河北省专接本数学-----考点知识大全-.doc
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河北省专接本数学
考点知识大全
第一部分
一、初等代数
1.一元二次方程（），
⑴根的判别式
当时，方程有两个相异实根；
当时，方程有两个相等实根；
当时，方程有共轭复根。
⑵求根公式为.
⑶韦达定理；.
2.对数运算性质（，）
⑴若，则；
⑵，，，；
⑶；
⑷；⑸；
⑹，⑺.
3.指数运算性质
⑴，⑵⑶；
⑷；⑸；⑹；
⑺；⑻.
4.常用不等式及其运算性质
⑴若，则
①，；
②（），（）；
③（），（）；
④（，），（，）；
⑤（为正整数，）.
⑵绝对值不等式
设，为任意实数，则
①；
②（）等价于，特别；
③（）等价于或；
⑶某些重要不等式
①设，为任意实数，则
；
②设，，…，均为正数，为正整数，则
.
5.常用二项式展开及因式分解公式
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸；
⑹；
⑺；
⑻；
5.牛顿二项式展开公式（为正整数）
.
其中组合系数，，.
6.常用数列公式
⑴等差数列：
，，，…，.
首项为，第项为，公差为，前项的和为
.
⑵等比数列：
，，，…，.
首项为，公比为，前项的和为
.
7.一些常见数列的前项和
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸.
8.阶乘.
二、平面三角
1.基本关系
⑴；⑵；
⑶；
⑷；；；.
2.倍角公式
⑴；
⑵；
⑶.
3.半角公式
⑴；
⑵；
⑶.
4.和角公式
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸.
5.和差化积公式
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
6.积化和差公式
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
7.特殊三角函数值
角
函数
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
三、初等几何
下面初等几何公式中，字母表示圆半径，表示高，表示斜高，表示角度。
1.三角形面积（为底边长）
2.梯形面积（，为梯形两底边长）
3.圆周长；圆面积
4.圆扇形周长；圆扇形面积
5.正圆柱体体积；正圆柱体侧面积
6.正圆锥体体积；正圆锥体侧面积
7.球体体积；球体表面积
四、平面解析几何
1.基本公式
⑴给定点，，则与间的距离
⑵设有两直线，其斜率分别为，，则
两直线平行的充要条件为＝
两直线垂直的充要条件为＝－1
2.平面直线的各种方程
⑴点斜式：
直线过点，其斜率为，则直线方程为
⑵斜截式：
直线斜率为，在轴上截距为，则直线方程为
⑶两点式：
直线过点与，则直线方程为
⑷截距式：
设直线在轴与轴上的截距分别为，，则直线方程为
3.曲线方程
⑴圆周方程：
圆心在点，半径为的圆周方程为
⑵抛物线方程：
顶点在圆点，焦点在的方程为
顶点在圆点，焦点在的方程为
顶点在，对称轴为的方程为
顶点在，对称轴为的方程为
⑶椭圆方程：
中心在原点，为长半轴，为短半轴，焦点在轴上的椭圆方程为
⑷双曲线方程：
中心在原点，为实半轴，为虚半轴，焦点在轴上的双曲线方程为
⑸等边双曲线方程：
中心在原点，以坐标轴为渐近线的双曲线方程为
（为常数）
第二部分专接本数学知识考点大全
一、基本初等函数
1、常函数，其定义域（）
2、幂函数（为常数），性质随改变，在总
有定义且时，函数在定义域内单调增加；当时，
在单调减少。
图像必过点（1,1），
举例如图1
3、指数函数，定义域，值域
。
当时，单调增加，当时，单调减少，
常用函数
4、对数函数，是指数函数的反函数，
定义域，值域，当时，单调增加，
当时，单调减少
5、三角函数
有六个：
6、反三角函数
有四个：
二、函数极限
1、极限收敛及其性质：
或
性质有：
唯一性、有界性、奇偶子列均收敛、保序性
2、数列四则运算法则：
，则
（1）
（2）当及时，数列的极限也存在，
且有
3、函数极限两边夹定理：
如果函数满足：
（在的某空心邻域内成立即可）；
（2），则
4、重要极限
（1）
（2）
5、无穷大（小）量
当。
则：
（1）时，称
或是的低阶无穷小。
记（）
（2）时，称，
当时，称两者为等价无穷小。
记：
（）
6、连续：
，连续必须左右极限均存在,
为一个间断点间断点的分类：
第一类：
左右极限均存在，又分为：
（1）可去间断点：
