常见曲线的参数方程.doc
《常见曲线的参数方程.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常见曲线的参数方程.doc（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
2.2常见曲线的参数方程
第一节圆锥曲线的参数方程
一椭圆的参数方程
1、中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程是的椭圆的参数方程为为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程是的椭圆的参数方程为为参数）
2、椭圆参数方程的推导
如图，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的任一点，连接，与小圆交于点B，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点。
设以为始边，为终边的角为，点的坐标是。
那么点的横坐标为，点的纵坐标为。
由于点都在角的终边上，由三角函数的定义有
3
当半径绕点旋转一周时，就得到了点的轨迹，它的参数方程是为参数）
这是中心在原点，焦点在轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数的意义
圆的参数方程为参数）中的参数是动点的旋转角，但在椭圆的参数方程为参数）中的参数不是动点的旋转角，它是动点所对应的圆的半径（或）的旋转角，称为点的离心角，不是的旋转角，通常规定
4、椭圆参数方程与普通方程的互化
可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程为参数，，易得，可以利用平方关系将参数方程中的参数化去得到普通方程
②在椭圆的普通方程中，令，从而将普通方程化为参数方程为参数，
注：
①椭圆中参数的取值范围：
由普通方程可知椭圆的范围是：
，结合三角函数的有界性可知参数
②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
二、双曲线的参数方程
1、以坐标原点为中心，焦点在轴上，标准方程为的双曲线的参数方程为为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在轴上，标准方程是的双曲线的参数方程为为参数）
2、双曲线参数方程的推导
如图，以原点为圆心，为半径分别作同心圆，设为圆上任一点，作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点。
过点分别作轴，轴的平行线交于点。
设为始边，为始边的角为，点，那么点
因为点A在圆上，由圆的参数方程的点A的坐标为。
所以，，因为，所以，从而，解得，记
则。
因为点在角的终边上，由三角函数的定义有，即
所以点M的轨迹的参数方程为为参数）
这是中心在原点O，焦点在轴上的双曲线的参数方程。
3、双曲线的参数方程中参数的意义
参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角，成为点M的离心角，而不是OM的旋转角，通常规定，且
4、双曲线的参数方程中参数的意义
因为，即，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化
①由双曲线的参数方程为参数），易得，可以利用平方关系将参数方程中的参数化去，得到普通方程
②在双曲线的普通方程中，令，从而将普通方程化为参数方程为参数）
三、抛物线的参数方程
1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为为参数）
同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线的参数方程是为参数）
2、抛物线参数方程的推导：
如图
设抛物线的普通方程为，其中表示焦点到准线的距离。
设为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为终边的角为。
当在内变化时，点在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，故可取为参数来探求抛物线的参数方程。
由于点在的终边上，根据三角函数的定义可得，即，代入抛物线普通方程可得为参数）
这就是抛物线（不包括顶点）的参数方程。
如果令，则有为参数）
当时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点，因此当时，参数方程就表示整条抛物线。
3、抛物线参数方程中参数的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
四、例题：
例1、已知椭圆的参数方程为为参数），点在椭圆上，对应的参数，点为原点，则直线的斜率为____________.
解：
当时，故点的坐标为，所以直线的斜率为。
例2、已知椭圆的参数方程为为参数，），则该椭圆的焦距为________.
解：
由参数方程得将两式平方相加得椭圆的标准方程为
所以焦距为
例3、O是坐标原点，P是椭圆为参数）上离心角为所对应的点，那么直线OP的倾斜角的正切值是_________
解;把=代入椭圆参数方程为参数），可得P点坐标为，所以直线OP的倾斜角的正切值是
例4、已知曲线为参数），为参数）
化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解：
，，为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
例5、设为抛物线上的动点，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。
解：
设点，令，则，得抛物线的参数方程为，则动点，定点，由中点坐标公式知点的坐标满足方程组
即为参数）
这就是点的轨迹的参数方程。
消去参数化为普通方程是，它是以轴为对称轴，顶点为的抛物线。
例6、在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离。
解：
因为椭圆的参数方程为为参数），所以可设点的坐标为
由点到直线的距离公式，得到点到直线的距离为：
其中满足于
由三角函数的性质知，当时，取最小值。
此时
，，因此，当点位于时，点与直线的距离取最小值。
例7、已知抛物线，O为坐标原点，是抛物线上两点且，若直线的倾斜角分别为，求抛物线方程。
解：
设，由抛物线参数方程可知，即
故，同理知，因为
所以，得抛物线方程为
例8、已知两曲线的参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________.
