高考专题复习解析几何的题型与方法(精髓版).doc
《高考专题复习解析几何的题型与方法(精髓版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考专题复习解析几何的题型与方法(精髓版).doc（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
2015届高三数学题型与方法专题七：
解析几何1【基础知识梳理】
班级：
姓名：
［例1］已知直线的斜率是，直线过坐标原点且倾斜角是倾斜角的两倍，则直线的方程为＿＿＿.
［例2］已知直线的方程为且不经过第二象限，则直线的倾斜角大小为（ B ）
A、； B、； C、； D、.
［例3］与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ）
A、2条； B、3条； C、4条； D、5条.
［例4］过点与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿与.
［例5］直线斜率相等是的――――――――――――――――――（ D ）
A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.
［例6］直线过点与以为端点的线段AB有公共点，则直线倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿..
［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点与点重合，若点与点D重合，则点D的坐标为＿；.
［例8］抛物线C1：
关于直线对称的抛物线为C2，则C2的焦点坐标为＿＿＿＿..
［例9］已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系
是（C）
A、相离； B、相切； C、相交且不过圆心； D、相交且过圆心.
［例10］若圆O：
上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是＿＿＿＿..
［例11］二次方程表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；
.
［例12］已知圆C被轴截得的弦长是2，被轴分成的两段弧长之比为，求圆心C的轨迹方程..
［例13］直线过定点与圆交于A、B两点，则弦AB中点N的轨迹方程为＿＿＿＿＿；（.
［例14］直线过定点与圆交于A、B两点，O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；2.
［例15］已知A是圆上任意一点，点A关于直线的对称点也在圆上，那么实数的值为＿＿＿3＿＿.
C
M
O
N
［例16］已知动圆C与定圆M：
相切，且与轴相切，则圆心C的轨迹方程是＿＿；与.
［例17］已知，一动圆I过点M与圆N：
内切.
（1）求动圆圆心I的轨迹C的方程；
（2）经过点作直线交曲线C于A、B两点，设，当四边形OAPB的面积最大时，求直线的方程.
（1）.
A
B
P
O
Q
（2）由知，四边形OAPB是平行四边形.要使得四边形OAPB面积最大，则△OAB的面积最大，注意变化中的定值条件.△OAB的面积是△AOQ的面积与△BOQ的面积之差.设A，则.可在联立方程组时，消去变量，保留.设直线的方程为，由.由△=，得.由韦达定理得：
知.则=.令，那么：
，
当时等号成立.此时，即所求的直线方程为.
［例18］已知复数满足，则对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；
以与对应点为端点的线段.
［例19］设P是以为焦点的椭圆上的一点，若点P满足：
，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ D ）
A、； B、； C、； D、.
［例20］一直线过椭圆的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线的方程.
［例21］椭圆上有个不同的点，椭圆的右焦点为F，数列是公差为的等差数列，则的取值范围是＿＿＿＿＿..
［例22］已知点，点C在直线上满足，则以A、B为焦点过点C的椭圆方程为＿＿＿..
［例23］一双曲线C以椭圆的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿..
［例24］一双曲线与有共同渐近线且与椭圆有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；.
［例25］若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿..
［例26］已知双曲线的方程为，P是双曲线上的一点，F1、F2分别是它的两个焦点，若，则＿13；
［例27］椭圆和双曲线的公共焦点为，P是它们的一个公共点，则＿＿＿＿＿；.
［例28］双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点，且满足＝，则△的面积为＿＿＿1＿＿＿＿＿.
［例29］抛物线的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿［例30］已知抛物线的焦点为，对称轴为，且过M（3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿＿；
［例31］直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，若A、B两点到轴的距离之和等于3，则这样的直线有（B）
A、1条； B、2条； C、3条； D、不存在.
［例32］直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，O是抛物线的顶点，则△ABO的形状是（ C ）
A、直角三角形；B、锐角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与抛物线的开口大小有关.
[例33]求证：
过抛物线焦点的所有弦长的最小值是.
分析：
本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB，，则由抛物线的定义知.当且仅当时等号成立.此时直线AB与对称轴垂直.
［例34］已知点M是椭圆的一条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别为，则＝―――――――――――――（ C ）
A、； B、； C、； D、.
［例35］设直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线的方程.
分析：
由题可设直线：
代入椭圆方程中得：
，设，可得△OAB的面积S=，可得：
，
则当时，S有最大值为1.此时直线方程为：
.
［例36］设点P为双曲线上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿＿＿；
F1
F2
P
Q
O
［例37］已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点.如果延长到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ A ）
A、圆； B、椭圆； C、双曲线的一支； D、抛物线.
［例38］已知直线过点，双曲线C：
.
（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程；
（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线斜率的取值范围；（3）是否存在直线使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？
若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.
