学军保送生测试数学.doc

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保送生测试题（数学）

（时间70分钟，满分120分）

（第1题）

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分.以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分.）

1.在一次学校运动会上，如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内、外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道的起点必须前移，才能使两跑道有相同的长度.如果跑道宽为1.22米，则外跑道的起点应前进（π取3.14）（）

（A）3.83米（B）3.82米（C）3.81米（D）3.80米

2.某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费（）

（图1）

（图2）

（第3题）

（A）7元（B）6元（C）5元（D）4元

3.如图是小华设计的一个智力游戏：

6枚硬币排成一个三角形（如图1），最少移动几枚硬币可以排成图2所示的环形（）.

（A）1（B）2（C）3（D）4

A

B

C

D

H

E

F

G

（第4题）

4.如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S，AE为，则S关于的函数图象大致是（）

x

x

1

x

y

o

1

-1

（A）

y

o

1

1

（B）

y

o

（C）

y

x

o

1

1

（D）

5.将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）

（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种

二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）

6．已知、是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于.

7．如图，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿着边长为90米的正方形按逆时针方向行走（即按A至C至D至B至A……方向行走），如果甲的速度是65米/分，乙的速度是72米/分，那么当乙第一次追上甲时在正方形的边上.

（第8题）

A

B

C

D

甲

乙

（第7题）

O

x（分钟）

y（千米）

A

B

C

D

5

7

12

15

33

43

48

（第9题）

8．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为．

9．在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的折线OA-AB-BC（实线）与线段OD（虚线）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是．

三、解答题（共3题，满分57分）

10．（本题18分）

某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

A

B

成本（万元/套）

25

28

售价（万元/套）

30

34

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？

（2）该公司选用哪种方案建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高万元（＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？

注：

利润售价成本

11.（本题19分）

_

O

_

M

_

N

_

E

_

D

_

C

_

B

_

A

如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,.M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N.求证:

BN=CN．

12．（本题20分）

已知在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度＜＜90），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图）．那么在上述旋转过程中：

（１）线段BH与CK具有怎样的数量关系？

四边形CHOK的面积是否发生变化？

证明你发现的结论；

（２）连接HK，设ＢH＝x,

①当△CKH的面积为时，求出x的值；

②试问△OKH的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

保送生测试题（数学）

参考答案

一、选择题（共有5小题，每小题7分，满分35分）

1．A

2．C

3．B

4．B

5．D

二、填空题（有4小题，每小题7分，共28分）

6．5

7．AB

8．

9．24

三、解答题（共3题，分值依次为18分、19分和20分，满分57分）

10.

（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套.

由题意知2090≤25x+28（80-x）≤2096，48≤x≤50……………3分

∵x取非负整数，∴x为48，49，50

∴有三种建房方案：

A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套.

……………3分

（2）该公司建房获得利润W（万元），由题意知W=5x+6（80-x）=480-x.

……………3分

∴当x=48时，W最大=432（万元）.

即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大.

……………3分

（3）由题意知W=（5+a）x+6（80-x）=480+（a-1）x.

……………2分

∴当0＜a＜1时，x=48,W最大，即A型住房48套，B型住房32套.

当a=1时，a-1=0，三种建房方案获得利润相等.

当a＞1时，x=50，W最大，即A型住房50套，B型住房30套.

……………4分

11.连结AC和BD，

∵弦CD垂直于直径AB,

∴BC=BD.

∴∠BCD=∠BDC.

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．

∵∠BDC=∠OAC，∴∠BCD=∠OCA．

∴△BCD∽△OCA．……………4分

∴=……………3分

在△CDN和△CAM中,

∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM,

∴△CDN∽△CAM；……………4分

∵=.……………3分

∴==,∴CN=CB,即BN=CN.…………5分

12.

（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半.……………2分

理由如下：

连结OC，∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，COAB；

∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，

∴∠COK=∠BOH=,∴△COK≌△BOH，……………5分

∴BH=CK，S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=4.

……………3分

（2）①由

（1）知CK=BH=x，∵BC=4，∴CH=4－x，

根据题意，得CH·CK=，即（4－x）x=3，

解这个方程得x1=1，x2=3，此两根满足条件：

0＜x＜4，

所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；

……………5分

②设△OKH的面积为S，由

（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：

S=4－S△CKH=4－x（4－x）=（x2－4x）+4=（x－2）2+2

当x=2时，函数S有最小值2，

∵x=2时，满足条件0＜x＜4，

∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2.

……………5分

6