二次曲线的方程化简、作图及分类-教学与应用数学本科毕业论文.doc
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本科毕业论文
题目：
二次曲线的方程化简、作图及分类
学院：
数学与计算机科学学院
班级：
数学与应用数学2007级5班
姓名：
曹振佐
指导教师：
李秀兰职称：
教授
完成日期：
2011年5月18日
二次曲线的方程化简、作图及分类
摘要:
本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷.特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了.
关键词:
坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换
目录
1引言 1
2预备知识 1
3二次曲线的方程的化简 2
3.1用坐标变换化简二次曲线 2
3.1.1化简缺少项的二次曲线 2
3.1.1.1利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线 2
3.1.1.2利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线 3
3.1.2利用转轴化简含有项的二次曲线 3
3.1.3一般二次曲线方程的化简 4
3.1.3.1中心曲线的化简 4
3.1.3.2非中心二次曲线的化简 5
3.2通过主直径,主方向化简二次曲线 5
3.2.1中心曲线的化简 6
3.2.2无心曲线的化简 6
3.2.3线心曲线的化简 7
3.3用不变量、半不变量化简二次曲线 8
3.3.1中心曲线的化简 8
3.3.2无心曲线的化简 8
3.3.3线心曲线的化简 9
3.4正交变换化简二次曲线 9
3.5合同变换法化简有心二次曲线 10
4二次曲线的方程的作图 12
4.1中心二次曲线的作图方法 12
4.2无心二次曲线的作图方法 13
4.3线心二次曲线的作图方法 15
5二次曲线的方程分类 16
5.1二次曲线的分类 16
参考文献 17
1引言
我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图.
平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量以及完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.
2预备知识
在平面直角坐标系上,由二元一次方程
所表示的曲线,叫做二次曲线.
我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图.
为了方便起见,我们引进下面一些记号:
这样我们容易验证,下面的恒等式成立
式也就可以写成
.
我们把的系数所排成的矩阵
叫做二次曲线的矩阵.
的系数所排成的矩阵
叫做的矩阵.
显然二次曲线的矩阵的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是的系数.
下面我们引用加个符号
,,.
这里的是矩阵的主对角元素的和,是矩阵的行列式,是矩阵的行列式.
3二次曲线的方程的化简
3.1用坐标变换化简二次曲线
3.1.1化简缺少项的二次曲线
3.1.1.1利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线
方法将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心的坐标由中心方程组给出.
这样将变换公式代入原方程,即可化简原二次曲线.
例1化简二次曲线方程
.
解二次曲线的系数矩阵.
因为,所以此曲线是中心二次曲线.
由中心方程组得
解.
可得变换公式
代入原方程,整理得.（椭圆）
3.1.1.2利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线
例2化简二次曲线方程
.
解将方程的左端配方,得:
.
令
可得变换公式
于是方程化为.（椭圆）
3.1.2利用转轴化简含有项的二次曲线
方法转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式
给出.
然后将变换公式代入原方程.
例3化简二次曲线方程
.
解这里.
由得,
所以转轴公式为
代入原方程,整理得.（抛物线）
3.1.3一般二次曲线方程的化简
3.1.3.1中心曲线的化简
方法一般采用先移轴后转轴较为简便.
例4化简二次曲线方程
.
解因为即此曲线为中心曲线.
先移轴,由中心方程组得
解得
故移轴公式为
代入原方程,整理得.
对方程进行转轴.
即.
故转轴公式为代入方程
整理得最简方程为.（双曲线）
3.1.3.2非中心二次曲线的化简
方法一般采用先转轴后移轴进行化简
例5化简二次曲线方程
.
解因为,所以此曲线是非中心曲线.
先进行转轴,即.
故转轴公式为
代入原方程,得.
对进行移轴（实质配方）,得:
.
令则变换公式为
则原方程化简为.（抛物线）
3.2通过主直径,主方向化简二次曲线
方法一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含项.
3.2.1中心曲线的化简
方法取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.
例6化简二次曲线方程
.
解因为,,
所以此曲线是中心曲线.其特征方程为
因此两特征根为
.
由,分别对应的两个主方向为,.
由两主方向决定的主直径分别为和取二主直径为新坐标系轴,得
解得
代入原方程,化简得.（双曲线）
3.2.2无心曲线的化简
方法取它的唯一的一个主直径为轴,过顶点垂直于主直径的直线为轴建立坐标系（顶点为坐标原点）
例7化简二次曲线方程
.
解这里.
因为,所以此曲线是无心曲线.
因为.其特征方程为
因此两特征根为
.
对应于的非渐近主方向为.
取主直径为为新坐标系轴,主直径与曲线的交点即顶点为
过顶点且以非渐近主方向为方向的直线方程为即.
