高一数学解三角形知识点总结及习题练习.doc

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解三角形

一、基础知识梳理

1正弦定理：

===2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以下变形：

最常用三角形面积公式：

2正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解）

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）

了解：

已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:

3．余弦定理：

4．余弦定理可以解决的问题：

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解

可能不唯一）

2[课前热身]

1．（教材习题改编）已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（　　）

A．135°　　　 B．90°　　　

C．45°　　　 D．30°

2．在△ABC中，，则A等于（　　）

A．60°B．45°C．120°D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是（　　）

A.B.C.D.

4．（2010年高考广东卷）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.

5．

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________．

3[考点突破]

考点一正弦定理的应用

利用正弦定理可解决以下两类三角形：

一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、

（1）（2010年高考山东卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．

（2）满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．

考点二余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：

一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

（1）若△ABC的面积等于，求a，b的值；

（2）若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

例3、（2010年高考辽宁卷）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且

2asinA＝（2b＋c）sinB＋（2c＋b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究

1　若本例条件变为：

sinC＝2sin（B＋C）cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:

方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

（1）已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

（2）已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

（3）已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

（4）已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－（A＋B），求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：

sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C），sin＝cos，sin2A＝－sin2（B＋C），cos2A＝cos2（B＋C）等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．

五、规范解答

（本题满分12分）（2010年高考大纲全国卷Ⅱ）在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．

【解】　由cos∠ADC＝>0知∠B<，

由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，4分

从而sin∠BAD＝sin（∠ADC－∠B）

＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB

＝×－×＝.9分

由正弦定理得＝，

所以AD＝＝＝25.12分

【名师点评】　本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．

名师预测

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝（　　）

A．－　　　　　　　　　 B.

C．－ D.

2．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝，那么角C＝________.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b－c）·cosA－acosC＝0.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：

（1）法一：

∵（2b－c）cosA－acosC＝0，

由正弦定理得，

（2sinB－sinC）cosA－sinAcosC＝0，

∴2sinBcosA－sin（A＋C）＝0，

即sinB（2cosA－1）＝0.

∵0

∴sinB≠0，∴cosA＝.

∵0

法二：

∵（2b－c）cosA－acosC＝0，

由余弦定理得，

（2b－c）·－a·＝0，

整理得b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝.

∵0

（2）∵S△ABC＝bcsinA＝，

即bcsin＝，

∴bc＝3，①

∵a2＝b2＋c2－2bccosA，

∴b2＋c2＝6，②

由①②得b＝c＝，

∴△ABC为等边三角形．

课后作业

1在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

2边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）

A.B.C.D.

3在△ABC中，，则的最大值是_______________.

4在△ABC中，若_________.

5已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求的取值范围.

6△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

（Ⅰ）若，求cosA的值；

（Ⅱ）若A∈[，]，求的取值范围.

7在△ABC中，求证：

8在锐角△ABC中，求证：

.

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