，即存在，但或没意义；
（2）跳跃间断点
第二类间断点：
不属于第一类间断点的都是第二类。
或称为无穷型间断点。
7、零点定理：
若函数在闭区间上连续，且与
异号，则至少存在一点，使得
三、导数
1、定义;
存在都存在且相等
几个求导公式：
，，
，
，
，
2、中值定理
⑴、罗尔定理：
若函数在闭区间上连续，在开区间可导，且在区间端点的函数值相等，即，则至少存在一点，使
⑵、拉格朗日中值定理：
若函数在闭区间上连续，
在开区间可导，则至少存在一点，
使（该式又称拉格朗日中值公式）
3、洛必达法则对于未定型函数极值，
4、函数极值问题
⑴、费马定理：
设函数在点处可导，且在处取得极值
则，导数值为0点即驻点。
（注可导函数极值点必是驻
点，反之不一定成立）
⑵、两个充分条件;第一条件：
两端导数异号，左增右减为
极大值点，反之，极小值点；第二条件：
函数在处二阶可导，且，，则当时，在处取得极小值；当时，在处取得极大值。
（时条件失效）
（3）应用题中极值题解题步骤：
①设变量②函数表达式③化简④值域开区间
⑤求导⑥找驻点⑦求最值
5、函数凹凸性及拐点
（1）、凹凸性判定：
内＞0，函数图形凹；
反之＜0为凸函数。
（2）、拐点判定：
①求；
②，求根即不存在的点；
同号时不是。
（3）、渐近线
①若，则直线是曲线的水平渐近线；
②，则直线是的一条垂直渐近线。
数②掌握（4）应用公式：
总成本：
；边际成本；
总收益：
；边际收益:
；
总利润：
；
边际利润
四、积分
1、不定积分
一、常用公式
⑴；⑵；
⑶；⑷
⑸；⑹；
⑺；
⑻；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）（12）
（13）（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）；
；（24）；
（25）
二、换元方法
（1）凑微分
换元法：
I上连续，在I对应的内有
连续导数，且，
则有换元公式，
其中是的反函数。
三、分部积分法：
或
2、定积分注意：
仅与被积函数法则和积分区间有关；
；
定积分中值定理：
一、性质：
线性、可加性、保号性、保序性、
，
中值定理：
二、原函数存在定理：
注意：
（1）换元与分部积分同定积分；
（2）为偶函数则；
为奇函数则）
3、广义积分
讨论广义积分的敛散性（）
（分2种情况讨论P=1和，结论：
时积分发散；
时收敛）
4、旋转体积：
（数一）四、向量（既有大小又有方向）
1、线性运算
1.1加法：
交换律、结合律；
乘法：
结合律、分配律
数乘，则单位向量
1.2空间向量
两点间距离公式
1.3向量积
内积满足交换律、结合律、分配律
内极坐标式，
则
矢量积（外积）：
令，
则；
c与a，b都垂直；a，b，c符合右手定则
5、平面方程
（1）法向量是垂直于平面的非零向量
点法式方程
截距式方程
（2）平面关系：
相交、平行、重合
平面
；
平面
，
点到平面距离
6、空间直线方程（点，方向向量）
①直线标准式（对称式、点向式）
（则直线垂直于x轴）
②参数方程
令，
则
③直线一般（交面式）方程
右手定则应用，则
④线面夹角L与它在平面上投影直线间的夹角，
为L与法向量间夹角，
，
7、曲面方程
椭球面：
（a=b时旋转椭球面）
抛物面，
用截得截痕为双曲抛物面或马鞍面
锥面方程：
五、多元微分
1、偏导：
在某一点处极限值
即为在该点处对x的偏导数。
混合偏导定理：
连续函数
2、全微分（即线性主部）
可微充分条件：
在点处可微；
必要条件：
可微在该点偏导存在，
且，
从而在该点全微分；
充要：
的偏导在在该点连续。
3、复合求导：
链式法则：
复合函数，
u,v偏导存在,f在点（u,v）可微，
则在该店偏导数存在，
且
4、隐函数求导：
（条件F（x,y,z）具有连续偏导，）
5、多元极值：
1、存在的必要条件：
偏导存在，且在处有极值，
则该点偏导必为零即
极值存在充分条件：
二阶偏导连续，一阶导为零，令，
（1），是极值点，是极大值点，是极小值点；
（2），不是极值点；（3）时不能判断。
2、条件极值：
拉格朗日乘数法（自变量间存在约束关系时）
求在条件下极值步骤：
构造L函数：
（为参数，称拉格朗日常数）
写方程组：
解得驻点
六、二重积分（体积）
1、性质：
线性、积分区域可加性、保号性、保序性、
2、x型区域上二重积分“先y后x”的二次积分
Y型“先x后y”
3、极坐标计算
先r后:
先后：
4曲线积分计算公式：
5、格林公式：
闭区域由光滑或分段光滑的简单闭曲线L（正向）围成，，在D上一阶偏导则：
6、积分曲线与路径无关：