分析：
（1）当直线与轴垂直时，直线满足题义.当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立得方程：
---（*）
当时，方程（*）是一次方程，直线与双曲线有一个公共点，此时直线方程为.当时，由△，得，所以满足题义的直线为：
.
（2）直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△，知且，得或.
（3）若以AB为直径的圆过坐标原点，则，设，即.，，（满足
F
A
B
C
O
［例39］倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点.
（1）△ABC能否为正三角形？
（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围.
分析：
（1）直线方程为，由可得.若△ABC为正三角形，则，由，那么CA与轴平行，此时，又.与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是下正三角形.
（2）设，则，不可以为负，所以不为钝角.
若为钝角，则，，则，得.
若角为钝角，则且C、B、A不共线.可得且.
综上知，C点纵坐标的取值范围是.
2015届高三数学题型与方法专题七：
解析几何2【典型题型方法】
班级：
姓名：
一、轨迹问题
例1、如图，已知圆C：
＋＝（＞1），设M为圆C与轴左半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在轴上．
（1）当＝2时，求满足条件的P点的坐标；
（2）当∈（1，＋∞）时，求N的轨迹G方程；
（3）过点Q（0，2）的直线与
（2）中轨迹G相交于两个不同的点A，B，若＞0，求直线的斜率的取值范围．
解：
（1）由已知得，当＝2时，可求得M点的坐标为（－1，0）．
设P（0，），则由＝－1，得：
＝1，
所以＝±1，即点P坐标为（0，±1）．
（2）设N（，），由已知得，在圆方程中令＝0，
得M点的坐标为（1－，0）．由＝－1，得：
＝＋1．
因为点P为线段MN的中点，所以＝－1＝，＝2，又＞1，
所以点N的轨迹方程为：
＝4（＞0）．
（3）设直线的方程为：
＝＋2，M（，），N（，），
，消去，得：
＋＋4＝0．
∵直线与抛物线＝4（＞0）相交于两个不同的点A，B，
∴△＝－32＋16＞0，得：
＜．
又因为＞0，∴＋＞0，
＋＋5＞0，＋12＞0，
∴＞0或＜－12．综上可得：
0＜＜或＜－12．
例2、如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
（1）已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，在椭圆上是否存在两点、关于直线对称，若存在，则求出函数的解析式.
（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
解：
（1）椭圆与相似.因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为
（2）椭圆的方程为：
.假定存在，则设、所在直线为，中点为.则.所以.中点在直线上，所以有.
（3）椭圆的方程为：
.两个相似椭圆之间的性质有：
（1）两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
（2）分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；（3）两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；（4）过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.
二、最值问题
例3、已知椭圆常数m、n且m>n
（1）当m=25,n=21时,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P,与y轴交于点Q,
若,求直线PQ的斜率；
（2）过原点且斜率分别为k和（）的两条直线与椭圆的交点A、B、C、D（按逆时针顺序排列，A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S
（3）求S的最大值。
解：
（1）椭圆，，设P
，
（2）根据椭圆的对称性知四边形ABCD为矩形，设
设与椭圆方程
（3）,当
又
例4、已知直线L1：
y=kx+1与双曲线的左支交于A、B两点，
（1）求k的取值范围；
（2）直线L经过点P（-2，0）及线段AB的中点Q，CD是y轴上的一条线段，对任意的直线L都与线段CD无公共点，试问CD长的最大值是否存在，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明下由。
解：
（1）
，则，
，令
，即
与直线l无公共点的线段CD长的最大值是
三、参数的取值范围
例5、已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设点P，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。
解:
（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知，椭圆C的方.
（Ⅱ）点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。
如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，
由得.……①
由解得.……②
因为是方程①的两根，所以，于是=，.因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为即亦即解得，此时②也成立.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m故直线斜率的取值范围是
例6、如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.
若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.
（Ⅰ）解法1：
以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0,2）,P（），依题意得｜｜MA｜-｜MB｜｜=｜｜PA｜-｜PB｜｜＝＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.
（Ⅱ）解法1：
依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
设E（x，y），F（x2,y2），则由①式得x1+x2=,于是
｜EF｜＝＝
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1）∪（-1，1）∪（1，.
解法2：
依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴
.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则由①式得｜x1-x2｜=③
当E、F在同一支上时（如图1所示），S△OEF＝
当E、F在不同支上时（如图2所示）.S△ODE=
综上得S△OEF＝于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面积不小于2 ④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，
四、探索性问题
例7、已知等轴双曲线（）的右焦点为，为坐标原点.过作一条渐近线的垂线且垂足为，．
（1）求等轴双曲线的方程；
（2）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：
在轴上是否存在定点，使得为常数.若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
解：
（1）设右焦点坐标为（）.因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为，由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且.
于是可知，为等腰直角三角形，则由，
又由等轴双曲线中，.即，等轴双曲线的方程为.
（2）设、为双曲线与直线的两个交点.因为，直线的方向向量为，直线的方程为.代入双曲线的方程，可得，于是有而.