解：
，表示椭圆
表示抛物线，联立得解得
又因为，所以它们的交点坐标为
例9、如图所示，设为双曲线上任意一点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，试求平行四边形的面积。
解：
双曲线的渐进线方程为，不妨设为双曲线右支上一点，其坐标为，则直线的方程为
将代入，解得点A的横坐标为
同理可得，点的横坐标为，设
则，，所以平行四边形的面积为
例10、如图所示，是直角坐标系，是抛物线上异于顶点的两动点，且，并与相交于点，求点的轨迹方程。
解：
根据条件，设点M，A，B的坐标分别为
，则，
，
因为，所以
即：
①，
因为，所以，即，所以，即②
因为，且三点共线，
所以
化简得③
将①②代入③，得到，即轨迹方程。
随堂练习
1、一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km，短轴长为15443km，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。
解：
所以参数方程为
2、已知椭圆上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点的连线分别与轴交于两点，O为椭圆的中心，求证：
为定值
解：
设，
直线方程：
，令，则
所以
直线方程：
，令，则
所以所以
即为定值。
3、求证：
等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
证明;设是等轴双曲线，是双曲线上任意一点，它到两渐近线的距离分别是
所以是常数。
4、经过抛物线的顶点O任作两条互相垂直的线段，以直线的斜率为参数，求线段的中点M的轨迹的参数方程。
解：
设方程：
，则方程：
由，求得，同理可得
所以中点M的参数方程为
为参数）
5、设曲线为参数）与轴交点为。
点在曲线上，则所在直线的斜率之积为（）
A、B、C、D、
解：
曲线的普通方程为，与轴的交点坐标为，又设曲线上任意一点，
则的斜率的积为选A
6、过点且与曲线为参数）有相同焦点的椭圆的方程是（）
A、B、C、D、
解：
曲线为参数）的普通方程为，把点代入选项可知应选A。
再验证一下焦点是否为
7、中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（）
A、B、C、D、
解：
由解得，选C
8、椭圆为参数）的两个焦点坐标是（）
A、B、C、D、
解：
由椭圆为参数），可知，且焦点在轴上，焦点坐标为，选B。
9、点到曲线（其中，参数）上的点的最短距离是（）
A、0B、1C、D、2
解：
方程表示抛物线的参数方程，其中，设点是抛物线上任意一点，则点到点的距离
所以最短距离为1，选B。
10、双曲线为参数）的两条准线方程分别是__________.
解：
双曲线的普通方程为，所以双曲线的焦点在轴上，且中心在原点，对称轴为轴，轴，所以两条准线方程为，且，所以准线方程为。
11、椭圆中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程是__________
解：
设斜率为1的平行弦的方程为，代入椭圆方程可得。
，所以方程的两根满足，，则中点满足消去得到（椭圆内部分），即为斜率为1的平行弦的中点轨迹方程。
第二节直线的参数方程
一、知识点;
1、经过点，倾斜角为的直线的普通方程是
如图所示在直线上任取一点，则
设是直线的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同），则
因为，所以存在实数，使，即
于是，即
因此，经过点，倾斜角为的直线的参数方程为
为参数）
2、因为，由，得到，因此，直线上的动点到定点的距离，等于为参数）中参数的绝对值。
3、当时，，所以，直线的单位方向向量的方向总是向上。
此时，若，则的方向向上；若，则的方向向下；若，则点与点重合。
4、直线的一般参数方程转化为标准的参数方程
已知直线的参数方程为为参数），由直线的参数方程的标准形式为参数）可知，参数的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为为参数）
再令，由直线倾斜角的范围让在范围内取值，并且把看成标准方程中的参数，即得标准形式的参数方程式为为参数）
5、直线参数方程的应用
设过点，倾斜角为的直线的参数方程是为参数）
若是上的两点，它们所对应的参数分别为，则
（1）两点的坐标分别是，
（2）
（3）线段的中点P所对应的参数为，则，中点P到定点的距离
（4）若为线段的中点，则
（5）曲线上有两点A，B关于直线对称，可设AB中点为，则直线AB的参数方程为，其中，再利用解之。
二、例题
例1、直线为参数）上与点距离等于的点的坐标是_________
解：
根据距离公式可得，解得，代入可得或
例2、直线过点，倾斜角为，且与直线交于M，则的长为-_________
解：
直线的方程为代入，解得=
例3、已知直线的斜率，经过点，点在直线上，以的数量为参数，则直线的参数方程为__________.