等价命题：
二元函数在G一阶连续偏导：
光滑闭曲线L，
曲线积分与路径无关
七、级数
1、通项：
（☆）
☆的部分和数列{}，S有限，若，
则称☆式收敛，S为☆的和，若极限不存在则发散
2、等比级数：
3、性质：
线性、级数加减有限项不改变敛散性、收敛级数加括号仍收敛
收敛必要条件：
通向极限为零即
（注：
但该级数发散）
4、正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界
5、判定方法：
（1）比值审敛法：
两正项级数，，且，
则当级数收敛时，级数也收敛；
发散时，也发散。
极限形式：
若
内则两级数同时收敛或发散
（2）比值审敛法（达朗贝尔）
正项级数且，
则当时收敛；时发散
5、交错级数：
，
莱布尼茨定理：
交错级数满足
（1）；
（2），则级数收敛，且其和，
余项绝对值
绝对收敛：
若级数的绝对值级数收敛，则绝对收敛，
若发散，而收敛，则是条件收敛。
6、幂级数：
，
取，则得x的幂级数（☆）
（1）阿贝尔定理：
对于☆式
（1）当它在点（）处，则它在满足的任何点x处都绝对收敛；
（2）当它在点处发散则对的任何点x处也发散。
（2）收敛半径判定：
设，
则当时，；
当时，；当时，R=0
（3）计算：
和函数逐项求导s'（x）=；
逐项求积分：
（4）泰勒展开：
；
八、微分方程
1、通解：
若为某个n阶常微分方程的解，且含有n个相互独立的任意常数则称这个解为方程的通解。
（注：
同解未必是全部解）
特解：
确定了解中任意常数，或满足一定的条件。
隐式解：
定解问题：
微分方程连同初始条件或边界问题共同构成确定微分方程解的问题
2、一阶微分方程
（1）变量可分离方程：
（连续函数）
分离变量
（2）一阶线性微分方程（奇次形式）
齐次通解*（C为任意常数）
非齐次通解
（3）二阶线性微分方程
（齐次）
齐次两线性无关解的组合是齐次的通解；
非齐次的特解与齐次的通解的非齐次的通解：
二阶常系数齐次线性微分方程
对应的特征方程
特征根
方程的解
为相异实根
二重实根
二阶常系数非齐次线性微分方程
求解方法：
已知齐次相应解，再求一个特解，利用待定系数法，
求特解过程如下：
方程，
其中，，
方程，
其中
九、行列式（数表，正负各半）
1、概念：
1.1主对角线：
左上角到右下角的连线；次对角线：
右上角到左下角的连线
1.2余子式：
行列式中划去元素所在的那一行和列所称的子式，记为，而称为的代数余子式
2、性质：
行列式与其转置相等；
互换行列式两行（列），行列式变号
行列式两行（列）相的值为0；
④用一个数乘以行列式每一行（列）=用该数乘以行列式每一行（列）中所有元素；
⑤行列式两行（列）对应成比例，行列式值为0；
⑥行列式某一行（列）中各元素乘以同一数，然后加到令一行（列）对应元素上去，行列式值不变。
3、克莱姆法则：
为系数行列式
若非其次线性方程的系数行列式D，则方程有唯一解：
。
其中是把系数行列式D中第j列元素依次用方程
右边常数代替后得到的阶行列式。
即
法则含义：
，非齐次方程有唯一解；齐次只有零解；
逆否命题：
非齐次有非零解则D=0
十、矩阵
1、单位阵：
对角矩阵：
反对称矩阵：
主对角线元素两侧对称位置上元素绝对值相等，
正负号相反
2、运算：
加法：
两矩阵均为阶，对应位置相加减；
数与矩阵相乘：
，
且满足
两矩阵相乘：
是阵，是阵，
则乘积是矩阵，
其中，
④可交换矩阵：
满足；注意:
不能推出：
⑤方阵的幂：
，
⑥矩阵转置：
⑦方阵行列式：
由方阵中元素按原来的位置所构成的行列式，
记为
性质：
（大题）3、逆矩阵：
称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵
伴随矩阵：
；
方阵A可逆充要条件：
A的行列式，若A可逆则
性质：
（），
，，
3、矩阵初等行变换：
三种形式：
、对换变换：
互换两行
、倍数变换：
用非零数乘以某一行；
、倍加变换：
数K乘以某行元素后加到另一行对应元素上去
等价矩阵：
A经初等变换成B，则称等价；
具有反身性、对称性、传递性
行最简形：
非零行的首非零元素是1；
首非零元素所在列其余元素都为零
标准形：
主对角元素1，1的个数小于等于列数其余0
两矩阵等价充要条件：
具有相同标准形
4、求逆矩阵:
（单位阵经一次初等变换得到的矩阵）坐乘行变换，右成
列变换
5、矩阵秩：
矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而高于r的子式全为零则称r为矩阵A的秩，记做R（A）=r，当A=0时，R（A）=0.
