电量的15%放在谷时使用,则两种方法费用相等.

2.当0.35x+0.55（a-x）＞0.52a时,解不等式,得x＜0.15a.此时,y1＞y2.

说明如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15%,则普通电表合算.

3.当0.35x+0.55（a-x）＜0.52a时,解不等式,得x＞0.15a.此时,y1＜y2.

说明如果一个家庭每月在谷时的用电量大于每月总用电量的15%,则分时电表合算.

路皓家最近两个月用电的收据:

谷时用电（千瓦•时）

峰时用电（千瓦•时）

合计（元）

181

239

181×0.35＋239×0.55＝194.80

根据上表,我们进行了计算:

x=181,a=181+239=420。

x÷a=181÷420≈0.430.43＞0.15

所以用分时电表是合算的.

（当然，仅仅根据一个月的数据来判断是远远不够的，需收集多个月的数据来判断，这里由于时间较短，无法收集齐全.）

深入探究

根据分时电表的特点，除了日常必须按时进行的一些用电外，如果能将可调用电时间控制在21：

00~8：

00（谷时）,使

的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费.对此,我们进行了归纳和分析:

部分家庭电费明细表/月

电器名称

功率（W）

时间

（时/天）

用电量

（千瓦•时）

谷时电费

（元）

峰时电费（元）

差额

（元）

时间

是否可调

洗衣机

294

1.5

13.23

4.63

7.28

2.65

是

电灯

40

5.0

6.00

2.10

3.30

1.20

否

电水壶

1800

0.5

27.00

9.45

14.85

5.40

是

电饭煲

500

0.5

7.50

2.63

4.13

1.50

否

电冰箱

140

10.0

42.00

14.70

23.10

8.40

否

电视机

80

6.0

14.40

5.04

7.92

2.88

否

门灯

3

24.0

2.16

0.76

1.19

0.43

否

合计

2857

47.5

112.29

39.21

61.77

22.46

注：

1=1000W×1h

月用电总量（千瓦•时）=功率×使用时间×30÷1000

根据上表,我们小组成员们认为可以将洗衣、烧水等时间可调、功率较大的电器放在谷时工作,这样就可以充分发挥分时电表的优势，使

的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费，如果家家户户都能这样做的话，必定可以节省一笔不小的开支.

后记

其实不仅用电是这样，生活中许多方面也是这样，比如银行存款、贷款的选择等.只要你多注意生活中的细节，做个有心人，不说一定节约多少开支，至少能为你的生活增添不少乐趣吧.

这一次，我们小组在实际生活问题的基础上,建立了数学模型，运用了一次函数、一元一次方程和一元一次不等式,把它们三者紧密地联系在一起，解决了日常生活中的问题.此外,我们还学到了一个理财的小技巧.

真是处处留心皆“数学”呀！

点评：

该小组同学提交的课题报告结构合理，对活动过程的描述清晰，主题选择贴近即生活实际，又运用了“三个一次”的数学模型，由生活原型感悟“三个一次”数学模型的作用。

他们得到的结论又可以运用于生活实际。

这些都会给学生带来成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣和应用意识。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

学生通过探究“家庭用电成本如何节约？

”的问题可以说经历了一个建立和求解模型的过程，而且还会体会到他们的现实生活中蕴含着大量的与数学有关的问题，这些问题可以抽象为数学中的某个问题，用数学的方法加以解决。

教材设置《生活中的一次模型》这个综合实践活动，不仅仅是反映“三个一次”模型的综合运用，培养学生的应用意识，另一方面是想让学生经历设计解决问题的具体方案，使其不断思考，尝试发现和提出问题，进一步获得建立数学模型的经验。