则变换公式为
解得
代入原方程,整理得.（抛物线）
3.2.3线心曲线的化简
方法取它的中心直线为轴,任取垂直它的直线为轴,建立坐标系.
例8化简二次曲线方程
.
解因为所以此曲线是线心曲线.
唯一的主直径为.
取主直径为新系的轴,取任一垂直它的直线如为轴,这时变换公式为
解得
代入原方程,得.（两条平行直线）
3.3用不变量、半不变量化简二次曲线
3.3.1中心曲线的化简
方法用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为
例9化简二次曲线方程
.
解特征方程为
.
因此两特征根为
可知最简形式为.
即.（椭圆）
3.3.2无心曲线的化简
方法用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为.
例10化简二次曲线方程
.
解因为.
它的最简形式为.
即.（抛物线）
3.3.3线心曲线的化简
方法用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为:
例11化简二次曲线方程
.
解这里即此曲线是线心曲线.
.
所以它的最简形式为:
.
即.（两条平行的直线）
3.4正交变换化简二次曲线
方法任意实二次型
都可以用正交变换化为平方和.
这里是的全部特征根.
例12化简二次曲线方程
.
解上式中所有二次项构成实二次型
.它的系数矩阵.
特征矩阵
.
即的特征根为.
当时,的特征向量分别为单位化得.
以为列向量,作正交矩阵
正交变换为
代入原方程,得.
配方得.
令
则坐标交换为
得标准方程为.（双曲线）
3.5合同变换法化简有心二次曲线
方法对矩阵A作合同变换,即.
所作变换为
这样式就化简成
例13化简二次曲线方程
.
解系数矩阵
.
因为
所以此曲线为中心曲线.
.
这样经变换
使原方程化为.（双曲线）
检验把变换
代入原方程,并整理得
.
经检验,此方法对中心曲线是成立的.
4二次曲线的方程的作图
4.1中心二次曲线的作图方法
对中心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为
.
其中是曲线的两特征根,且轴分别沿和对应的主方向.因此轴关于原坐标系中轴的倾角满足.
可见要从中心二次曲线的简化方程作出其图形,只需以过的中心且与原坐标系中轴的倾角为直线作为轴,建立直角坐标系,然后在该坐标系下作出所表示的曲线即可.
例14求二次曲线的简化方程,并作出其图形.
解因为不变量.
所以解特征方程.
即得曲线的两特征根且由.
得曲线的简化方程为.
即（椭圆）
另外通过解中心方程组
可得曲线的中心.
过作与轴的倾角的直线,并以此作为轴建立直角坐标系,且在该坐标系下作出方程（椭圆）所表示的曲线,如图1所示.
图1椭圆：
4.2无心二次曲线的作图方法
对无心二次曲线,由于同号,不妨设它们均非负.利用不变量可将其简化方程为
其中号可任选,这里不妨取-号,即简化方程为
不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴（主直径）,原点是曲线的顶点（主直径与曲线的交点）.对任意点,若设其在旧、新坐标系的坐标为和,则数与至多差一个正数倍,所以若主直径上某一点或的坐标使或则向量便指向轴的正向因轴正向上的点使为负,否则,便指向轴的负向.可见要从简化方程画出无心二次曲线的图形,只需先求出曲线的主直径和顶点,并选取主直径上一点或若或,则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系;若或则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系,并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可.
例15求二次曲线的简化方程,并作出其图形.
解对所给二次曲线由于.
所以曲线是无心的.
因为曲线的不变量,
所以曲线的简化方程为.
又曲线的主直径为,顶点为.取主直径上一点,由于,所以只需以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可,如图2所示.
图2抛物线：
4.3线心二次曲线的作图方法
对线心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为
.（9）
不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴主直径,所以若曲线的不变量,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若,只需作出与主直径平行的二直线即可.
例16求二次曲线的简化方程,并作出其图形.
解对所给二次曲线由于
.
所以曲线是线心的.
因为二次曲线的不变量,又曲线的主直径为,所以只需在原坐标系下作出直线,即为要作的曲线的图形,如图3所示.
图3两平行直线：
5二次曲线的方程分类
5.1二次曲线的分类
通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一种形式:
[1]（椭圆）；
[2]（虚椭圆）；
[3]（双曲线）；
[4]（点或称两相交于实点的共轭虚直线）；
[5]（两相交直线）；
[6]（抛物线）；
[7]（两条平行直线）；
[8]（两平行共轭虚直线）；
[9]（两重合直线）；
参考文献:
[1]吕林根,许子道.解析几何[M].第4版.北京:
高等教育出版社,2006.
[2]甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题[J].安庆师范学院学报,2004,10
（2）:
45-47.