若r=n，则称A为满秩矩阵，否则称为降秩；
满秩充要条件；A可逆充分条件A秩；
初等行变换不改变矩阵秩
十一、向量组
1、n维向量；
标准向量；
负向量
向量空间：
V为n维向量的非空集合，V对线性运算封闭，
封闭指对
2、线性相关：
若线性组合为m+1个向量，存在一组数，使，则称是的线性组合
2.1、定义：
设是向量空间V的一向量组，不全为零，使，则称线性相关（或相关集组）；否则为线性无关
2.2、判别：
向量组相关充要条件是其中至少一个向量是其余的线性组合；线性无关，而线性无关，则可由表示且表示唯一；和均为V的向量组，B可由A线性表示，则；④相关向量组加上有限个同维向量，新组合仍相关；⑤线性无关的组合加分量后仍无关
3、向量极大无关组和秩：
若存在同维向量的一个子集满足：
线性无关；均可由线性表示，则为的最大（或极大）无关组，而r为的秩。
注：
只含0向量的的向量组秩为0；一般情况极大组不唯一
性质:
无关充要条件：
向量个数等于秩；
向量组和它的最大无关组等价；
等价的向量组有相同的秩；
④矩阵行秩=矩阵列秩=矩阵的秩
十二、方程组
，，
则齐次方程组可表示为（*）
或向量形式，
A为齐次方程的系数矩阵，为未知向量数
1、解的性质：
两个解的和仍是*式的解；解的倍数仍是*的解
2、*式的所有解构成的向量空间称为*式的解空间，用S表示，称S的基为*的基础解系，基础解系的线性组合称为*的通解。
3、齐次方程组只有零解的充要条件R（A）=；有非零解的充要条件R（A）=r。
当R（A）=r时，方程组的任一基础解系中含n-r个解向量；
齐次方程组有非零解的充要条件是系数矩阵行列式
非齐次方程（#）或，称（☆）为增广矩阵
☆式有界充要条件R（A）=R（B）
R（A）=R（B）=n时，☆有唯一解；R（A）=R（B）n，有无穷多解，若为的基础解系，为#式的解，则的通解为
15
15
第三部分接本数学例题精选
注：
【】中为考察的知识点
练习1、【重要极限】
练习2、
练习3、求的间断点，并判断类型【-1】
练习4、证明方程至少有一个小于1正根。
【零点定理】
提示：
构造函数，在【0,1】上，
练习5、
（型）【罗比达法则】
练习6、求函数的极值（周期函数只考虑一个周期）【条件极值】
提示求二阶导，找驻点来判断驻点处二阶导正负，直接由第二充分条件判断。
练习7、讨论的凹凸性及拐点。
（提示求二阶导，不存在的点0,，
结果是凹，凸，凹）
练习8、
【凑微分】
练习9、求【换元】答案提示：
利用，
令（），
最后回代原变量
及
练习10、【分部积分】
练习11、估计的值（解析:
在【1,2】上，
m=1,M=8,b-a=1）【积分中值定理】
练习12、计算极限【原函数存在定理】
提示：
型，等价无穷小替换及洛必达法则，结果
练习11、求其绕x轴一周所围体积
解析：
【旋转体积】
练习13、求【单位向量应用】
（解析：
，）
练习14、求同时垂直于a=（1,-4,1）与b=（3,-1,3）的单位向量
【向量矢量积】
（解析：
，
所以
）
练习15、平面的法向量，【平面关系】
且与点等距，求该平面
（提示设平面方程
结果：
）
练习16、求过点M（2,3.2）且平行于直线的直线方程
（解析：
设方向向量同时垂直于已知的两平面，法向量分别为
=，
又过点M，得直线标准方程，将方程拆成两个方程组，在整理得一般方程）
【空间直线，右手定则】
练习17、设函数由方程确定，
求。
【偏导】
（解析：
）
练习18、求在点（1,2）处全微分【全微分】
（解析：
）
练习19、，求偏导【复合求导】
（解析：
，）
练习20、由确定，求偏导
【隐函数求导】
（解析;两边同时对x求导：
则
两边同时对y求导：
则）
练习21、区域D由与所围成
【二重积分】
（解析：
）
练习22、求曲面与XOY面所围成形体体积【极坐标积分】
（解析：
则）
练习23、，【积分与路径无关】
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