学生能够通过小组合作形成探究报告，是非常难能可贵的，教学中希望更多地教师像刘黔芳老师一样引导学生善于反思和总结，初步体会进行规范的科学研究的过程与方法。

三、评价学生活动的参考标准

由于本课题比较开放，教学评价会有一定难度，对学生的小组活动报告进行评价，可参考以下标准：

评价结果采用四个等级：

A、B、C、D。

其分别对应：

优秀、良好、中等、基本合格。

一般情况，尽量不给予不合格的评价，除非其与D级水平有明显差异。

等级表现描述：

D：

仅仅选定了一个较为简单的课题开展研究，并给出了正确、合理化解答。

问题本身、求解过程没有体现综合运用三个“一次模型”的知识的活动。

或者虽然提出了一个较为合适的研究问题，但没有提供完整的求解思路、框架、步骤，以及确定的操作程序和明确分工；未能掌握一元一次不等式、一元一次方程与一次函数相关的知识，不了解三者之间的关系；

提交的课题报告中仅仅阐述了部分课题活动过程，但存在一些明显的表述问题，如结构不完整、一些语言表述不准确、使用了不当的数学语言或符号等；没有对课题活动进行反思的意识。

C：

能够基本准确地提出与一元一次不等式、一元一次方程与一次函数相关的研究课题，能将一元一次不等式、一元一次方程与一次函数集中融入一个实际问题，并从中提取有用的信息，构建正确的数学模型，综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识求解；

小组合作制定正确、可行的研究方案，包括解决问题的基本思路、基本策略、活动框架、具体操作和实施的步骤、必要的人员分工和需要收集的资料等，而且能够对方案在数学方面的正确性作必要的说明；

提交的课题活动报告结构基本合理，对活动过程的描述基本正确，可读性一般；但内容至少包括：

选择的问题情境、获得数据的过程、建立的数学模型、求解过程、解释与应用等几方面；结合实际问题情境,分类写出多个函数关系,并运用不等式或方程确定函数关系成立的条件,再将所有可能的解用图像表示。

能较为正确地使用一些数学语言、符号、图像等进行解释和验证。

有对课题活动的过程、方法、结果进行反思的意识，对活动过程中出现的意外情况作必要的处理，包括改变方法、调整方案等。

B：

能将一元一次不等式、一元一次方程与一次函数集中融入一个实际问题，并从中提取有用的信息，构建正确的数学模型，综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识求解。

小组合作制定正确、可行的研究方案，包括解决问题的基本思路、基本策略、活动框架、具体操作和实施的步骤、必要的人员分工和需要收集的资料等，而且能够对方案在数学方面的正确性作必要的说明。

提交的课题报告结构合理，对活动过程的描述清晰、准确，具备良好的可读性和可交流性；内容应包括：

背景问题是如何选取的，问题的哪些方面涉及三个“一次模型”的知识，小组中各个成员分别承担的具体职责，完成了方案的基本步骤，较为明确、深刻的运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识对已选定的实际问题进行分析，正确地使用了必要而恰当的数学语言、符号、图像等进行解释和验证，方法简洁、合理、多样化，涉及归纳、类比、数学化、推理等数学思想方法。

能够完成预设方案中的基本步骤，如能够获得解决问题所需的数据，对数据做必要的处理，合理运用于建立符合三个“一次”的数学模型、并获得正确的课题活动结果；提供解释结果正确性的论述过程。

能对整个课题活动的过程、方法、结果进行反思，能够对活动过程中出现的意外情况作合适的处理，包括改变方法、调整方案等。

A：

在B级基础上，能够具备下列表现中的2个方面，即可以算作A级。

除能够综合运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的知识外，还能创造性灵活应用其他相关知识或方法于解决问题的过程中；

能够提出富有创意的解决问题思路；

能够对课题活动的过程、方法、结果做较为深刻的反思；在此基础上进一步发现一元一次不等式、一元一次方程与一次函数在同一问题中存在的关系和不同意义，将所获得的结论做实质性推广或比较准确地描述不同方法的优劣等；

能够进一步提出更一般性的三个“一次模型”的相关问题。