1993年全国统一高考数学试卷文科.doc

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1993年全国统一高考数学试卷（文科）

一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）

1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（　　）

A．

2π

B．

C．

D．

2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（　　）

A．

3x+4y﹣5=0

B．

3x+4y+5=0

C．

﹣3x+4y﹣5=0

D．

﹣3x+4y+5=0

4．（4分）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（　　）

A．

﹣2

B．

C．

D．

5．（4分）在[﹣1，1]上是（　　）

A．

增函数且是奇函数

B．

增函数且是偶函数

C．

减函数且是奇函数

D．

减函数且是偶函数

6．（4分）的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（4分）（2002•江苏）集合，则（　　）

A．

M=N

B．

M⊃N

C．

M⊂N

D．

M∩N=∅

8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（4分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（4分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（　　）

A．

a2＞b2

B．

C．

lg（a﹣b）＞0

D．

11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）

A．

圆

B．

椭圆

C．

双曲线的一支

D．

抛物线

12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（　　）

A．

B．

C．

D．

13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（　　）

A．

﹣40

B．

C．

D．

14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（　　）

A．

2π

B．

C．

D．

15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（　　）

A．

a1+a8＞a4+a5

B．

a1+a8＜a4+a5

C．

a1+a8=a4+a5

D．

a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定

16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：

甲：

相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；

乙：

直线l、m中至少有一条与平面β相交；

丙：

平面α与平面β相交．

当甲成立时（　　）

A．

乙是丙的充分而不必要条件

B．

乙是丙的必要而不充分条件

C．

乙是丙的充分且必要条件

D．

乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（　　）

A．

6种

B．

9种

C．

11种

D．

23种

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

18．（4分）设a＞1，则=　_________　．

19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为　_________　．

20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有　_________　种取法（用数字作答）．

21．（4分）设f（x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=　_________　．

22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为

　_________　．

23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为　_________　度．

三、解答题（共5小题，满分58分）

24．（10分）求tan20°+4sin20°的值．

25．（12分）已知f（x）=loga（a＞0，a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；

（3）求使f（x）＞0的x取值范围．

26．（12分）已知数列Sn为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．

27．（12分）已知：

平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．

求证：

（1）a⊥γ；

（2）b⊥γ．

28．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．

1993年全国统一高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）

1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（　　）

A．

2π

B．

C．

D．

考点：

三角函数中的恒等变换应用．

分析：

把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．

解答：

解：

∵f（x）=sinx+cosx

=（

=，

∴T=2π，

故选A

点评：

本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．

2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

双曲线的简单性质．

专题：

计算题．

分析：

由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．

解答：

解：

由题意知，

∴a2=6，c=3，

∴．

故选C．

点评：

本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．

3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（　　）

A．

3x+4y﹣5=0

B．

3x+4y+5=0

C．

﹣3x+4y﹣5=0

D．

﹣3x+4y+5=0

考点：

与直线关于点、直线对称的直线方程．

分析：

求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．

解答：

解：

和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，

设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．

故选B．

点评：

本题是直线的对称问题，一般要用垂直平分解答；本题方法较多，由于对称轴是坐标轴，所以借助斜率，比较简单．

4．（4分）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（　　）

A．

﹣2

B．

C．

D．

考点：

复数代数形式的混合运算．

分析：

利用i的幂的运算性质，对n为奇数和偶数分类讨论，可以得到结果．

解答：

解：

因为i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i；由复数i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3=2（i2n+1+i2n+3），

当n是偶数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i+i3）=0；当n是奇数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i3+i）=0．

故选B．

点评：

本题考查复数i的幂的运算，复数代数形式的运算，是基础题．

5．（4分）在[﹣1，1]上是（　　）

A．

增函数且是奇函数

B．

增函数且是偶函数

C．

减函数且是奇函数

D．

减函数且是偶函数

考点：

幂函数的性质．

专题：

数形结合．

分析：

做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：

可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．

解答：

解：

考查幂函数．

∵＞0，根据幂函数的图象与性质

可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．

故选A．

点评：

本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．

6．（4分）的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

极限及其运算．

专题：

计算题．

分析：

分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．

解答：

解：

==．

点评：

本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．

7．（4分）（2002•江苏）集合，则（　　）

A．

M=N

B．

M⊃N

C．

M⊂N

D．

M∩N=∅

考点：

集合的包含关系判断及应用．

分析：

首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案．

解答：

解：

对于M的元素，有x=π，其分子为π的奇数倍；

对于N的元素，有x=π，其分子为π的整数倍；

分析易得，M⊂N；

故选C．

点评：

本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系．

8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

三角函数中的恒等变换应用．

分析：

从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．

解答：

解：

原式=]

