导数复习经典例题分类(一).doc
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导数解答题题型分类
题型一：
最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；
经验1：
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：
令得到几个根；第二步：
列表如下；第三步：
由表可知；
经验2：
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：
第一种：
变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：
分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：
关于二次函数的不等式恒成立；第四种：
构造函数求最值；题型特征（恒成立恒成立）；参考例4；
例1.已知函数，是的一个极值点．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．
例2.设。
（1）求在上的值域；
（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值范围。
例3.已知函数图象上一点的切线斜率为，
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
例4.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
例5.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（1）若函数在处有极值，求的解析式；
（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．
题型二：
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；
经验1：
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：
第一种：
转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！
有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；
第二种：
利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；
第三种方法：
利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；
特别说明：
做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；
经验2：
函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
第一步：
画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：
解不等式（组）即可；
例6．已知函数，，且在区间上为增函数．
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
例7.已知函数
（I）讨论函数的单调性。
（II）若函数在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。
例8．已知函数f（x）＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．
（Ⅰ）求导数（x）；（Ⅱ）若（－1）＝0，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若f（x）在（－∞，－2]和[2，＋∞）上都是递增的，求a的取值范围
例9.已知：
函数
（I）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平行，求实数的关系式；
（II）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围.
例10．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时，的极小值为．
（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：
当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．
例11．在函数图像在点（1，f
（1））处的切线与直线平行，导函数的最小值为－12。
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程解的情况（相同根算一根）。
例12．已知定义在R上的函数，当时，取得极大值3，.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.
例13.已知函数的单调减区间为（0，4）
（I）求的值；
（II）若对任意的总有实数解，求实数的取值范围。
例14.已知函数是常数，且当和时，函数取得极值.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围.
例15.已知f（x）＝x3＋bx2＋cx＋2．
⑴若f（x）在x＝1时有极值－1，求b、c的值；
⑵若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
例16.设函数，，当时，取得极值.
（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；
（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.
题型三：
函数的切线问题；
经验1：
在点处的切线，易求；
经验2：
过点作曲线的切线需四个步骤；
第一步：
设切点，求斜率；第二步：
写切线（一般用点斜式）；第三步：
根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：
判断三次方程根的个数；
例17.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：
（1）的解析式；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
例18.已知（为常数）在时取得一个极值，
（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；
（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围．
题型四：
函数导数不等式线性规划结合；
例19.设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为．
（1）若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式；
（2）若在区间上是单调递减函数，求的最小值。
例20.已知函数
（1）若图象上的是处的切线的斜率为的极大值。
（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值。
例21.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行.
（I）试确定、的符号；
（II）若函数在区间上有最大值为，试求的值.
题型五：
函数导数不等式的结合
例22.已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.
例23.已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
例24.已知函数（a、c、d∈R）满足且在R上恒成立。
（1）求a、c、d的值；
（2）若，解不等式；
例25.设函数（），其中
（1）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程；
（2）当时，求函数的极大值和极小值；
（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立。
导数解答题题型分类之拓展篇答案
题型一例1、解：
（Ⅰ）.∵是的一个极值点，
∴是方程的一个根，解得.
令，则，解得或.
∴函数的单调递增区间为，.
（Ⅱ）∵当时，时，
∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.∴是在区间[1，3]上的最小值，且.若当时，要使恒成立，只需，即，解得.
例2、解：
（1）法一:
（导数法）在上恒成立.
∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。
法二:
复合函数求值域.
法三:
用对号函数求值域.
（2）值域[0,1]，在上的值域.
由条件,只须，∴.
例3、解：
（Ⅰ）∴，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又
∴的值域是
（Ⅲ）令
∴要使恒成立，只需，即
（1）当时解得；
（2）当时；
（3）当时解得；综上所述所求t的范围是
例4、解：
（Ⅰ）
令=0,得
因为，所以可得下表：
0
+
0
-
↗
极大
↘
因此必为最大值,∴因此，，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
例5、解：
∵，∴由有，即切点坐标为，
∴切线方程为，或，整理得或
∴，解得，∴，∴。
（1）∵，在处有极值，∴，即，解得，∴
（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴∴的取值范围是
题型二答案：
例6解：
（1）由题意∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，
令得或由
（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得
综上，所求的取值范围为
例7、解：
（1），当a>0时，递增；
当a<时，递减。
（2）当a>0时
0
+
0
－
0
+
增
极大值
减
极小值
增
此时，极大值为…………7分
当a<0时
0
－
0
+
0
－
减
极小值
增
极大值
减
此时，极大值为因为线段AB与x轴有公共点所以解得
例8、解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）由，由得或x=又在[-2，2]上最大值，最小值
（Ⅲ），由题意知
例9、解：
（I）设切点,,因为存在极值点，所以，即。
（II）因为，是方程的根，
所以，。
；在处取得极大值，在处取得极小值.函数图像与轴有3个交点，，
例10解：
（Ⅰ）设其图像关于原点对称，即得∴，则有由，依题意得∴①，②由①②得故所求的解析式为：
.（Ⅱ）由解得：
或，∴时，函数单调递增；设是时，函数图像上任意两点，且，则有∴过这两点的直线的斜率.
