北京市高三二模文科数学分类汇编14统计、概率、随机变量及其分布.doc
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十四、统计、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)
1.(2012年西城二模文6)右图是,两组各名同学体重(单位:
)
数据的茎叶图.设,两组数据的平均数依次
为和,标准差依次为和,那么(B)
(注:
标准差,其中为的平均数)
A.,B.,
C.,D.,
2.(2012年西城二模文7)某大楼共有层,有人在第层上了电梯,他们分别要去第至第层,每层人.因特殊原因,电梯只允许停次,只可使人如愿到达,其余人都要步行到达所去的楼层.假设乘客每向下步行层的“不满意度”增量为,每向上步行层的“不满意度”增量为,人的“不满意度”之和记为.则最小时,电梯所停的楼层是(C)
A.层B.层C.层D.层
3.(2012年东城二模文11)将容量为的样本中的数据分成组,若第一组至第六组数据
的频率之比为,且前三组数据的频数之和等于,则的值为.
答案:
。
4.(2012年西城二模文11)已知向量,,其中随机选自集合,随机选自集合,那么的概率是_____.
答案:
。
5.(2012年丰台二模文10)某地区恩格尔系数与年份的统计数据如下表:
年份x
2004
2005
2006
2007
恩格尔系数y(%)
47
45.5
43.5
41
从散点图可以看出y与x线性相关,且可得回归方程为,则=______,据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______.
答案:
-2,31.25。
6.(2012年海淀二模文12)在面积为1的正方形内部随机取一点,则的面积大于等于的概率是_________.
答案:
。
7.(2012年朝阳二模文16)高三年级进行模拟考试,某班参加考试的40名同学的成绩统计如下:
分数段
(70,90)
[90,100)
[100,120)
[120,150]
人数
5
a
15
b
规定分数在90分及以上为及格,120分及以上为优秀,成绩高于85分低于90分的同学为希望生.已知该班希望生有2名.(Ⅰ)从该班所有学生中任选一名,求其成绩及格的概率;(Ⅱ)当a=11时,从该班所有学生中任选一名,求其成绩优秀的概率;(Ⅲ)从分数在(70,90)的5名学生中,任选2名同学参加辅导,求其中恰有1名希望生的概率.[来源:
学,解:
(Ⅰ)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩及格”为事件A,则
.
答:
从该班所有学生中任选一名,其成绩及格的概率为.………3分
(Ⅱ)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀”为事件B,则当时,成绩优秀的学生人数为,所以
.
答:
从该班所有学生中任选一名,其成绩优秀的概率为.………7分
(Ⅲ)设“从分数在的5名学生中,任选2名同学参加辅导,其中恰有1名希望生”为事件C.
记这5名学生分别为a,b,c,d,e,其中希望生为a,b.
从中任选2名,所有可能的情况为:
ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种.…9分
其中恰有1名希望生的情况有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种.…11分
所以.
答:
从分数在的5名学生中,任选2名同学参加辅导,其中恰有1名希望生的概率为.…13分
8.(2012年丰台二模文16)某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种,在该地区选择了5块土地,每块土地平均分成面积相等的两部分,分别种植甲、乙两个品种的棉花,收获时测得棉花的亩产量如下图所示:
(Ⅰ)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由;
(Ⅱ)求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地,这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率.
解:
(Ⅰ)由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为:
,
方差为.
乙种棉花的平均亩产量为:
,
方差为
因为,所以乙种棉花的平均亩产量更稳定.……8分
(Ⅱ)从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95,102),(95,105),(95,107),
(95,111),(102,105),(102,107),(102,111),(105,107),(105,111),(107,111)共10种,
设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A,
包括的基本事件为(105,107),(105,111),(107,111)共3种.
所以.……13分
答:
两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为.
9.(2012年昌平二模文16)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下表所示:
等级
频数
频率
1
c
a
2
4
b
3
9
0.45
4
2
0.1
5
3
0.15
合计
20
1
(Ⅰ)若所抽取的20件日用品中,等级系数为2的恰有4件,求a,b,c的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为4的2件日用品和等级为5的3件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
解:
(Ⅰ)由频率分布表得即……2分
因为抽取20件日用品中,等级系数为2的恰有4件,所以
解得,……5分
从而
所以……6分
(Ⅱ)从日用品,中任取两件,所有可能的结果为
设事件A表示“从日用品,中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件共4个,基本事件总数为10,……11分
故所求的概率…13分
10.(2012年东城二模文16)某校为了解学生的学科学习兴趣,对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查,随机抽取了名学生,相关的数据如下表所示:
数学
语文
总计
初中
高中
总计
(Ⅰ)用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取名,高中学生应该抽取几名?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的名学生中任取名,求恰有名初中学生的概率.
解:
(Ⅰ)由表中数据可知,高中学生应该抽取人.…4分
(Ⅱ)记抽取的名学生中,初中名学生为,,高中名学生为,,,
则从名学生中任取2名的所有可能的情况有种,它们是:
,,,,,,,,,.……7分
其中恰有1名初中学生的情况有种,它们是:
,,,,,.…9分
故所求概率为.…13分
11.(2012年海淀二模文16)在一次“知识竞赛”活动中,有四道题,其中为难度相同的容易题,为中档题,为较难题.现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.(Ⅰ)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率;(Ⅱ)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
解:
由题意可知,甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题,所有可能的结果有16个,它们是:
,,,,,,,,,,,,,,,.…3分
(Ⅰ)用表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,则包含的基本事件有:
,,,,,.所以.…8分
(Ⅱ)用表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”,则包含的基本事件有:
,,,,.所以.……13分