[3]吕林根.解析几何学习指导书[M]北京:
高等教育出版社,2006.
[4]廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报（自然科学版）,1997,14
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76-81.
[5]傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广[J].湖北师范学院学报（自然科学版）,2001,21
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[6]苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006（23）:
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[7]林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12
（1）:
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[8]席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20（20）:
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[9]WenKT.WaysforthesimplificationoftheBinaryCurveEquation[J].JournalofBijieTeachersCollege,1995,
（2）:
66-71.
[10]QuJ,XiFY.ThesimplificationoftheBinaryCurveEquationbyParameterFunctions[J].HighSchoolMathematicsTeaching,1994,24-25.
SecondCurveEquationReduction
MappingAndClassification
Abstract:
Inthispaper,wegivetheconicsimplifiedmethods,includingseveralforcontracttransformationmethodforsimplifiedcenterabitconicarediscussed.Fromtheconicbynotvariablesimplifiedequationsaidconicmappingisgivenanewmethod.Offsettingtheknowsonlythroughcalculatinginvariantsimplifiedequationandcan'tintheoriginalcoordinatedrawthesecondcurvegraphicsdefects.SpecificallyweusethequadraticcurvesforthenewcoordinatetheLordmadediameterofcoordinatetransformationtothesimplifiedgeneralquadriccurveequation.Thusthegeometryoftheconictheoryandalgebratheorynaturallyrelatesintogether,generallymakesthesecondcurveequationaccordingtothesimplified,mappingandthemetricstandardequationconicclassificationalsoisbrieflyfinishtogether.
KeyWords:
Coordinatetransformation;invarient;Lorddiameter;Maindirections;
Contractexchange
本科毕业论文
题目：
逼近法的相关研究
学院：
数学与计算机科学学院
班级：
数学与应用数学2007级5班
姓名：
晁燕萍
指导教师：
许芝卉职称：
副教授
完成日期：
2011年5月20日
逼近法的相关研究
摘要：
逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.
逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.
关键词：
逼近;二分逼近;逐次逼近;逐步逼近
目录
引言 1
二分逼近法 1
二分逼近法的典型证明方式 1
二分逼近法在数学分析中的应用 2
逐次逼近法以及在泛函分析中的应用 3
逐步逼近法 4
逐步逼近法在微分方程中的应用 5
一次同余式组的逐步逼近解法 8
用剩余定理求解的方法 9
逐步逼近法 10
两种解法计算量的比较 12
参考文献 13
引言
逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列以A为极限,其意即为用去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用,.以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.
二分逼近法
二分逼近法的典型证明方式
二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：
欲找一个具有某一性质的实数,则可以从一个具有相应性质的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空.
现将二分逼近法典型证明方式说明于下
1）确定一个闭区间使其具有某一性质.（由性质决定）
2）逐次二等分得到闭区间列,则所有的闭区间都具有性质,且
（亦可写成：
）
从而得到左右夹逼数列与满足：
3）由实数的连续性得到实数,属于所有的闭区间,使满足：
具有性质.这是由于属于所有的闭区间,被与左右夹逼,不妨形象的表示为：
因而,的任意小的邻域内都包含（m足够大）,于是具有,故具有性质.
是唯一的.事实上,若不唯一,设,且满足
则对任何m,,得到,而,故,即唯一.
二分逼近法在数学分析中的应用
例1设在上连续的单调递增函数满足:
则存在,使.
证明令,将二等分,分点为,
若,则命题结论成立.
若,则取,
若,则取.
逐次二等分区间,一般的对于区间,
若,则命题结论成立;
否则,若,则取,
若,则取.
从而得到两个夹逼数列与满足：
且
于是可知存在实数,使,
由于单增,所以,即:
令
上述证明中,所求的数具有的性质:
而构造的闭区间具有性
质,则确定为
从而得到夹逼数列将“逼出”.
在不同问题的论证中性质与相应的是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实
际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.
二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.
逐次逼近法以及在泛函分析中的应用
逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.
例2在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.
证明设是完备的度量空间,：
XX是压缩映射,
即对于任意,不等式
成立,其中是满足不等式的常数.
先证映射有不动点.构造X中的序列.任取,并令
我们证明是中的基本点列,事实上,
………
一般地,可以证明
于是,对自然数n与,由广义三角不等式得
对任何给定的,只有n充分大,则
因而是柯西序列.
又因是完备的,柯西序列是收敛的,
即存在,使,
再由于是压缩映射,必为连续映射,
于是.在中,令,得到
即是不动点.
再证唯一性.若不唯一,设不动点,则,
于是存在使
则必有,故,则有唯一的不动点.
上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.
逐步逼近法
逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题------袁隆平科技创新方面起到了举
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