高中立体几何测试卷.doc
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高中“立体几何”测试卷
一、选择题（4’×10=40’）
1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是.则这两条直线的位置关系（）
A．必定相交B．平行 C．必定异面 D．不可能平行
2．下列说法正确的是。
A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线
B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线
C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线
D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M
3．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是。
A．梯形B．圆外切四边形C．圆内接四边形D．任意四边形
4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于。
A．6 B．5 C．4 D．3
5．二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ,∠ACF=30°,∠ACB=60°，则cos∠BCF等于。
A． B． C． D．
6．把∠A=60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为（）
A．a B．aC．a D．a
7．||＝||＝4，〈，〉＝60°，则|－|＝。
A．4B．8C．37D．13
8．三棱柱中，M、N分别是、的中点，设，，，则等于。
A．B．C．D．
9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是。
A．258B．234
C．222D．210
10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是:
A．B．C．D．
二、填空题（4’×5=20’）
11．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为，则AC与平面α所成角的大小是。
12．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为。
13．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成30°角，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离为。
14．一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为。
15．已知a、b是直线，、、是平面，给出下列命题：
①若∥，a，则a∥
②若a、b与所成角相等，则a∥b
③若⊥、⊥，则∥
④若a⊥,a⊥，则∥
其中正确的命题的序号是________________。
三、解答题（40分）
16．（8分）在△ABC所在平面外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB与平面ABC所成角相等。
（I）求证：
AC=BC；
（II）又设点S到平面ABC的距离为4cm，AC⊥BC且AB=6cm，求S与AB的距离.
17．（10分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB。
（I）求证EFGH为矩形；
（II）点E在什么位置，SEFGH最大?
18．（12分）如图：
直三棱柱ABC—A1B1C1，底面三角形ABC中，CA=CB=1，，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、AB的中点。
①求证：
平面A1NC∥平面BMC1；
②求异面直线A1C与C1N所成角的大小；
③求直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小。
19．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E—BC—A正切值的大小。
参考答案
一、选择题（3’×12=36’）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
D
A
A
D
B
B
二、填空题（4’×5=20’）
11．；
12．；
13．
14．；
15．
（1）（4）
三、解答题（10’×4=40’）
16．
（1）证明：
过S作SO⊥面ABC于O
17．解：
又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形.
（2）AG=x，AC=m，
，GH=x
GF=（m－x）
SEFGH=GH·GF=x·（m－x）=（mx－x2）=（－x2+mx－+）=［－（x－）2+］
当x=时，SEFGH最大=
18、建系：
A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0）
，，，，
（1），，，
，，，
，平面A1NC∥平面BMC1
（2），
异面直线A1C与C1N所成角的大小为
（3）平面ACC1A1的法向量为，
直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小为
19．若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。
设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于点E，连结OE，则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可。
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=，所以OE2=9+令OE2≤R2，
即9+≤R2，解之得R≥2；所以AD=2R≥4，所以AD的取值范围[4，+∞，
当且仅当AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
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