例11、解：
（1）又直线
（2）由
（1）知，列表如下：
x
f′
+
0
－
0
+
f（x）
极大值
极小值
所以，函数f（x）的单调增区间是和
例12、解：
（1）由得c=1 ，得∴
（2）得，时取得极值.由，得∴.，，∴当时，，∴在上递减.又∴函数的零点有且仅有1个
例13、解：
（I）又（II）。
例14、解：
（Ⅰ），依题意，即解得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解。
设，则，由0的或，当时，于是在上递增；当时，于是在上递减.依题意有∴实数的取值范围是.
例15、解：
⑴f'（x）＝3x2＋2bx＋c，由题知f'
（1）＝03＋2b＋c＝0，f
（1）＝－11＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f（x）＝x3＋x2－5x＋2，f'（x）＝3x2＋2x－5
f（x）在[－，1]为减函数，f（x）在（1，＋∞）为增函数∴b＝1，c＝－5符合题意
⑵即方程：
恰有三个不同的实解：
x3＋x2－5x＋2＝k（x≠0）
即当x≠0时，f（x）的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，由⑴知f（x）在为增函数，f（x）在为减函数，f（x）在（1，＋∞）为增函数，又，f
（1）＝－1，f
（2）＝2∴且k≠2
例16、解：
（1）由题意当时，取得极值，所以即
此时当时，，当时，，
是函数的最小值。
（2）设，则，……8分
设，，令解得或列表如下：
__
0
+
函数在和上是增函数，在上是减函数。
当时，有极大值；当时,有极小值
函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点
或
题型三答案：
例17、解：
（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：
，∴
（2）设切点Q，
过
令，
求得：
，方程有三个根。
需：
故：
；因此所求实数的范围为：
例18、解：
（1）∵函数在时取得一个极值，且，
， ．
或时，或时，时，
， 在上都是增函数，在上是减函数． ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是
（2）由
（1）知．设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：
． 将点代人上述方程，整理得：
．
∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实根． 设，则
，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故 得：
．
题型四答案：
n
0
2
3
例19、解：
（1）根据导数的几何意义知由已知-2，4是方程的两个实根由韦达定理，∴，
（2）在区间上是单调递减函数，所以在区间上恒有
，即在区间上恒成立
这只需满足即可，也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方由图知当时，有最小值13；
例20、解：
（1）由题意得
令
由此可知
－1
3
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值－9
↗
时取极大值
（2）上是减函数
上恒成立
作出不等式组表示的平面区域如图
当直线经过点时取最小值
例21、解：
（I）由图象在处的切线与轴平行，
知，∴①…………3分
又，故，.…………4分
（II）令,
得或……………………6分
易证是的极大值点，是极小值点（如图）.…………7分
令，得或.…………………………………………8分
分类：
（I）当时，，∴.②
由①，②解得，符合前提.
（II）当时，,∴.③
由①，③得.记,
∵,
∴在上是增函数，又，∴,
∴在上无实数根.综上，的值为.
题型五答案：
例22、解：
（Ⅰ），由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．
所以函数的解析式为．
（Ⅱ）解：
．
当时，显然（）．这时在，上内是增函数．
当时，令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋
0
－
－
0
＋
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅲ）解：
由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．
科网
例23、解：
（1）由题意
①
②
由①、②可得，故
（2）存在 由
（1）可知，
+
0
－
0
+
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
，
.
的极小值为1.
例24、解：
（1），，，即，
从而。
在R上恒成立，，
即，解得。
（2）由
（1）知，，，
∴不等式化为，
即，∴
（a）若，则不等式解为；
（b）若，则不等式解为空集；
（c）若，则不等式解为。
例25、解：
（Ⅰ）当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）解：
．
令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（Ⅲ）证明：
由，得，当时，，．
由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，
只要即 ①
设，则函数在上的最大值为．
要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．
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