解：
由参数的几何意义可知，直线的参数方程可以写成标准形式为参数）其中为直线的倾斜角。
因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角，所以
所以直线的参数方程为为参数）
例4、设曲线的参数方程为为参数），直线的方程为，则曲线C到直线的距离为的点的个数为（）
A、1B、2C、3D、4
解：
由曲线C的参数方程得对应的圆的圆心坐标为，半径，那么C到直线的距离，那么直线与曲线C相交，结合图像可知C上到距离为的点有2个。
例5、设极点与原点重合，极轴与轴正半轴重合。
已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为为参数），则两曲线公共点的个数为_________
解：
将两曲线方程化为直角坐标方程，得，，两直线平行或重合，所以公共点的个数为0或无数。
填：
0或无数
例6、已知直线与圆为参数），试判断它们的公共点的个数
解：
圆的方程可化为，其圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以直线和圆相交，交点个数为2.
例7、设直线过点，倾斜角为
（1）求的参数方程；
（2）设直线，与的交点为，求
解：
（1）由题意得为参数），即为参数）
（2）点在上，只要求出点对应的参数，则就是点到点的距离，把的参数方程代入中，得
，所以，即，为正值，根据参数的几何意义，知
例8、直线为参数）与圆为参数）交于A，B两点，求的长
解：
若求的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数方程化为普通方程。
由圆的参数方程知圆的普通方程为
所以将直线方程代入圆的方程，得
即，所以由
知
例9、已知点是圆上任意一点，欲使不等式恒成立，求的取值范围
解：
圆的参数方程为，
则有
，的最大值为，由于恒成立，即
例10、在圆上求两点，使它们到直线的距离分别最短和最长。
解：
将圆的方程化为参数方程为参数），则圆上点的坐标为，它到所给直线的距离为，其中。
故当，即时，最长，这时，点A的坐标为；当，即时，最短，这时，点B的坐标为
例11、已知直线与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长和点到A，B两点的距离之积
解：
因为直线过定点，且的倾斜角为，所以它们的参数方程是
为参数）即为参数）
把它代入抛物线的方程，得，解得
由参数的几何意义得，
例12、经过点作直线，交椭圆于A，B两点。
如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程
解：
设过点的直线的参数方程为为参数）
代入椭圆方程，整理得
由的几何意义知，，因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以，因为点M为线段AB的中点，所以
即，于是直线的斜率为，因此，直线的方程是
，即
三、练习题
1、直线与圆为参数）的位置关系是（）
A、相切B、相离C、直线过圆心D、相交但直线不过圆心
解：
因为，所以直线与圆相交，选D
2、经过点且倾斜角为的直线，以定点到动点P的位移为参数的参数方程是（）
A、B、C、D、
解：
根据直线参数方程的定义，易得，即选D
3、参数方程为参数）所表示的曲线是（）
A、一条射线B、两条射线C、一条直线D、两条直线
解：
因为，即或，故是两条射线。
B
4、曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）
A、B、C、1D、
解：
由题意得，下面只解的情况，其他情况类似，当时，，故距离的最大值是，选D
5、曲线方程为参数）上的点与定点距离的最小值是______
解：
最小距离
6、对任意实数，若直线与圆恒有公共点，则的取值范围是________
解：
由题意得点恒在圆内，由，则
7、设直线经过点、倾斜角为
（1）求直线的参数方程；
（2）求直线和直线的交点到点的距离；
（3）求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积
解：
（1）直线的参数方程为为参数）
（2）将直线的参数方程中的代入，得，所以，直线和直线的交点到点的距离为
（3）将直线的参数方程中的代入，得
设该方程的两根为，则，可知均为负值，所以，所以两个交点到点的距离的和为，积为10.
8、已知经过点，斜率为的直线和抛物线相交于A，B两点，设线段AB的中点M，求点M的坐标。
解：
设过点的直线AB的倾斜角为，由已知可得
所以，直线的参数方程为
为参数）代入，整理得
中点M的相应参数是，所以点M的坐标为
9、经过点作直线交双曲线于A,B两点，如果点M对线段AB的中点，求直线AB的方程。
解：
设过点的直线AB的参数方程为
为参数）代入双曲线方程，整理得
，设为上述方程的两个根，则
，因为点M为线段AB的中点，由的几何意义知
所以，于是得到，因此，所求直线的方程为
，即
10、经过抛物线外一点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于，如果成等比数列，求的值。
解：
直线的参数方程为为参数），代入，得到，
由根与系数的关系，得到
因为，所以，即
所以，即
升级会员 