=，

故选A

点评：

在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．

9．（4分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

直线与圆的位置关系．

分析：

先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．

解答：

解：

圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4

故选B．

点评：

本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．

10．（4分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（　　）

A．

a2＞b2

B．

C．

lg（a﹣b）＞0

D．

考点：

不等式比较大小．

专题：

综合题．

分析：

由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．

解答：

解：

a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；

如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；

如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；

满足指数函数的性质，正确．

故选D．

点评：

本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．

11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）

A．

圆

B．

椭圆

C．

双曲线的一支

D．

抛物线

考点：

双曲线的定义．

专题：

计算题．

分析：

设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：

x2+y2=1，⊙F：

x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．

解答：

解：

设动圆的圆心为P，半径为r，

而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；

圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．

依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，

则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，

所以点P的轨迹是双曲线的一支．

故选C．

点评：

本题主要考查双曲线的定义．

12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：

计算题；综合题．

分析：

设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．

解答：

解：

圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：

4R+2H=L，

H=﹣2R，

V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3

求导：

V'=πRL﹣6πR2令V'=0，

πRL﹣6πR2=0，

πR（L﹣6R）=0，

L﹣6R=0，

R=，

当R=，

圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：

V=πR2﹣2πR3=

故选A．

点评：

本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．

13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（　　）

A．

﹣40

B．

C．

D．

考点：

二项式定理的应用．

专题：

计算题．

分析：

先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．

解答：

解：

展开式中x4的系数是下列几部分的和：

的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积

含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积

含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积

∵展开式的通项为

（x﹣1）5展开式的通项为Tk+1=C5rx5﹣r（﹣1）r=（﹣1）rC5rx5﹣r

∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45

故选项为D

点评：

本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．

A．

2π

B．

C．

D．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：

计算题．

分析：

由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．

解答：

解：

这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，

圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．

设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，

解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，

圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π

所以整个几何体的体积为．

故选D．

点评：

本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．

15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（　　）

A．

a1+a8＞a4+a5

B．

a1+a8＜a4+a5

C．

a1+a8=a4+a5

D．

a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定

考点：

等比数列．

分析：

用作差法比较即可．

解答：

解：

a1+a8﹣（a4+a5）

=a1（1+q7﹣q3﹣q4）

=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）

又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列

∴q＞0

∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0

故选A

点评：

本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．

16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：

甲：

相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；

乙：

直线l、m中至少有一条与平面β相交；

丙：

平面α与平面β相交．

当甲成立时（　　）

A．

乙是丙的充分而不必要条件

B．

乙是丙的必要而不充分条件

C．

乙是丙的充分且必要条件

D．

乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

考点：

空间中直线与平面之间的位置关系；充要条件．

专题：

证明题；压轴题．

分析：

判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．

解答：

解：

当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立

故选C．

点评：

本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．

17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（　　）

A．

6种

B．

9种

C．

11种

D．

23种

考点：

排列、组合及简单计数问题．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．

解答：

解：

根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，

其中，四个数字全部相同的有1种，

有1个数字相同的有4×2=8种情况，

有2个数字相同的有C42×1=6种情况，

有3个数字相同的情况不存在，

则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，

故选B．

点评：

本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

18．（4分）设a＞1，则=　﹣a2　．

考点：

极限及其运算．

专题：

计算题．

分析：

当n→∞时，an→∞．由此能够推导出=的值．

解答：

解：

===﹣a2．

点评：

本题考查极限的应用，解题时要注意等价转化的前提条件．

19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为　{k|或}　．

考点：

双曲线的简单性质．

专题：

计算题．

分析：

由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．

解答：

解：

∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，

∴|3k|＞1，∴．

解得或．

实数k的取值范围为{k|或}．

答案为{k|或}．

点评：

熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．

20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有　100　种取法（用数字作答）．

考点：

组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．

分析：

根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．

解答：

解：

根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；

若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；

若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，

若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，

故符合题意的取法共50+50=100种取法；

故答案为100．

点评：

本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．

21．（4分）设f（x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=　1　．

考点：

反函数．

专题：

计算题．

分析：

欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．

解答：

解：

∵4x﹣2x+1=0，

2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0

得：

x=1．

∴f﹣1（0）=1．

故答案为1．

点评：

本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．

22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为

　1760　．

考点：

函数模型的选择与应用．

专题：

应用题；压轴题．

分析：

欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．

解答：

解：

设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，

当且仅当：

4x×80=×80，即x=2时取等号．

故答案为：

1760．

点评：

本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：

（1）阅读理解，认真审题；

（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为　30　度．

考点：

与二面角有关的立体几何综合题．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．

解答：

解：

设正方形的边长为2，

取CD的中点M，连接PM、EM，

∵PD=PC，

∴PM⊥CD

∵ED=EC，

∴EM⊥CD

故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．

在△PME中：

PE=1，PM=，EM=2，

∴cos∠PME

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