（3）假设存在定点，使为常数，其中，为直线与双曲线的两个交点的坐标.①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为代入，可得.
由题意可知，，则有，．
于是，
要使是与无关的常数，当且仅当，此时.
②当直线与轴垂直时，可得点,，
若，亦为常数.
综上可知，在轴上存在定点，使为常数.
例8.已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？
若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由
解法一：
（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0
设则得，从而w.w.w.即又
直线SB的斜率由得，故
又
当且仅当，即时等号成立w.w.w.k.s.5时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
综上，存在两个T
2015届高三数学题型与方法专题七：
解析几何（3）巩固提高
班级：
姓名：
一、填空题
1．若过点与的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是____．
2．直线（）的倾斜角的取值范围是_
3．方向向量为，且过点的直线的方程是
4．过点且一个法向量为的直线的点法向式方程为_
5．已知直线的一个法向量为，实数=
6．直线的一个方向向量，则直线与的夹角大小为.（结果用反三角函数值表示）
7．直线和直线垂直的充要条件是__或___．
8．已知直线：
－＋2＋1＝0和：
2－＋3＝0∈R，若与平行，则＝－1，2
9．.直线，，则直线与的夹角为=．
10．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为．
11．.若直线：
被圆：
截得的弦最短，则直线的方程是_______．
12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为
13.在平面直角坐标系中，为坐标原点。
定义、两点之间的“直角距离”。
已知，点为直线上的动点，则的最小值为。
3
14．过抛物线的焦点作弦，点，，且，则．14
A
B
C
D
O
y
x
15．如图，在平面直角坐标系中，椭圆（）被围于由条直线，所围成的矩形内，任取椭圆上一点，若（、），则、满足的一个等式是_______________．
16．椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则．
17．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于．4
18．已知点及抛物线上一动点，则的最小值为2
19．点是函数图像上的任意一点，点，则两点之间距离的最小值是______________.
20．设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点.若,则=.
21.过双曲线的右焦点F（c，0）的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P点，点M、N分所成定比分别为、，则有为定值类比双曲线这一结论，在椭圆（a＞b＞0）中，为
二、解答题：
1．已知椭圆的焦点坐标为，长轴等于焦距的2倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）矩形的边在轴上，点、落在椭圆上，求矩形绕轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．
解：
（1）椭圆的方程为
（2）记，
由，得，．当，即，时取到．
2．
（1）求以为渐近线，且过点的双曲线的方程；
（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的方程；
（3）椭圆上有两点，，为坐标原点，若直线，斜率之积为，求证：
为定值．
解：
（1）设双曲线方程为将代入，得，得双曲线A：
（2）椭圆的顶点为，焦点为，，椭圆B：
（3）设，，由，得，同理可得，
3．已知：
椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；
（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）由，，得，，所以椭圆方程是：
（2）设EF：
（）代入，得，设，，由，得．由，得，
，（舍去），直线的方程为：
即
（3）将代入，得（*）
记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．
4．已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。
（1）求的方程；
（2）过作直线交曲线于两点，使得2，求直线的方程。
（3）若从动点向圆：
作两条切线，切点为、，令|PC|=d,
试用d来表示，并求的取值范围。
解：
（1）由，知点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线。
即设所以所求的的方程为
（2）若k不存在，即x=2时,可得A（2,），B（2,-）,|AB|=2满足题意；若k存在，可设l:
y=k（x-2）联立，由题意知且设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则|AB|=即=2k=0即l:
y=0所以直线l的方程为x=0或y=0
（3）
又
则
在是增函数，
则所求的的范围为。
5．已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为。
⑴若与重合，求的焦点坐标；
⑵若，求的最大值与最小值；
⑶若的最小值为，求的取值范围。
解：
⑴，椭圆方程为，∴左、右焦点坐标为。
⑵，椭圆方程为，设，则
∴时；时。
⑶设动点，则∵当时，取最小值，且，∴且解得。
2015届高三数学题型与方法专题七：
解析几何（4）能力提升
班级：
姓名：
1．已知曲线y＝与直线x＋y－m＝0有两个不同的交点，则m的取值范围是
2、若椭圆的一个焦点是（）则的值是
3、直线的倾斜角的范围是[]
4、已知直线和互相垂直，则实数的值为0,1
5、已知函数在内时，的值有正有负，则实数的取值范围是（）
6、若直线y=a|x|与y=x+a（a>0）有两个公共点，则a的取值范围是
8、已知AB是椭圆的长轴，若把该长轴等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆上半部分于点，设左焦点为，则____
9、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有2条
10、过圆内一点（5，3）有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项，最大弦长为数列的末项，若公差，则k的取值不可能是（A）
A、4；B、5；C、6；D、7
11．已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（）B
（A）（B）（C）（D）
12．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（）B
（A）（B）
升级会员 